Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Решение уравнения можно получить после сведения его путем замены переменных к системе уравнений, не содержащих в правой части производных от разрывных функций. Обычно к уравнению вида (2.24) приводит преобразование системы более простых дифференциальных уравнений первого и второго порядка, описывающих процессы в отдельных элементах системы автоматического регулирования. При наличии такой исходной системы дифференциальных уравнений по физической сущности исследуемых процессов и исходя из состояния системы автоматического регулирования до приложения входного воздействия могут быть сформу- Рис. 2.9.
График единичной ступенча- той функции как при этом отпадает необходимость вычисления произвольных постоянных и устраняются отмеченные выше трудности в формулировании правосторонних начальных условий. Предположим, что для элемента или системы автоматического регулирования известна передаточная функция ))у (з). Тогда по соотношению (2.27) имеем х,„,„(а) = )р'(з) хе (а). (2.37) В случае входного воздействия в виде единичной ступенчатой функции ! (() изображение х,„(з) вычисляется по формуле преобразования Лапласа (2.21) следующим образом: емко 1 х„(з) = ~ е-м1 (Г) (( = — ив а ~е а е Следовательно, 1(1) У 1/з. (2.
38) (2.39) Подставив изображение единичной ступенчатой функции из формулы (2.39) в зависимость (2.37), найдем изображение переходной функции й (з) = ))т (з)уз. (2.40) С учетом соотношений (2.25), (2.26) и (2.37) изображение переходной функции (2.40) можно привести к виду 6(з)=М Я~аР(а), (2.41) лированы начальные условия для х„,„, (+0) и для х,"„'„, (+0) Недостающие начальные условия должны последовательно определяться по исходной системе дифференциальных уравнений, приводящих к уравнению (2.24). Сначала находятся х,"'„'„, (+0), затем, после дифференцирования системы уравнений и подста. новки 1 =-О, х,",'„, (+0) и т.
д. При типовом входном воздействии в виде единичной ступенчатой функции (единичного скачка, рис. 2.9) зависимость выходной величины от времени при 1) 0 называется переходной функцией или переходной характеристикой. Зта функция определяется при нулевых начальных условиях и обозначается л (1). Применение методов операционного исчисления облегчает нахождение переходных функций, так где )И(а)=Ь„а'"+Ь ъэ '+...+Ь|а+Ьа,' 0 (а) = а„а" + а„!з '+... + ага+ аа.
((ля получения переходной функции Ь (1) необходимо по изображению (2.4!) определить оригинал. В общем случае этой цели служит формула обращения (2.22). Однако непосредственное использование этой формулы приводит к вычислительным трудностям н для обратного преобразования обычно применяют доказанные в операционном исчислении теоремы разложения или таблицы соответствий между изображениями и оригиналами. Если изображение является дробно-рациональной функцией вида (2.41), причем степень полинома М (з) в числителе меньше степени полинома 0 (з) в знаменателе и 0 (а) имеет простые корни, отличные от нуля, то одна из теорем разложения дает формулу Хевисайда 118, 32! и Ь(!) =я-!( ('1 ! = — (1-1- У,( "1 е'а~, (2.42) (вг! (а) ~ гЧО) .аа !ат!' (аа) ' й=! Ь(()=1+ е — цг=1 — е — Яг 1 1 — — ° Т Т (2.43) График такой переходной функции (переходная характеристика) показан на рис. 2.9 штриховой линией.
Более общая формула для определения оригинала Г (1) по его изображению 1 (а) = А (а)/В (з), которое является дробно-рациональной функцией, причем степень полинома числителя по-прежнему меньше степени л полинома знаменателя, имеет вид а! — 1 ((()=. ~~ ! 1пп — „, 1(а — а,) !1(а)е"~, (2.44) где а; — корни уравнения В (з) = О; й! — кратность корня аь Переходная функция может быть использована для определения закона изменения выходной величины во времени при произвольном законе входного воздействия. Если х,„(!) — произвольная функция времени, имеющая изображение х,„(а), то изображе- 43 где аа — корни уравнения Р (з) = О; Р' (аа) = (д0/дз) В качестве примера найдем переходную функцию для элемента с передаточной функцией К (з) = 1!(Тз + 1); здесь п = 1, а, = — ))Т, 0' (а,) = Т, поэтому по формуле (2.42) имеем Правая часть данного соотношения содержит произведение двух изображений и множитель з.
Согласно рассмотренным выше свойствам преобразования Лапласа (свойства 6 и 9) этому выражению в пространстве оригиналов будет соответствовать производная по времени от свертки двух функций: з Й (з) х,„(з) =', „-- ~ й (1 — т) х„(т) в(т. в (2.46) Из соотношения (2.45) и соответствия (2.46) следует зависимость для выходной величины х,„, (!) = — „Ь (! — т) х„(т) дт. (2.47) Данная формула называется интегралом Дюамеля. ! 2.6. ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ Весовой функцией (функцией веса, импульсной переходной характеристикой) называется зависимость ш (!) выходной величины от времени при входном воздействии в виде единичной импульсной функции 6 (!).
Единичной импульсной функцией (единичной 6-функцией) называется функция, равная нулю всюду, кроме точки ( = О, где она стремится к бесконечности, причем так, что интеграл от нее по любому интервалу, включающему точку ! =О, равен единице: ) 6 (() в(( = ! при любом е ~ О. — в (2.48) Впервые 6-фуикции были введены Дираком, поэтому в математике эти функции называются его именем. Весовую функцию можно определить следующим образом. Предположим, что воздействием являются смещенные относительно друг друга ступенчатые функции К ! (!) и — К 1 (! — 6!) (рис.
2.!0). Изменение выходной величины во времени при таком воздействии определяется по разности соответствующих переходных функций: х,„„(() = К (6 (!) — 6(т — 6()). (2.49) Если теперь увеличивать высоту скачка К и одновременно уменьшать величину смещения Ы так, чтобы КЛ! под графиком ние выходной величины находится по зависимости (2.37). С помощью переходной функции (2.40) эту зависимость можно записать в виде х„,„ (з) = з й (з) х,„ (з). (2.45) суммарного воздействия (штриховая прямая на рис. 2.10) равнялась единице, то будем приближаться к единичному импульсному воздействию.
Умножив и разделив правую часть зависимости иа б( и перейдя к пределу, получим весовую функцию ш(1) =!пп к и (й (т) — й 0 — дт)1 д, О дт (2.50) Отсюда следует, что весовая функция может определяться дифференцированием переходной функции. Рис.
2ЛО. Приближение двух ступенчатых функций к б-функции, т=дт В изображениях по Лапласу зависимость (2.50) с учетом нулевых начальных условий принимает вид ш(я) =ай(я). (2.51) Подставив в это соотношение изображение переходной функции (2.40), будем иметь ш (я) = Му (я). (2,52) Данное соотношение позволяет дать еще одно определение передаточной функции: передаточная функция является изображением по Лапласу весовой функции: ук' (я) = ) ш (т) е " О((. О (2.53) Изображение выходной величины при произвольном входном воздействии можно найти из соотношений (2.37) и (2.52) в виде К,н, (Я) =ОП(Я) Х,„(Я), (2.54) поэтому изменение выходной величины во времени при произволь- ном входном воздействии и нулевых начальных условиях опреде- ляется интегралом свертки й 2.7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Особенно удобным для исследования динамических свойств элеменчов и систем автоматического регулирования является гармоническое входное воздействие х„, (() = а„, яп а(, где а„— амплитуда входного воздействия; в — угловая частота.
Такое воздействие по сравнению с другими видами детерминированных сигналов проще создать пря проведении экспериментов и, как будет показано ниже, позволяет при минимальном объеме вычислений получить расчетные характеристики, достаточно полно отражающие динамические свойства элементов и систем. При гармоническом входном воздействии (2.55) закон-. измейения выхочиой величины во времени согласно решению (2.34) имеет две составляюш е. Первая из них, опречеляемая общим решением однородного дифференциального уравнения, характеризует переходный процесс, возникающий в элементе или в системе после приложения гармонического воздействия.
Вторая составляющая характеризует вынужденное движение элемента или системы и определяется частным решением неоднородного дифференциального уравнения. В силу линейности исходного дифференциального уравнения эта составляющая будет также гармонической, но в общем случае отличающейся от входного воздействия по амплитуде и по фазе: (х„,„(())„= а,„„яп (ы(+ ~р), (2.55) где в — угловая частота; а„,„— амплитуда гармонической составляющей закона изменения выходной величины; у — сдвиг по фазе выходной величины относительно входной. Если исследуемый элемент или система автоматического регулирования устойчивы, то при (-~ + со отклонения выходной величины (х„,„(())„в переходной составляющей будут стремиться к нулю.
При этом закон изменения выходной величины во времени будет прибчижаться к установившейся гармонической составляющей. Исследование зависимостей отношения амплитуд а„,„!а,„и фазы у от частоты вынужденных колебаний дает полную картину динамических свойств линейной модели элемента или системы автоматического регулирования. Математические операции, которые необходимы для определения этих зависимостей, существенно упрощаются при представлении гармонических колебаний в комплексной форме. Известно, что функция ае~ ' в комплексной плоскости является точкой, которая при изменении м от О до оо будет перемещаться по окружности радиуса а с угловой скоростью в (рис. 2.1!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
