Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Комплексная функция аелм может быть записана в тригонометрической форме: ав'"'=а сова(+/а япвг. (2.57) Видно, что функции а соз вт и а з[п в( являются соответственно ВЕщсетВЕННОй ЙЕ (аЕ(на) И МНИМОй!Ш (аЕКМ) ЧаСтяМИ КОМПЛЕКСНОЙ фуинцнн аЕ(в', ИНаЧЕ ГОВОря — ПрОЕКцИяМИ радИуСа-ВЕКтсра, ОПрЕ- делающего эту функцию, на мнимую и вещественную оси. Следовательно, задание входного воздействия в виде комплексной функции х,„= а„е1"' (2.58) равносильно подаче на вход элемента или системы автоматического регулирования суммы двух гармонических воздействий (косинус- ного и синусного).
Выходная величина в силу линейности элемента или системы будет также содержать сумму двух гармонических сигналов, отличающихся от входных амплитудой и начальной фазой. В комплексной форме эту сумму * по соотношению, аналогичному (2.57), можно записать в виде х,„„ = а м„ег(втв). (2.59) Динамические свойства элемента или системы автоматического регулирования проявляются в изменении амплитуды выходной величины по сравнению с Рис. 2.
П. Представление гврмонических сигналов в комп- лексной форме амплитудой входной величины и в сдвиге по фазе между этими величинами в зависимости от частоты колебаний. Необходимые соотношения, характеризующие эти изменения в колебании выходной величины, могут быть найдены с помощью соотношений, определяющих комплексную форму колебаний без выделения синусной и косинусной составляющих. Воспользуемся для этого дифференциальным уравнением (2.24). Подставив в уравнение входную и выходную величины нз соотношений (2.58) и (2.59) и все производные по времени от этих величин, получим [а„()В)" +а„,(/В) '+...+аО[а м„Его Егм'= =[Ь ()в) +Ьм в()в)"-'+...+Ьо[а,„ег '.
(2.60) Сократив обе части данного соотношения на необращающийся в ноль множитель ег ', найдем комплексную величину [р ( ° ) ~"вых е«р Ьпа (!и) +Ьм г ((то)м ~+...+Ьо (2 5[) а,„ав (/оэ)в+ по-г ((в)в-1+ +ао 47 Комплексная величина 1(У (са) называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) или комплексной частотной передаточной функцией (применяется также термин комплексный коэффициент передачи). Амплитудно-фазовая частотная характеристика (2.61) является на комплексной плоскости годографом радиуса-вектора (Р'(~в) при изменении частоты от нуля до бесконечности. Длина этого радиуса-вектора равна отношению а,ы,/а,„= А (в) амплитуды выходной величины к амплитуде входной величины, а угол между радиусом-вектором и положительной частью вещественной оси равен сдвигу ср (в) по фазе между колебаниями э этих величин, т. е.
пюс( (Р'()в) ~ (Р'()а) != А (а); (2.62) агд 'йт" ((со) = ср (со). (2.63) С учетом этих соотношений АФЧХ может быть представлена в виде (р'((в) = А (а) еучс"1 (2.64) или )Р' ()в) = У (а) + 1')т (а). (2.65) Рис. 2Л2. Амплитудно-фааоаая частотная ха- рактеристика системы третьего порядка Входящие в последнее соотношение функции угловой частоты 0 (в) и )г (в) называются вещественной и мнимой частотными характеристиками. Для примера на рис. 2.12 дана АФЧХ, соответствующая уравнению (2.24) при п = 3, Ь = Ь„, =- ... = Ь, = О. Выражение в правой части формулы (2.61) показывает, что при а = О отношение амплитуды выходной величины к входной равно коэффициенту передачи: К= Ье'ав АФЧХ может вычисляться в диапазоне частот от — оо до + оо, причем при отрицательных частотах комплексные значения Ж' ( — /в) являются сопряженными со значениями )р' ()в), полученными при положительных частотах.
Вследствие этого график АФЧХ строится обычно при изменении угловой частоты от О до +со, а ветвь характеристики при отрицательных частотах в случае необходимости находится зеркальным отображением относительно вещественной осн кривой, полученной для положительных значений частоты (штриховая линия на рис. 2.12).
Из сравнения соотношений (2,26) и (2.61) видно, что АФЧХ определяется по передаточной функции элемента или системы путем подстановки з =,уа. Если все полюсы передаточной функции (2.26) лежат на ком- плексной плоскости слева от мнимой оси (все корни Р (з) = О 48 1г ((го) = ~ е-г"'ш (т) о(т.
о (2.66) При комплексном входном воздействии (2.58) изменение выходной величины во времени можно представить с помощью интеграла свертки (2.54) следующим образом: г ! Х,„, (1) = ~ аггЕ!" П '1 и (т) Ж = а,„Егггг г )Е Пг'Ш (т) г(т. о о Данный интеграл запишем как При 1-э +ос второй член в правой части последней зависимости стремится к нулю; принимая во внимание соотношение (2.66), найдем вынужденную составляющую колебаний выходной величины в виде (х,„,„(1))„= а,„е1"')Р (1го) Интеграл (2.66) нельзя получить, если не все полюсы передаточной функции располагаются на комплексной плоскости слева от мнимой оси.
В дальнейшем будет показано, что в таком случае элемент или система являются неустойчивыми, вследствие чего выходная величина с течением времени стремится к бесконечности при любом входном воздействии. $2.8. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ АМПЛИТУДНЫЕ И ФАЗОИЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ При расчетах систем автоматического регулирования кроме АФЧХ широко используются амплитудные и фазовые частотные характеристики. Амплитудной частотной характеристикой элемента или системы называется зависимость отношения амплитуд установившихся колебаний выходной и входной величин от частоты.
Фазовой частотной характеристикой называется зависимость сдвига по фазе в колебаниях выходной и входной величин от частоты. Согласно соотношениям (2.64) и (2.65) амплитудная частотная характеристика определяется как модуль комплексной величины: я (го) ),/ цг (ог) + р г (о>) 49 расположены в левой полуплоскости) и т ( п, то комплексную переменнуюз в интеграле (2.53), не нарушая его сходимости, можно заменить на 1ог.
Это Равносильно томУ, что значениЯ пеРедаточной функции будут рассматриваться на мнимой оси, т. е. при з = =1ог. В результате получим соотношение, определяющее АФЧХ в виде Применяется и другой прием вычисления амплитудной частотной характеристики, основанный на правиле деления комплексных величин, при котором А(а) )~ К~И ()) ()в) ( ' где М (Ха) Ь ()а) + ~ -1 ()в) 1+ + й0) 0 ()в) = а„()а)" + а„, (!а)'-'+...
+ ао. Фазовая частотная характеристика находится в виде ср (а) = агс(ц— р (в) и (а) илн как <р (а) = агя М ()в) — агп 0 ()в). Графики амплитудных и фазовых частотных характеристик обычно строятся с использованием логарифмических масштабов. В этом случае для измерения отношения амплитуд выходной и входной величин служит логарифмическая единица децибел (дБ). Связь между отношением амплитуд, взятом в децибелах ~ (а), и обычным отношением А (в) устанавливается формулой 1. (в) = 20!я А (а) [дБ).
Частоты, при которых определяются значения 1. (в), откладываются по оси абсцисс также в логарифмическом масштабе, но при этом указываются численные значения самих частот в рад)с или в Гц (рис. 2.13). На оси частот можно выделить характерные интервалы: октавы и декады. Октавой называется интервал частот, заключенный между каким-либо значением частоты и его удвоенным значением, Декадой называется интервал частот, заключенный между каким- либо значением частоты и его десятикратным значением. Октава или декада принимаются в качестве логарифмических единиц измерения по оси абсцисс (оси частот). Фазовая частотная характеристика строится в такой же координатной сетке, как амплитудная частотная характеристика, причем значения фазовых углов указываются в градусах или в радианах и откладываются по оси ординат в обычном масштабе.
Амплитудная и фазовая частотная характеристики, изображаемые с применением логарифмических масштабов, называются соответственно логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАХ) и логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФХ). При построении ЛАХ, строго говоря, должно использоваться безразмерное отношение амплитуд выходной и входной величин. Однако при технических расчетах иногда'берут отношения ампли- 50 д, имеющих разные размерности; тогда следует условиться о величине, принимаемой за единицу измерения А (го).
Таким образом, кроме амплитудно-фазовой частотной характеистики для элемента или системы с помощью передаточной функйян можно получить еще четыре частотных характеристики: вещественную, мнимую, амплитудную и фазовую, причем для изобра,кения двух последних характеристик могут быть применены логарифмические масштабы.
Если нули (корни уравнения М (д) = О) передаточной функции элемента или системы и полюсы (корни уравнения В (з) = О) этой аде гуа и др аа гд -га -за гвр' уг Рис. 2.13. Логарифмические координаты дли графиков амплитудной и фааоаой частотных характеристик передаточной функции расположены на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то между амплитудными и фазовыми частотными характеристиками существует однозначная связь.
Элементы и системы, передаточные функции которых удовлетворяют этому условию, называются минимально-фазовыми. У таких элементов и систем каждой относительной амплитуде А (го) (модулю амплитудно-фазовой частотной характеристики) соответствует наименьшее значение фазы гр (со). Элементы и системы, передаточные функции которых имеют нули, лежащие на комплексной плоскости справа от мнимой оси, называются неминимально-фазовыми. Для минимально-фазовых элементов и систем справедлива теорема Боде, устанавливающая следующие зависимости между б1 отдельными частотными характеристиками 171Ь +сО У(в) = — — т — ди; ! г $'(в) и,1 и — в +со р(в)=- ~ — (и; 1 г 0(в) и З и — в +СО ср (в) = — ~ — 1п с1 Ь ! — ! дЛ, где Ь=1п А (и); Л=!п — "; и — переменная интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
