Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Несмотря на свою сложность, линеарпзация уравнений динамики всегда осуществима описанным методом, если отклонения величин малы и нелинейные функции являются аналитическими, т. е имеют конечные производные всех порядков по рассматриваемым переменным в окрестности, определяемой значениями величин при выбранном равновесном состоянии элемента или системы автоматического регулирования. При выполнении такого же условия для множества мгновенных состояний элемента или системы уравнения динамики могут быть линеаризованы для малых отклонений величин от значений, изменяющихся во времени. В этом случае уравнения динамики разделяются на уравнения основного движения и уравнения движения в отклонениях. зх В приложениях к техническим расчетам условие малости отклонений величин может не выполняться.
Иногда удовлетворительного соответствия расчетных и экспериментальных результатов удается достигнуть, проведя аппроксимацию нелинейных статических характеристик секущими прямыми (рис. 2.8). функции, которые не могут быть линеаризованы разложением в ряд Тейлора, делают математическую модель элемента или системы автоматического регулирования существенно нелинейной. для исследования и расчета систем с такими математическими моделями в теории автоматического регулирования разработаны приближенные и точные методы, некоторые из которых будут рассмотрены в гл. Ъ'П.
Эти методы применяются также- и в тех слу- х чаях, когда нельзя ограничиться изучением состояний элементов и систем автоматического регулирования при малых отклонениях величин. В заключение можно указать следующую последовательность получения линеаризованных уравнений динамики. Рис. 2.8. Аппроксимация нелинейной статической характеристики 1. На основании физических законов составляются исходные уравнения, описывающие процессы в элементе нли в системе автоматического регулирования. 2. Выбирается равновесное состояние элемента или системы и определяются значения величин, определяющих это состояние (находится точка, в окрестности которой проводится линеаризация).
3. Проводится лииеаризация нелинейных функций с использованием малых отклонений величин от их установившихся значений или путем линеарнзации статических характеристик секущими. 4. Из линеаризованных уравнений вычитаются уравнения статики, определяющие равновесное состояние элемента или системы. 5.
Полученные уравнения преобразуются так, чтобы их коэффициентами были постоянные времени и коэффициенты передачи или коэффициенты усиления; уравнения могут быть приведены к безразмерной форме. $2.3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Известно, что решение линейного дифференциального уравненнп с постоянными коэффициентами получается в виде семейства экспо ненциальных функций е а, где 2ва — корни характеристического ЗЗ 2 попов д. Н.
уравнения. Дифференцирование и интегрирование экспоненциальной функции е ь приводит к умножению и делению функции на Х„, Это указывает на целесообразность введения преобразования, позволяющего от дифференциальных уравнений переходить к алгебраическим. Такой переход может быть осуществлен с помощью линейного интегрального преобразования Лапласа П8, 32) г(з)=~ е-Т(1)й.
(2.21) а Данное соотношение переводит функцию-оригинал ) (() в функцию-изображение Р (а). Совокупность всех ~ (1) называется пространством оригиналов, а совокупность всех Р (з) — пространством изображений. В соотношении (2.21) время 1 является действительной переменной, а а =о+)а — комплексной переменной. Таким образом, с помощью преобразования Лапласа функции действительного переменного ставится в соответствие функция комплексного переменного. Используют различные обозначения указанного преобразования функций; в дальнейшем с этой целью будет применяться следующая форма записи: Ж РР(з) Для обозначения изображений также существуют различные приемы.
Например, изображения, как в преобразовании (2.21), обозначают большими буквами, а оригиналы — малыми, или наоборот. В некоторых случаях изображения в отличие от оригиналов отмечают чертой сверху. Оба эти способа не очень удобны при математическом описании систем с большим числом различных постоянных и переменных физических величин, обозначение которых требует использования почти всех букв не только латинского, но и греческого алфавита, в связи с чем чертой сверху приходится отмечать безразмерные значения этих величин. Поэтому изображения от оригиналов в дальнейшем отличаются тем, что в скобках указывается переменная а, а буквы используются одинаковые. В виде исключения обозначения вводимых ниже передаточных и весовых функций, как это принято в теории автоматического регулирования, даны соответственно большой и малой буквами.
В целях сокращения записи операцию преобразования, выполняемую с помощью интеграла (2.21), принято представлять в виде Из) =~ У((Н и называть Я-преобразованием. Переход из пространства изображений в пространство оригиналов осуществляется обратным преобразованием1Т,"-преобразование) по следующей формуле обращения Римана — Меллина: (2.22) где интегрирование ведется в плоскости комплексной переменной з вдоль прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на расстояние с, причем прямая расположена правее всех особых точек функции ( (э). В ряде случаев отпадает необходимость в использовании формул (2.21) и (2.22), так как имеются достаточно подробные таблицы оригиналов и изображений (32!. Существуют и другие виды интегральных преобразований, из которых наиболее близким к преобразованию Лапласа является преобразование Карсона гэ(з)=з~ е-'7(()г((.
э (2.23) Из сравнения интегралов (2.21) и (2.22) следует, что эти два преобразования связаны соотношением (э (з)=э! (з). Преобразование Карсона используется в теории автоматического регулирования наравне с преобразованием Лапласа. В общей теории линейных систем применяется также двустороннее преобразование Лапласа, отличающееся от одностороннего преобразования (2.21) тем, что имеет нижний предел — со вместо 0 (20!.
Методы прикладного математического анализа, позволяющие получать решения линейных дифференциальных и интегральных уравнений на основе интегральных преобразований, составляют содержание операционного исчисления. Отдельные стороны операционного исчисления будут затрагиваться в. последующих разделах с использованием одностороннего преобразования Лапласа.
Лля осуществления одностороннего преобразования по Лапласу функция-оригинал ( (() должна удовлетворять следующим условиям: быть непрерывной вместе со всеми своими производными для всех значений Г ) О, кроме отдельных точек, являющихся точками разрыва непрерывности первого рода, причем на каждом конечном интервале оси г число этих точек должно быть конечным; быть равной 0 при всех Г ( 0; возрастать не быстрее показательной функции, т.
е. чтобы при М)0, с,)0 ! ) (г) ! ( Яегм В операционном исчислении доказывается ряд теорем, которыми определяются свойства преобразования Лапласа, применяемые при решении различных прикладных задач. Основные из этих свойств следующие: 1. Умножение аргумента оригинала (изображения) на некоторое число приводит к делению изображения (оригинала) и его аргумента на это же число (теорема подобия): 1(а!) Я вЂ” 1Я; 1(ав) =' — 1( — ). 2.
Изображение суммы конечного числа оригиналов равно сумме их изображений: если 1(!) ь1(в) и гр (() ь ср (в), то 1(г) -(- (() ы1() 3. Изображение произведения оригинала на постоянную величину равно произведению изображения на эту постоянную. а1(!) ф а1(в).
4. Если оригинал смещается вдоль оси ! на величину т, причем 1(! — т) =О при !(т, то 1 (1 — т) ф е-"1 (в), где 1(в) =;-1(!). Это свойство следует из теоремы запаздывания. 5. Смещение изображения на в, приводит к умножению оригинала на еон (теорема смещения или затухания): е'" 1(!) =' 1( - во) где в, — любое комплексное число. 6. Произведение двух изображений 1 (в) и !р (в) также является изображением, причем равносильно свертыванию оригиналов (теорема свертывания): 1() р(в) ='. )1(т) р(г — ) (т. о Интеграл в правой части этого соотношения называется сверткой функций 1(!) и !р (!) и обозначается следующим образом: 1" р=')1(т) р(( — ) о(т о где т — вспомогательное время, изменяющееся от нуля до текущего значения й Свертка, так же как и произведение, обладает свойством коммутативности или )1(т) р(~ — ) ( =') р(т)1(! — т) ( и свойством ассоциативности (1*а) р=1о(ао р) 7. Теорема о предельном значении приводит к условию 1!и! 1(!) =! !ш в1(в).
36 8, Теорема о начальном значении дает !!ш Г (7) = !!ш э7 (э). 9. Изображение производных оригиналов находится по теореме дифференцирования из соотношения ~<л! (7) — 'эл~(э) у(7 +0) эл-1 /~(7 ! 0) эл-э — )х" м (Г = +0) э — )х" и (! = + 0), где 7" (э) ф 7" (Е); ~<"> (Е) — производная и-го порядка от функции 7 (7) по Г; Р (7 =+О) У (! =+0) " )ы м (7 = +0) — предельные зна- чения, к которым стремятся функция-оригинал и ее производные, когда ! стремится к нулю справа. Эти значения можно назвать пра- восторонними начальными условиями.
При нулевых правосторонних начальных условиях ! (7=+0) =Г (7=+0)=...=~" м И=+0)=О. Теорема дифференцирования приводит к соотношению ~ы! (7) ' эл~ (э) 1О. Интегрирование оригинала от нуля до переменной 7 соответствует в пространстве изображений делению иэображения на э (теорема интегрирования для оригинала) при нулевых начальных условиях: Свойства 9 и 10 раскрывают важные для приложений особенности преобразования Лапласа, заключающиеся в том, что операции дифференцирования и интегрирования в пространстве оригиналов заменяются в пространстве изображений алгебраическими действиями: умножением и делением. Необходимо отметить, что в большинстве случаев при изложении свойств преобразования Лапласа рассматриваются указанные выше правосторонние начальные условия. Однако при решении прикладных задач обычно известны состояния физических систем до момента г' = О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
