Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 8
Текст из файла (страница 8)
известно прошлое исследуемых систем. В связи с этим сравнительно просто могут быть сформулированы начальные условия, когда ! стремится к нулю слева. Такие начальные условия могут быть названы левостороиними или предначальными. Они записываются в виде 1(г= — о), ~'(г= — О)...1! -' (г= — О). Прн приложении к системе возмущений в момент ! = 0 функции и их производные могут иметь скачки, т. е. могут быть разности между соответствующими левосторонними и правосторонними значениями начальных условий (между 7' (! = +0) и 7 (7 = — 0), между 37 $2.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ Пусть исходя из предположений, сделанных относительно свойств и характеристик какого-либо элемента или системы автоматического регулирования, или в результате применения рассмотренных выше методов линеаризации, получено следующее линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: дв Хвых дв — 1 Хвых Х~~вых а„,"„„+а„, „, +...+а,— „+ахвых= где х,х и хвы, — соответственно входная и выходная величины или их отклонения от значений, определяющих равновесное состояние элемента или системы.
Проведем преобразование уравнения (2.24) по Лапласу, полагая начальные условия нулевыми и используя свойства 2,-3 и 9 из з 2.3. В результате найдем уравнение в изображениях (авзв+ ав хза-х +... + ахз + а,) ха в,х (з) —. — (Ь з +Ь хз х+ +Ь з+Ьв) х (з) (2.25) Затем определим отношение хвых(х) Ь в"+Ь х '+ "Ьхх+Ьв хвх(х) авва+ах ххв '+...ахх+а, ' (2.26) Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины, полученное при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией. Обозначив передаточную функ- 1' (х = +О) и 1' (х = — О) и т.
д,) и поэтому левосторонние и правосторонние начальные условия не совпадают. Определение же правосторонних начальных условий часто сопряжено с выполнением достаточно сложных вычислений. Указанные трудности отпадают, если левосторонние начальные условия являются нулевыми и на систему при 1 ( 0 не действуют никакие возмущения, т. е. система находится в равновесном состоянии. В этом случае при нахождении, согласно свойству 9, изображений производных от оригиналов с целью преобразования по Лапласу дифференциальных уравнений могут быть использованылевосторониие начальные условия 1181.
Ниже, во всех разделах, когда речь будет идти о нулевых начальных условиях, обычно имеются в виду левосторонние начальные условия, причем предполагается, что этим условиям соответствует равновесное состояние изучаемой системы. Более общие случаи левосторонних начальных условий могут быть учтены, если в преобразовании Лапласа (2.21) нижним пределом считать ( — О) с тем, чтобы включить дельта-функции, содержащиеся при 1 = О, в область интегрирования [5, 18, 20).
„ю через В'(з), имеем )р' (з) = х„„(з)/х,х (з), (2.27) Запишем теперь уравнение (2.24) в символической форме. Вводя оператор дифференцирования р = д/й, получим символическую запись апр Х„,х+ап,рп-'Х.„+...+а,рХ ых+а,Х,„В = =б р"'х„+б„,р -'х„+...+Ьхрх,„+ЬВх,„. Из этого уравнения формально находится соотношение ЬыР +Эт хР -'+...+ЬВР+ЭВХ ВЫХ П Рп+а рп'"х+ +а р+и Вхх выражение в правой части которого совпадает с выражением, определяющим передаточную функцию (2.26) при замене символа дифференцирования на переменную з. Таким образом, передаточную функцию можно формально находить, беря отношение операторного пол инома (р) =в р'"+0~-.р"-'+...+бХр+б, (2 29) к операторному полиному 0(р)=апрп+а„хрп-х+...-(-ахр~ а,, (2.30) В этом случае передаточная функция определяет связь между выходной и входной величинами в пространстве оригиналов, Операторный полинам (2.29) получается из правой части дифференциального уравнения (2.24), связанной с входной величиной, и поэтому может быть назван входным оператором или оператором воздействия.
Операторный полипом (2.30) определяет левую часть дифференциального уравнения (2.24), характеризующую собственные свойства элемента или системы автоматического регулирования, которые не зависят от внешних воздействий. В связи с этим такой полипом называется собственным или выходным оператором. Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.24), имеет вид а„Р + а„х) и-х +... + ах)х+ а, = О. (2.31) Из сравнения операторного полинома (2.30) с уравнением (2,31) видно, что корни характеристического уравнения находятся из (П(р)1,,=0, (2.32) поэтому собственный оператоп называется также характеристическим полиномом. Отмеченное выше совпадение выражений для передаточной функции, получаемых с помощью преобразования Лапласа и символическим методом, позволяет находить передаточные функции элементов и систем автоматического регулирования непосредственно по дифференциальным уравнениям, производя в них замену сим.
вола дифференцирования д!й комплексной переменной з или оператором р. При этом следует иметь в виду, что в случае решения задач с применением методов операционного исчисления должны рассматриваться изображения входных и выходных величин и соответственно в передаточной функции должна приниматься комплекс. ная переменная з. Элементы и системы автоматического регулирования могут подвергаться различным воздействиям, которые в общем случае характеризуются произвольными функциями времени. Функция времени, определяющая изменение выходной величины при каком-либо воздействии, приложенном к элементу или системе, называется откликом или реакцией элемента (системы) на входное воздействие.
В теории автоматического регулирования широко используются методы изучения динамических свойств элементов и систем, основанные на определении откликов (реакций), вызванных определенными (детерминированными) типами воздействий. В качестве типовых входных воздействий принимаются единичная ступенчатая функция (единичный скачок) О при 8«0, единичная импульсная функция 1 (() = 6 (() и воздействие с гармоническим изменением входной величины. з 2.5.
ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ В каждый момент времени связь между выходной и входной величинами элементов или систем автоматического регулирования, имеющих линейную математическую модель, устанавливается дифференциальным уравнением (2.24). Представим это уравнение в сокращенной форме записи: 0 (р) х„„= М (р) х,„. (2.33) При заданном входном воздействии (сигнал) х,„(1) изменение выходной величины во времени (выходной сигнал) является решением уравнения (2.33): х,„, (1) = [х,„„(())„+ [х,, (()[„, где [х,„, (г)[„— общее решение однородного дифференциального уравнения, получаемого из выражения (2.33) при х,„= О, котоым определяется свободное движение исследуемой системы; х„,„(~)), — частное решение неоднородного дифференциального уравненйя (2.33). 40 Известно, что (2.35) где Ц вЂ” различные корни характеристического уравнения; й,— кратность корней характеристического уравнения; См — произвольные постоянные; 1 = 1, 2, ...р Характеристическое уравнение совпадает с уравнением (2.32) „ри замене в последнем р на д.
Для определения произвольных постоянных необходимо иметь начальные условия ....() ( ) = "...(О)...(~ - ~,. >(0) При заданных начальных условиях (2.36), произвольные постоянные вычисляются в результате решения системы п алгебраических уравнений. Для нахождения такой системы в решение (2.34) подставляются общее решение (2.35) однородного дифференциального уравнения и частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Затем должны быть взяты (п — 1) производных от величины х„„(1) по 1 и после подстановки 1 = 0 полученные выражения приравниваются к соответствующим значениям производных из начальных условий (2.36).
Решение (2.34) определяет процесс изменения величины х,„„ во времени с момента приложения к элементу или к системе автоматического регулирования входного воздействия. Этот момент обычно принимается за начало отсчета времени, и, следовательно, развитие всего процесса х,„„(1) рассматривается для 1) О, в связи с чем начальные условия (2.36) должны быть известны для г +О. Такие правостороннне начальные условия, как уже отмечалось, могут не совпадать с левосторонними (чпредначальнымиэ) условиями (1 = — О), характеризующими начальное состояние элемента или системы автоматического регулирования до приложения входного воздействия. Если в правой части дифференциального уравнения динамики содержатся производные (уравнение вида (2.24) при коэффициентах Ьм отличных от нуля), то указанный здесь случай будет иметь место при входных воздействиях х,„(1) с разрывом при г = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
