Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 17
Текст из файла (страница 17)
25) з = )5», получим функцию 1 + [рр (15а), приращение аргумента которой при изменении м от — оо до +во определяется следующим образом: Ь агй [1+ р(гр фо)[ = и [(п — 1) — 1[ — п[(п — А) — й[ = 2п(й — (). (5.27) В случае устойчивости замкнутой системы ! = О и Л агд [1+ ]Р'р (!от) [ = 2п/г. (5.28) В связи с тем, что амплитудно-фазовая частотная характеристик 0'р ()со) разомкнутой системы симметрична относительно веще, ственной осн, можно ограничиться определением приращении аргумента функции 1 + ][та (!со) при изменении го от О до +о При этом условие (5.28) устойчивости замкнутой системы примет вид Л агй [1+ Игр (!со)] =пл, (5.29) На комплексной плоскости 1 + И'р (!от) можно представить как вектор, начало которого лежит в точке с координатами — 1 Рис. 5.5.
Годограф 1+ йгр Ое) Рис. 5.6. Амплитудио-фазоваи частот. ааа характеристика астатической ра. зомкиутой системы (к применению критерии Найквиста) !О, а конец при изменении пт обегает'амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 5.5). Если разомкнутая система составлена нз устойчивых звеньев, то ее характеристическое уравнение не имеет корней справа от мнимой оси, т. е. й = О. В этом случае условие (5.29) приводит к следующей формулировке критерия Найквиста: замкнутая система устойчива, если устойчива разомкнутая система и ее амплитудно-фазовая частотная характеристика при изменении то от 0 до +со не охватывает точку с координатами — 1, ]О.
Условие (5.29) показывает, что замкнутая система может быть устойчива и при неустойчивой разомкнутой системе (й Ф 0), если выполняется следующий расширенный критерий: замкнутая система устойчива, если вектор, начало которого лежит на комплексной плоскости в точке — 1, !О, а конец при изменении ох от 0 до +ос обегает амплитудно- фазовую частотную характеристику разомк- рутой системы, повернется против часовой. стрелки на угол ртК, к — число корней характеристического уравнения, расположенных справа от мнимой оси.
Амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФЧХ) раомкнутых систем, не содержащих интегрирующих звеньев, при изменении в от — со до + со образуют замкнутый контур. Такие „,стемы являются статическими, и применение к ним сформулированных критериев устойчивости не вызывает затруднений. Если разомкнутая система является астатической, т. е. содержит одно или несколько последовательно включенных интегрирующих звеньев, то при а = 0 ветви ее АФЧХ уходят вдоль мнимой оси в бесконеч„ость (рис.
5.6), При этом возникают затруднения в оценке устойчивости замкнутой системы. Я. 3. Цыпкин доказал возможность распространения критерия Найквиста на .астатические системы с любым числом интегрирующих звеньев, если ветви АФЧХ дополняются дугами окружности бесконечно большого радиуса (рис. 5.6). 1 5.4. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ Рассмотренные в предыдущем параграфе методы проверки устойчивости замкнутых систем по частотным характеристикам разомкнутых систем оказываются особенно удобными для расчета, если применяются логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики. Пусть АФЧХ устойчивой разомкнутой системы не имеет точек пересечения с вещественной осью между — 1 и — оо (амплитуднофазовая частотная.
характеристика первого рода, показана кривой ! на рис. 5.7, и). Такой характеристике соответствуют логарифмическая амплитудная 4 и логарифмическая фазовая 2 частотные характеристики, изображенные на рис. 5.7, б. Замкнутая система согласно критерию Найквиста является устойчивой, так как АФЧХ устойчивой разомкнутой системы не охватывает точку с координатами — 1, !О.
В логарифмических частотных характеристиках разомкнутой системы это условие проявляется в том, что фазовая характеристика не достигает значения — и при частоте, для которой 7-р (а) = О, т. е. логарифмическая амплитудная характерисряка пеРесекает ось частот (Рис. 5.7, б). Частота ы,р, пРи котоРой ~„(м) = = О, называется частотой среза. Угол ~р„„, на который фазовая характеристика не доходит до значения — и при частоте среза, называется запасом устойчивости по фазе.
Следовательно, замкнутая система устойчива, если логарифмическая частотная характеристика при частоте среза имеет запас Устойчивости по фазе. Необходимо проверять также запас устойчивости по амплитуде 7,„„при частоте перехода фазы или частоте, при которой фазовая характеристика пересекает линию — и. Рекомендуемые значения запасов по фазе лежат в пределах 30 — 40', 95 а рекомендуемые значения запасов по амплитуде составляют 6 — 8 дБ При увеличении коэффициента усиления разомкнутой системы запасы по фазе и по амплитуде уменьшаются, и в конце концов замкнутая система может оказаться неустойчивой (рнс.
5.7, б штриховая кривая 8). Если АФЧХ устойчивой разомкнутой системы имеет точки пере. сечения с вещественной осью между — 1 и — оо (АФЧХ второго рода, рис. 5.8, а), то устойчивость замкнутой системы оценивается по числу положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов этой характеристики участка между — 1 и — оо, а) Рнс. 5.7. Частотные характеристики устойчивой н неустойчивой систем: а — амплнтудно-фалалея; б — лагарнфмнчасяяа амплитудная я фааоаая При устойчивой разомкнутой системе замкнутая система устойчива, когда разность между числом положительных и отрицательных переходов указанного участка равна нулю.
Положительным переходам АФЧХ через вещественную ось между — 1 и — оо соответствует пересечение логарифмической фазовой характеристикой прямой — и снизу вверх при значениях 7.г, (ет) ) О, поэтому для фазовой характеристики такое направление перехода считается положительным, а обратное направление перехода фазовой характеристики — отрицательным. Для принятых законов переходов логарифмической фазовой характеристики критерий устойчивости формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива, если разность положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики в разомкнутой системе через прямую — н равна нулю при частотах, для которых Ьр (ет) ) О (рис. 5.8, б).
В общем случае, когда разомкнутая система неустойчива и имеет й корней справа от мнимой оси, замкнутая система будет устойчива, ли разность положительных и отрицательных переходов фазовой арактеристики разомкнутой системы через прямую — и равна й/2 при значениях частот, для которых йр (ю) ) О.
'У се о уг 2 -Л' азу "г Рис. 5.8. Устойчивость замкнутой системы, когда амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет точки пересечения с вещественной осью на отрезке — аа, — Н а — амплитудно.фааовая характернстнка; б — логарнфмнческне амплнтудная м фававая харантернстнкя В заключение заметим, что число корней й характеристического уравнения разомкнутой системы, расположенных на комплексной плоскости справа от мнимой оси, определяется по числу полюсов передаточных функций звеньев, составляющих систему.
Если эти звенья типовые, то признаком неустойчивости разомкнутой системы являются разные знаки у членов знаменателя передаточной функции хотя бы одного звена, т. е. наличие в системе неустойчивого звена. $ З.Ь. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ НА ЕЕ УСТОЙЧИВОСТЬ При проектировании систем автоматического регулирования часто необходимо выяснить влияние различных параметров регулятора и регулируемого объекта на устойчивость системы. Эта задача может быть решена выполнением серии расчетов с использованием Рассмотренных выше критериев устойчивости. Такие исследования облегчаются, если применить специальные методы, основанные на Указанных критериях.
Кроме того, с помощью этих методов можно 4 Попав д. Н. эт получить более общее решение задачи о влиянии параметров системы на ее устойчивость. Первый из них был предложен и разработан в 1948 г. Ю. И, Неймарком и получил название — метод Р-разбиения пространства параметров. Он представляет собой дальней. шее развитие метода И, А. Вышнеградского, определившего еще в 1876 г.
области устойчивости линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего порядка (70, 71). Второй метод, предложенный в 1948 г. К. Ф. Теодорчиком в СССР и в 1950 г. В. Ивенсом в США, называется методом корневого годографа. Этот метод применяется также при исследовании качества процессов регулирования [73). Метод Р-разбиения пространства параметров основывается на том, что каждому сочетанию значений коэффициентов характеристического уравнения (5.11) соответствует вполне определенное расположение корней этого уравнения на комплексной плоскости, Изменение коэффициентов уравнения вызывает перемещение его корней яа комплексной плоскости, причем при некоторых значениях коэффициентов один из корней попадает в начало координат или же пара корней попадает на мнимую ось.
В этом случае значения коэффициентов должны удовлетворять уравнению а„(ув)" + а„, ()в)"-'+... + аДв+ а, = О. (5.30) При изменении в от — оо до +оо уравнением (5.30) в пространстве коэффициентов характеристического уравнения определяется гиперповерхность, разделяющая это пространство на области значений коэффициентов, которым соответствует различное число корней слева и справа от мнимой оси. Переход из одной области значений коэффициентов в другую приводит к изменению числа корней, расположенных слева от мнимой оси.
Если существует область значений коэффициентов, которой соответствует л корней слева от мнимой оси, то этой областью определяются все возможные значения параметров системы, при которых она устойчива. Выделение в пространстве коэффициентов областей, которым соответствует различное расположение корней на комплексной плоскости, называется Р-разбиением. При необходимости выяснить влияние одного параметра К на устойчивость системы проводится Р-разбиение плоскости и находятся области комплексных значений этого параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
