Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При расчетах иногда используют обратные АФЧХ и соответствующие им обратные амплитудные и фазовые частотные характеристики. Обратные АФЧХ К,зр Ов) находятся по амплитуднофазовым частотным характеристикам по соотношению 1" азр (ув) 1/(Р ((в) Соответственно А,зр (в) = 1/А (в) т,ъ (в)= — Ч(в). Глава П1 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 1 ЗкЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ При определенной степени идеализации различных устройств удается получить достаточно простые передаточные функции, отражающие общие динамические свойства устройств независимо от особенностей протекающих в них физических процессов. Звенья с такими передаточными функциями относятся к типовым.
Они разделяются на пропорциональное, интегрирующее, дифференцирующее, апериодическое, форсирующее первого порядка, колебательное и форсирующее второго порядка. Первые три звена наиболее просты в отношении определения динамических характеристик. Пропорциональное звено передает сигналы от входа к выходу без сдвига по фазе, причем отношение амплитуд выходной и входной величин сохраняется постоянным при всех частотах.
Примерами пропорциональных звеньев могут служить рычажные механизмы, дифференциальные зубчатые механизмы, электрические потеициометры, а в ряде случаев сельсины и вращающиеся трансформаторы. Зависимость выходной величины от входной в пропорциональном звене имеет вид Хвых — К~вк (3.1) У. механизмов коэффициент передачи совпадает с передаточным числом, а у электрических устройств определяется значением выходного напряжения, приходящимся на единицу перемещения щетки потенциометра, угла поворота ротора сельсина или вращающегося трансформатора. Интегрирующее звено характеризуется тем, что выходная величина определяется интегралом по времени от входной величины.
Такое звено описывается уравнением (3.2) Преобразование по Лапласу этого уравнения при нулевых начальных условиях дает передаточную функцию ()г (з) = ПТз. (3.3) ьз Переходная функция находится непосредственно интегрированием уравнения (3.2) при х,„= 1 (1): й(1) =11Т, (3.4) а амплитудная частотная характеристика вычисляется по соотношению А (в) = 11Та. (3.8) Логарифмическая амплитудная частотная характеристика строится по Е (в) = 20!я ( ЫТв) = — 20 1я Та.
(3.9) Полагая в этой зависимости значения угловой частоты в равными ПТ и 101Т, легко заметить, что логарифмическая амплитудная частотная характеристика интегрирующего звена будет прямой, пересекающей ось абсцисс в точке в = 11Т и имеющей отрицательный наклон — 20 дБ1дек. На рис.
3.1 даны графики всех рассмотренных выше характеристик интегрирующего звена, Одним из примеров интегрирующего звена может быть гидравлический механизм, состоящий из распределительного золотника и ненагруженного гидроцилиндра (рис. 3.2). Предположим, что золотник 1 имеет нулевые перекрытия и размещен во втулке с пренебрежимо малыми зазорами. Пусть также рабочей средой служит жидкость, которую вследствие постоянства давлений р, и р, в полостях гидроцилиндра 2 можно считать несжимаемой. При смещении золотника от нейтрального положения расход жидкости, протекающей в гидроцилиндр и вытекающей из него через окна во втулке, будет з ГРп Рсл Яз рз ок э )/ (3.10) где р, — коэффициент расхода распределительного золотника; Ь,„— ширина окон во втулке (если окно, расположенное против бурта золотника, занимает весь периметр втулки, то Ь„= пй,); 54 причем произвольная постоянная получается равной нулю, так как началом отсчета выходной величины принято ее значение до ступенчатого единичного воздействия.
Весовая функция по соотношению (2.50) равна ш (1) = 1/Т. (3.5) Амплитудно-фазовую частотную характеристику можно получить подстановкой з =1в в передаточную функцию (З.З): К (1в) = — 11Тв. (3.6) Данная зависимость показывает, что фазовая частотная характеристика интегрирующего звена имеет постоянное значение: ~р (в) = — п12, (3.7) х, — смещение золотника от нейтрального положения; р„— давление питания в напорной магистрали; р,а — давление в сливной магистрали; р — плотность жидкости. По условию неразрывности потока жидкости вг) х ~Уп (3.11) где Рп — рабочая площадь поршня гидроцилиндра; уп — смещение поршня, измеряемое от положения, которое он занимал, до смещения золотника, Рнс. ЗЛ, Характеристики интегрирующего звена: а — переходная; а — весовая; г — амплитудна.фааовая; г и д — логарифмнаесние ам- плитудная и фааовая Из соотношений (3.10) и (3.11), полагая х,' =ув, к, = х, х,' и у, = у ув, получим уравнение (3.12) Т, — постоянная времени гидравлического механизма; РпТ„= ~/ Рп — Рса л и у — безразмерные смещения золотника и поршня гидроцилиндра.
Уравнение (3.12) является таким же, как и уравнение (3.2), поэтому данный гидравлический механизм имеет характеристики интегрирующего звена. В дальнейшем будет показано, что при действии внешней нагрузки на поршень гидроцилидра уравнения получаются более сложными и, следовательно, интегрирующее 55 звено может служить в качестве математической модели гидравлического механизма рассмотренного типа только при сделанных выше допущениях.
Диффереицирующее звено в противоположность интегрирующему описывается уравнением вида вквв х„,„*= Т вЂ” „ которому соответствует передаточная функция )Р' (и) = Тз. (3.14) Переходная и весовая функции определяются соотношениями Й(Г) = Тб (1); га(1)=Т вЂ” „ (3.15) Амплитудно-фазовая частотная характеристика находится подстановкой з =(ю в передаточную функцию (3.14): 'йу (1ю) = 1»Тю. (3.16) Из сравнения формул (3.6) и (3.!6) следует, что все частотные характеристики дифференцирующего звена являются обратными по отношению к характери- -.1 стикам интегрирующего звена, поэтому -Хв вр(го)=+ п72; Е (ю) = 20! и Тю.
(3.17) Р» Графики характеристик (3.15) — (3.17) даны иа рис. 3.3, причем логарифмическая ам- -У» плитудная частотная характеристика проходит через точку Рв» ю = ЦТ оси абсцисс и имеет наклон +20 дБ!дек. Примером дифференцирующего звена может служить тахо- генератор, преобразующий угловую скорость вв =- с(сс!Ш ротора в электрическое напряжение и,ы„, пропорциональное этой угловой скорости, т. е. Рнс. З.х.
гидравлический механизм как пример интегрирующего звена На Пвых ""в Кгв в,вс (3.18) ИспользУЯ соотношениЯ и,ы„= и,*„„и,ы„, а =ссай, УРавнение (3.18) можно привести к виду Йй йвыв Тгев (3.! 9) 66 Т„,н — постоянная времени генератора; Тге» Кгенщ lпвых (3.20) Соответствие тахогенератора дифференцирующему звену подтверждается одинаковым видом уравнений (3.!3) и (3.19). Следует б) С Рис. З.З. Характеристики дифференкирующего звена; а — переходная; б — весовая; е — амплн. тулио-фавовая; г — логарифмические амплитудная и фавовая г1 х =К млвх вых ск СС (3.21) $ 3.2.
АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО И ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО ПЕРВОГО ПОРЯДКА Апериодическое звено описывается уравнением ~~двых (3.22) которому соответствует передаточная функция (УУ(з) = 17(Тз+ 1). (3.23) При передаточной функции (3.23), как было показано в З 2.5, выходная величина во времени изменяется по апериодическому закону, чем и объясняется название таких звеньев. Весовая функ- б7 заметить, что часто вместо постоянной времени в уравнение диф- ференцнрующего звена ставится коэффициент передачи по скорости К,н, и уравнение записывается так: ция находится достаточно просто дифференцированием переход- ной функции ш(()=те г.
(3.24) Амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет вид ~+~ т (3.25) или (т ~+м~т~ ь+ а т* (3.26) Асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика, состоящая из двух прямых линий, строится без вычислений. Первой прямой определяются приближенные значения относительной амплитуды в логарифмическом масштабе при низких частотах ы ( МТ. Для таких частот в зависимости (3.29) второй член оказывается пренебрежимо малым по сравнению с единицей, и эта зависимость может быть представлена в виде Е~ (а) = О, (3.30) т. е. первая асимптота совпадает с осью абсцисс. Уравнение второй асимптоты находится из зависимости (3.29) при больших значениях частот а ) ПТ, когда можно пренебречь единицей по сравнению с членом а'Т'.
Е, (а) = — 20 1д мТ. (3.31) Вторая асимптота в логарифмических координатах будет прямая, имеющая наклон — 20 дБ/дек и проходящая через точку а = 1~Т оси абсцисс. Эта частота называется сопрягающей частотой асимптот (3.30) и (3.31). Наибольшее отклонение точной, логарифмической амплитудной частотной характеристики, построенной по уравнению (3.29), от асимптотической имеет место при сопрягающей частоте. Зто отклонение равно ЬЬ (в) = — 101я 2 3 дБ. (3.32) По данной формуле нетрудно установить, что графиком ))Г ()а) на комплексной плоскости при изменении в от 0 до + ао является полуокружность радиуса Й = '/, с центром, имеющим координаты (+Ч,, 10). Амплитудную и фазовую частотную характеристики можно найти по зависимости (3.25) или (3.26), применив известные правила действий с комплексными величинами: А (а) = пюб Иг ()в) = 1Д'1 + в'Т', (3.27) <р (а) = агд )г' ()та) = — агс(й аТ.
(3.28) Логарифмическая амплитудная частотная характеристика может быть получена после приведения зависимости (3.27) к виду Ь (со) = 20!а А (а) = — 101п (1+ и'Т'). (3.29) фазовая логарифмическая частотная характеристика находится непосредственно по зависимости (3.28), но при построении этой характеристики значения частот откладываются по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, Графики всех рассмотренных характеристик апериодических звеньев даны на рис. 3.4. Примером устройства, соответствующего апериодическому звену, может служить описанный выше гидравлический механизм, 1(аг) грИ Ри .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
