Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ЗА. Характеристики апериодического звена: а — переходная; б — весовая; а — амплитудно-фааовая; г — логарифмические ампли- тудная н фааовая в котором штоки золотника 1 и поршня 2 гидроцилиндра соединены рычагами (рис. 3.5). При равных плечах рычагов АВС и ГУВЕ суммарное смещение золотника х, будет равно разности перемещений точки А, хд и штока поршня гидроцилиндра у„: Хв = ХА Цп. В безразмерном виде при Х, = Х',х„хд = Х,*хд, уп = ХвУ это. уравнение принимает вид лв "чА У (3.33) Подставив значение х, согласно уравнению (3.33) в уравнение (ЗА2), получим Т.
Р+ У = кл. мр оз Это уравнение, очевидно, полностью совпадает с уравнением апериодического звена (3.22). другим примером апериодического звена может служить электрический контур, состоящий из активного сопротивления и емкости С (рис. 3.6). Процессы в таком контуре описываются известными из электротехники уравнениями ив=их — И; ю'=С вЂ” ', (3.34) где 1 — электрический ток; и, и и, — входное и выходное напряжения цепи. Из данных уравнений получим уравнение )сС вЂ” '+ и, = и„(3.35) которое полностью совпадает с рас- Рсл Рнс.
3.5. Схема гндравлнческо- смотренным выше уравнением апего механизма (уснлнтеля) с об- риодического звена, если Т == йС. ратной связью Емкость, в которую жидкость по- ступает по одной трубе, а сливается по другой, при малых колебаниях расходов также может быть использована как пример апериодического звена. К уравнению апериодического звена при определенных допущениях сводится описание процессов изменения угловой скорости различных двигателей. При этом постоянная времени двигателя выражается через момент инерции его ротора, в связи с чем апериодическое звено называют еще инерционным. Однако такое название недостаточно точно отражает сущность процессов, протекающих в других элементах, например, У в элементах с емкостями. Форсирующее звено первого порядка описывается уравнением и т с и г х,„„= Т о',"+х,„.
(3.36) Передаточная функция такого звена по Рнс. 3.6. Электрнчеуравнению (3.36) имеет вид В'(з)=Та+1. (3.37) звена Переходная и' весовая функции находятся как суммы соответствующих функций дифференцирующего и пропорционального звеньев: Ь(1) =Т6 (1)+1(1); (3.38) пз (1) = Т вЂ” + 6 (~). (3.39) бо Амплитудно-фазовая частотная характеристика получается из передаточной функции (3.37) заменой 3 = )в: Ур'()в) = 1+)вТ.
(3.40) догарифмические амплитудная и фазовая частотные характеистики могут быть определены как обратные по отношению к таЦгл! а ге сел) зг г зг а и рис. 3.7. Характеристика форсируюигего звена: л — амплитудно-фавовав; б — логарифиииесиие ам- плитуднан н фавовав ким же характеристикам периодического звена, причем первая из указанных характеристик заменяется двумя асимптотами: 7.,(в) = 0 при в (1(Т; (3.41) а.в(в)=20!яТв при в) 1рТ, откуда видно, что вторая асимптота имеет положительныйнаклон +20 дБ/де к.
Частотные характеристики форсируюшего звена даны на рис. 3.7. 1 3.3. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ, АПЕРИОДИЧЕСКОЕ И ФОРСИРУЮЩЕЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗВЕНЬЯ (3.43) 61 Колебательное звено описывается уравнением— (3.42) Это уравнение приводится к виду бг если принять Т, = Т и использовать соотношение ~= Тает. (3.44) Величина ь называется коэффициентом относительного демпфиРования и для колебательного звена может находиться в пределах 0<~<1 Если ь = О, то колебательное звено вырождается в консервативное, которое описывается уравнением (3.45) При ь ) 1 колебательное, звено переходит в апериодическое звено второго порядка.
Передаточная функция колебательного звена по уравнению (3.43) имеет вид ! Т555+25Т5+ ! (3.46) Корни знаменателя передаточной функции (3.46) равны з5,2 = Т = — « — !а~ дГ! ~а (3.47) где 55=с!Т; а,=)5 ! — 'ьзуТ. (3.48) Таким образом, передаточная функция колебательного звена имеет два простых полюса в левой полуплоскости комплексной переменной з.
Переходная функпия, как было показано в $ 2.5, находится обратным преобразованием Лапласа: [ 5 1 1 5(т555+2ьтз+!) 1' которое можно выполнить с помощью формулы (2.44), учитывая кроме полюсов (3.47) еще полюс з, = О. После обычных преобразований результата, полученного по формуле (2.44), будем иметь Й(г) =1 — е ' (сох в,(+ — з(па,5).
ас Переходная функция (3.49) показывает, что у колебательного звена процесс изменения выходной величины во времени, вызванный единичным ступенчатым входным воздействием, является колебательным затухающим. Частота колебаний а, в переходном процессе называется собственной частотой.
Если ввести частоту незатухающих (недемпфированных) колебаний, которые возникают при ь=О, (3.50) аз= !Л', то в соответствии с формулой (3.48) а,=а,3/1 — ь". (3.51) При ь = 0 в переходной функции (3.49) следует положить с5 = О. В этом случае получим переходную характеристику консервативного звена, которая определяет незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой.
При ь) 1 корни знаменателя передаточной функции (3.46) будут отрицательными действительными числами, поэтому изменится вид переходной функции: й (Г) = 1+ С,е-м'+ С,е — '*', (3.52) 62 где Л, (' )г ~ — 1 Л, с,= —;)„= — —; с,= —, — т — т ' х,— х, причем фф).„) ~0. В случае ь =! (критическое затухание) переходная функция будет е — пг ()+ ~) (3.53) Графики переходных функций колебательного звена при нескольких значениях коэффициента относительного демпфирования, Ь(С! Рис. З.а. Графики переходных функций колебательного, консервативного и апериодического второго порядхэ звеньев Рис. Зчк Графини весовых функций колебательного звена и апериодичесного звена второго по- рядка а также графики переходных функций апериодического звена вто- рого порядка и консервативного звена даны на рис.
3.8. Весовые функции можно получить, продифференцировав по времени соответствующие переходные функции. По переходной функции (3.49) с учетом соотношения (3.50) найдем Гп (Г) =-- = — ЬЕ от Зги От,1. аа е, ыс (3.54) График данной функции приведен на рис: 3.9 вместе с графи- ком весовой функции апериодического звена второго порядка, определяемой дифференцированием переходной функции (3.52). При з =1оз из передаточной функции (3.46) получается ампли- тудно-фазовая частотная характеристика 1 1 — Тзыз+ 1ы2~Т ' (3.55) которая для колебательного -вена и апериодического звена второго порядка отличается численным значением ь (рис. 3.10, а).
Амплитудная и фазовая частотные характеристики находятся из зависимости (3.55): А~ )= оном- . ~аае) гр (в) = агд йг()в) = — агс1д 2ьвт (3.57) Логарифмическая амплитудная характеристика имеет вид й (в) = 201ц А (в) = — 10 1ц 1(1 — Т'вз)з+ 4ь"ваТз'р (3.58) Логарифмическая фазовая характеристика, очевидно, определяется зависимостью (3.57), но частоты берутся в логарифмическом масштабе.
Е(ьт) Рис. ЗЛО. Частотные характеристики колебательного и консервативного звеньев: а — амплитудночфазаиам б — логарифмичеенне амплитудная и фаааиая Для построения графиков логарифмической амплитудной частотной характеристики колебательного звена (Ь ( 1) удобно применять асимптотические характеристики, уравнения которых находятся аналогично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе. Уравнение первой асимптоты (низкочастотной) по зависимости (3.58) получается, как и ранее: Ех(в)=0 при в(17Т, (3.59) уравнение второй асимптоты (высокочастотной) записывается в виде (з(а)= — 401аТв при в)1уТ. (3.60) Вторая асимптота проходит через точку в, = ИТ на оси абсцисс и имеет наклон — 40 дБ/дек (рис.
3.10, б). В окрестности точки пересечения первой и второй асимптот в, = 11Т наблюдается наибольшее отклонение точной логарифмической амплитудной частотной характеристики от асимптотической, так как эта а' ра тг Ю 'дг дг йз йй йгйг дг тр г у а г г тати Рис. 3.11.
График с поправками к логарифмической амплитудной характерн. стике колебательного звена частота близка к резонансной. Прн отыскании точек логарифмической амплитудной частотной характеристики колебательного звена в окрестности резонансной частоты используются специальные графики поправок 6 (аТ) (рис, 3.11). Значения 6 (вТ) прибавляются к асимптотическнм характеристикам или вычитаются из них в зависимости от знака поправки, при этом следует учитывать, что графики поправок даны в функции от безразмерной частоты аТ. Точное значение резоиансйой частоты вр, при котором амплитудная частотная характеристика имеет максимум, находится из условия минимума знаменателя функции (3.56): ар — — во У1 — 2Р.
(3.6! ) В попов д, н. Из сравнения формул (3.61) и (3.61) видно, что резонансная частота несколько меньше частоты свободных колебаний (собственной частоты) и обе эти частбты меньше частоты незатухаю. щих колебаний 5э„при которой пересекаются первая и вторая асимптоты логарифмической амплитудной частотной характеристики. Для апериодического звена второго порядка также может быть построена асимптотичеекая логарифмическая частотная характеристика.
Перед построением характеристики преобразуем передаточную функцию (3.46), разложив ее знаменатель на множители. Так как ь ) 1, то корни знаменателя будут отрицательными действительными числами, поэтому ! (Т!5+ !) (Тпэ + !) (3.62) где Т! = — 1/Х„Тп = — !/5.„причем Ц и Х, — указанные выше корни знаменателя передаточной функции (3.46) при ь) 1. В соответствии с зависимостью (3.62) логарифмическая амплитудная частотная характеристика может быть представлена в виде /.
(ь5) = — [1О!д(1+ Т!глэди-10!я(1+ Т!!а!5)1. Предположим, что Т! ) Тп тогда, рассматривая частоты 5а ( ((1/Т!), можно провести первую асимптоту Е5 (в) = О. В диапазоне частот (1/Т!) ( ь5 ((1/Тп) пРоводитсЯ втоРаЯ асимптота Ц (5э) = — 20 !й Т,а, а в диапазоне частот в ) (1/Тп) — третья асимптота Е5(со) = — 20!я Т5ш — 20!я Тпы, Таким образом, логарифмическая амплитудная частотная характеристика апериодического звена второго порядка может быть приближенно заменена тремя прямыми: с наклоном 0 дБ/дек, с наклоном — 20 дБ/дек и с наклоном — 40 дБ/дек (рис. 3.!2). В качестве элемента, уравнение динамики которого при малых отклонениях величин сводится к уравнению колебательного или апериодического звена второго порядка, можно указать центробежный маятник или регулятор Уатта, упоминавшийся в гл.
!. Расчетная схема такого устройства получается близкой к механической колебательной системе с одной степенью свободы (рис. 3.13). Уравнение движения такой системы в отклонениях относительно положения равновесия имеет вид Р р Р (3.63) где Р„, и Р, — силы, приложенные к телу соответственно со стороны йружины и со стороны поршня демпфера; и — масса подвижных частей системы (тела и поршня). Если считать, что воздействием на данную механическую систему является перемещение гт опоры и жесткость пружины обозначить через с„, то Рис.
3.13. Механи. ческая колебательная система Рис. 3.12. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика апериодического звена второго порядка По условию неразрывности потока жидкости па 'дд =Рд,11 следовательно, Рд оа Рд оа (3.65) Используя соотношения (3.64) и (3.65), уравнение (3.63) запишем в виде ,1», Рд да лт + — „— + сдрз = с»рад др или в виде, принятом выше для колебательного звена, Т вЂ”, +2~Т„-+у=та, пад на (3.66) (3.671 1» Р» р = сдр (гт — з); (3.64) сила от действия демпфера Рд = РдРд1 где Р, — рабочая площадь поршня демпфера; р, — перепад давления в полостях над поршнем и под ним. При течении жидкости с малыми числами Рейнольдса величина расхода через отверстие в поршне демпфера будет пропорциональна перепаду давления: гчдр™ Р где й,р — проводимость дроссельного отверстия в поршне демпфера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
