Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.6. 'т 2.2. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИЧнФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ДИНАМИКИ Динамикой называется раздел. теории автоматического регулирования, в котором изучаются состояния элементов и систем при изменении во времени обобщенных координат с учетом факторов, вызывающих эти изменения. Соотношения, определяющие взаимосвязь между переменными обобщенными координатами и приложенными к элементу (системе) воздействиями, являются уравнениями динамики.
Число независимых уравнений динамики должно быть равно числу переменных величин, т. е. обобщенных координат, определяющих в каждый момент времени состояние элемента или системы автоматического регулирования. Такая система уравнений будет замкнутой и при заданных начальных и граничных условиях образует математическую модель элемента или всей системы автоматического регулирования. Уравнения динамики, описывающие процессы в разнообразных элементах и системах автоматического регулирования, могут быть дифференциальными, интегральными, разностными и алгебраическими. Исключая из системы уравнений динамики все переменные величины, кроме выходной или той величины, относительно которой предполагается исследовать поведение системы, и одного из воздействий, можно получить одно уравнение, связываюцее выходную и входную величины.
С математической точки зрения такая 28 зависимость между входной х,„(в) и выходной хвы„(() величинами записывается в виде в 1~вых (()1 = Ав (хвв ф), (2.4) где Ав и А, — некоторые не обязательно линейные операторы. Производная любого порядка и интеграл любой кратности могут служить примерами применения операторов по отношению к какой- либо функции, причем эти операторы являются линейными. Линейный оператор А обладает следующими свойствами: А ~ )„х~ (()~=~; А ~х„(()); (2.5) А (схэ (в)] = сА (ха (~)), с = сопзЕ (2.6) Свойство (2.5) позволяет общее решение уравнения, у которого левая и правая части выражены линейными операторами, представить в виде суммы независимых частных решений.
Такие уравнения называются линейными, а указанный способ нахождения их общего решения называется принципом суперпознции (наложения). При математическом описании процессов в элементах и системах автоматического регулирования наиболее широко используются дифференциальные уравнения динамики. Для определения законов изменения какой-либо величины по времени в исследуемом элементе или в системе приходится находить решение дифференциального уравнения динамики. Если уравнение линейное с постоянными коэффициентами, то отыскание его общего решения облегчается благодаря применимости принципа суперпозиции. Уравнения динамики элементов и систем автоматического регулирования составляются на основании физических законов, которым подчиняются исследуемые процессы.
Вследствие сложности явлений, влияющих на процессы в элементах и в системах, и конструктивных особенностей элементов математическое описание реальных систем может привести к нелинейным дифференциальным уравнениям. В некоторых случаях несовместимость удобства и простоты использования линейных дифференциальных уравнений для исследования систем автоматического регулирования с полученными для реальных систем нелинейными дифференциальными уравнениями оказывается устранимой с помощью методов лннеарнзации. В результате применения этих методов нелинейные уравнения динамики заменяются приближенными линейными уравнениями, Рассмотрим сначала метод линеаризации, основанный на условии достаточной малости отклонений переменных величин от значений, определяющих равновесное состояние элемента или системы, составленной из нескольких элементов.
Предположим, что выходная х„,„и входная х,„величины какого-либо элемента связаны нелинейным уравнением — К,ы*=~ (Хввв «выв)в (2.7) где г'(х,„, х„,„) — нелинейная функция. 229 Обозначим отклонения величин х,х и х„п от своих установив- ШИХСЯ ЗНаЧЕНИй Хв, „, Х„к О Прн раВНОВЕСНОМ СОСтОяНИИ СИСТЕМЫ через Лх,„и Лх,ы„. Тогда в каждый момент времени хвк хвх.о+~хвхь хвых хвых.о+~~хвых. (2.8) Состояние системы, относительно которого рассматриваются отклонения входной и выходной величин, является установившимся, поэтому согласно равенствам (2.8) взвыв ы (дквьп! (2.9) ОХ ( ) дг ~ вык~ вк — вх о *вых вых.О В разложении (2.10) функция г (х,х „х„п,) определяется при значениях входной и выходной величин, соответствующих равновесному состоянию системы, когда Лх,„= Лх,„„=О и — '"' = О, поэтому ' г" (Х,„О, Х„п,)=0.
(2.!!) Частные производные в этом разложении берутся в общем виде от функции г" соответственно по х,к и х,ы„после чего производится подстановка х„= х„„х„п = х„п,. Зти производные определяют тангенсы !рак и !па, углов наклона касательных, проведенных к графикам функций ух=с (х„, хвых о); ух=с" (Х,„„х„ы,) соответственно в точках х,к ыв х„, и х,ьп = х„п, (рис. 2.7, а и б).
Используя зависимость (2. 10) с учетом соотношения (2.9) и уравнения статики (2.11), заменим нелинейное уравнение (2.7) приближенным линейным уравнением в малых отклонениях переменных величин „.""" =Ьбх„— айх,ы„, хй (2.!2) где Ь=(д~ ) ( дР ~ дхвых,.х,х=х,к, вых вык.о =х вых вых.в 30 Разложим нелинейную функцию г'(х,к, х,ы,) в ряд Тейлора по степеням отклонений входной и выходной величин в окрестности их установивцшхся значений х,х, и х„п,. Принимая во внимание условие малости этих отклонений, удержим в таком разложении только члены, в которые отклонения Лх,„и Лх,„, входят в первой степени.
В результате получим /дР~ ~ (хвх хвых) ~ (хвх.в хвых,о)+ (дх ) ~ахов+ вк вх.о хв ьп = «в ы х. о Лх,ы„. (2. 10) Коэффициент Т в данном уравнении имеет размерность времени и называется постоянной времени: Т = 1/а. (2.14) Коэффициент К является коэффициентом передачи, так как его можно найти непосредственно из статической характеристики эле- Уг «ах.в а) «ах «днях «ввх Рис. 2Л. Графини для определения иоаффиниенгоа н линеариаоианнои ураииении !оси «вх и «вых даны для ойпгего случая Г(«вх.в «вых.в)=С1 мента, принимая установившиеся значения отклонений Лх„и ххх„ы„.
В соответствии с уравнениями (2.12) и (2.!3) коэффициент передачи определяется также по формуле К =Ыа. (2.15) В общем случае величины Лх„и Лх,„„имеют определенные размерности. Вводя некоторые постоянные положительные величины (масштабы) «,'х и «"„„, можно записать следующие соотношения: й«вх=вххдвх«вх~ Г~Г«вых=йдвых«вых (2.16) где Лх„х и Лх„ы„— безразмерные отклонения соответственно входной н выходной величин. С помощью соотношений (2.16) уравнение (2.13) приводится к безразмерной форме (нормируется): Т „+ Л«,ы„= Ка Лх„,. ~ (ахвых) (2.! 7) 31 Обычно уравнения динамики записываются так, чтобы выходная величина н ее производные содержались в левой части уравнения, а входная величина — в правой части. Прн этом уравнение чаще всего преобразуется, с тем чтобы коэффициент при выходной величине был равен единице.
В нашем случае после выполнения необходимых преобразований будем иметь Т (~"ых)+ й«,ы„=К Л«„. (2.13) Коэффициент К, в данном уравнении является безразмерным и связан с коэффициентом передачи К соотношением х*„ К,=ʄ— „. »ых Первоначально в теории автоматического регулирования ши. роко использовалась несколько иная форма записи безразмерных уравнений динамики. В этой форме уравнение динамики (2.17) имело бы вид Т' ( ' *)+ЬЬ««,„„=ЛЯ„, (2.18) где Т' = Т(К» — постоянная времени; Ь = 1/К« — коэффициент «неравномерности» статической характеристики. В целях сокращения записи символ Л может быть опущен в тех случаях, когда является очевидным измерение отклонений от значений, соответствующих данному равновесному состоянию элемента или системы автоматического регулирования. При записи уравнений динамики в безразмерной форме можно также ввести относительное время 1=ЦТ.
(2.19) С учетом данного соотношения уравнение (2.17) примет вид (в" ы") + Ах,„, = К,Ля,„. (2.20) Все входящие в данное уравнение величины являются безразмерными. Аналогичным образом может быть исключена постоянная времени Т' и из уравнения (2.18). Выше был рассмотрен метод линеаризации на примере достаточно простого уравнения динамики. При определении математических моделей элементов и систем автоматического регулирования в линейном приближении приходится проводить линеаризапию и более сложных уравнений, содержащих производные высокого порядка от выходных и входных величин по времени, а также нелинейные функции от таких производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
