Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1ерго) теГа4 1РР ) Ь Соответственно амплитудно-фазовая частотная характеристика замкнутой системы с единичной отрицаРис. 4.14. Диаграмма для оп- тельной обратной связью будет иметь ределении соотношений между вид амплитудными и фазовыми частотными характеристиками разомкнутых и замкнутык систем Амплитудная частотная характеристика А, (в) такой замкнутой системы согласно соотношению (4.13) определяется следующим образом: ! 2У р 1/в) ! 4. 14 ')э(о1) ~ ! ! йу ( ) Если воспользоваться векторной диаграммой, изображенной на рнс. 4.14, и применить теорему косинусов, то нетрудно найти ~ 1+ ((ур (!в) ! = )г'1+ Ар (го) + 2 Ар (в) соз 1рр (в).
С учетом этого соотношения и того, что Ар(от) = ~ )р'р()в) формула (4.14) приводится к виду А,(в) ' . (4.15) Ар (ет) 1-1- Ар (в)+ 2Ар (в) соз 1рр (вт По амплитудно-фазовой частотной характеристике (4.!3) можно определить также связь между фазовыми частотными характери- 'стиками замкнутой и разомкнутой систем. Принимая во внимание, что грр(в) = агп йтр(/в); гр,(в) = агд Ф ()в), 82 по соотношению (4.13) и векторной диаграмме на рис. 4.14 находи,, Ар (Б1) Б1П 1Рр (Б1) ~рр (и') а1 с(в (+ Б (ББ) спБ ч (Б1) или аГС(к А (Б1Н-соБ (м) Б!п ер (и) (4.1Е) Обычно не приходится проводить вычисления по формулав (4.15) и (4.16), так как по ним построена специальная номограмма замыкания, изображенная на рис.
4.15. По вертикальной шкале номограммы отложены значения 7.р (п1) = 20 1й Ар (м) и по гоРизонтальной — значениЯ 1Рр (ПБ). КРоме того, часто Ука. зьваются еще значения избытка фазы У=п+1Р (БР). Номограмма состоит из двух серий кривых, по одной из кото. рых определянпся значения 1,, (а) = 201я А, (гр) в зависимости от значений йр (Р1) и 1Рр (п1), по ДРУгой — значе.
ния 1р, (ББ) в зависимости от зйачений тех же величин. Для нахождения точек логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик Е, (п1) 1р, (п1) замкнутой системы на номограмму наносят кривую йр (рр), которая является частотной характеристикой разомкнутой системы, представленной в координатах логарифм модуля — фаза. Угловая частота п1 при построении такой характеристики рассматривается как параметр, значения которого указываются в различных точках кривой йр (1Рр). В этих точках по инДексам на кРивых номогРаммы определяются значения 1,, (а) в дБ и 1р, (ББ) в градусах.
Если РассматРиваемые точки кРивой Б.р (1Рр) не попалают на кривые номограммы, то значения 1., (п1) и Ч1, (ББ) находятся интерполяцией тех значений, которые получаются в местах пересечения этой кривой с кривыми номограммы. ПРи 1'.р (п1) ) 30 ДБ значениЯ Е, (п1) ж О, апРи Ер (ы) ( — 20ДБ значения Е, (Б1) ж (.р (ББ), поэтому логарифмическую амплитудную характеристику замкнутой системы имеет смысл вычислять с помощью номограммы замыканий только в диапазоне — 20дБ(Ер(ББ)(+30 дБ. За пределами этого диапазона значения Ь, (ы) принимаются в соответствии с указанными выше приближенными соотношениями. Глава У УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 1 зд. ОБН(ие пОлОжения ОБ устОЙчиВОсти систем Состояния различных систем, в том числе и систем автоматического регулирования, могут быть устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от характеристик н параметров составляющих их элементов.
Под устойчивостью подразумевается сохранение системой заданных равновесных состояний или обеспечение заданных видов движения. Обеспечение устойчивости является одной из основных задач, решаемых при создании систем автоматического регулирования. Наиболее общая постановка задачи об устойчивости систем была дана А. М. Ляпуновым в 1892 г.
При изложении теории устойчивости в смысле Ляпунова различают иевозмущенное и возмущенное движения системы. При этом состояние системы описывается обобщенными координатами уп, определяемыми из дифференциальных уравнений луп 1 п(У1 Ум 1 Уп~ ~) (5.1) где Ух (у„у„..., уп, () — известные функции; й = 1, 2, ..., и. К системе дифференциальных уравнений (5.1) приводится, например, дифференциальное уравнение и-го порядка — „= Р ( — „...— „,, ..., х, (), (5.2) в котором задающее д (() и возмущающее г (() воздействия, приложенные к системе автоматического регулирования, учтены тем, что выражение в правой части рассматривается как явная функция от й После замены дх йп 1х уравнение (5.2) можно представить системой пуп и, =г1(Уь ° ° ° Уп-м г)~ У1 =х которая сокращенно записывается в виде уравнений (5.1).
Если принять, что исследуемое состояние системы задано функ. циями времени у1 у1 (г), ", у.— у. (() (5.3) то после перехода к новым переменным ха = уа — уа„(() уравнения (5.1) можно привести к виду Ыхь — =Ха(х„..., х„, г), (5А) (5.5) где й = 1, 2, ..., и; Х~(хм ..., х„„() = =У~(у1~+хм ..., у„а+х„, () — Ка(ут, ..., у„„, (). (5.6) Дифференциальные уравнения (5.5) называются уравнениями возмущенного движения, а отклонения обобщенных координат х, (г,) в начальный момент времени (, называются возмущениями. Каждому возмущенному движению системы соответствует частное решение уравнений (5.5). Невозмущенному движению отвечает очевидное решение х, =...=х„=О. (5.7) Невозмущенное движение является установившимся, если функции Уь не зависят явно от (.
При неизменяющихся во времени параметрах системы автоматического регулирования в случае установившегося движения вместо функций (5.3) задаются вели- чины у„„=соне(; й=1, 2, ..., и, которые будут корнями уравнений 1,(у„..., у„)=О, ~ ~~ ((~) ~ ( т) (А), при всех 1) Г, будут выполняться неравенства ! ха (1) ~ ( А. Если невозмущенное движение устойчиво и Иш ха(() =О, то система называется асимптотически устойчивой.
86 где по-прежнему й = 1, 2, „и. Невозмущенное движение устойчиво, если для всякого положительного числа А, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число т1(А), такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени 1, выполняются неравенства При условии, что правые части уравнений (5.5) возмущенного яжения раскладываются в ряды по степеням хм эти уравнения а случае установившегося невозмущенного движения можно записать в виде дхд — = ад,х, + аддхд+...+ ад„х„+ 11д (хм ..., х„), (5.8) где Яд (хм ..., х„) — совокупность членов выше первого порядка, получаемых после разложения функций Хд; й = 1, 2, ..., п. Для малых отклонений х„ ..., х„, когда можно пренебречь )1д (х,, ..., х„), УРавнениЯ (5.8) заменЯютсЯ линеаРизованными уравнениями первого приближения дхд щ =аддхд+аддхд+...+ад„х„; юг=1, 2, ..., и.
(5,9) Устойчивость невозмущенного установившегося движения может быть исследована по характеристическому уравнению системы (5.9) на основании следующих трех теорем А. М. Ляпунова. Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения системы (5.9) первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, каковы бы нн были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения, Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения системы (5.9) первого приближения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дифференциальных уравнениях возмущенного движения, Теорема 3. Если характеристическое уравнение системы (5.9) первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет один или несколько корней, вещественная часть которых равна нулю, то устойчивость невозмущенного движения не может быть исследована по уравнениям первого приближения (критический случай).
Для исследования устойчивости систем, которые не могут быть линеаризованы разложением по степеням отклонений обобщенных координат, имеются другие теоремы Ляпунова. Эти и выше рассмотренные теоремы приводят к методам решения задачи об устойчивости систем, названным вторым методом Ляпунова. В приложении к линейным стационарным системам автоматического регулирования условие устойчивости сводится к тому, чтобы все корни Х„Х„..., Л„характеристического уравнения, полученного по дифференциальному уравнению этой системы, имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же, располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси (рис.
5.!). При выполнении условия устойчивости линейная система автоматического регулирования будет устойчива асимптотически, что непосредственно следует из решения ее дифференциального уравнения. Это решение х (1), определяюцее значение регулируе- мой величины в зависимости от времени, является суммой част. ного решения х„(1) неоднородного дифференциального уравнения н общего решения х„(1) однородного дифференциального уравнения; х (1) = х„(Г) + х„(1). Частное решение ха (1) определяет вынужденную составляю.
щую исследуемого процесса, которую, пользуясь приведенными выше понятиями, можно рассматривать как невозмущениое двн. жение системы. Соответственно общее решение х„(1) определяет переходную составляющую процесса или возмущенное движение системы. При кратных корнях 171 х„(1) = ~х~~д„е"а' 1 ~х,, 'В,е("~+пой~ ( ~ Д,е(сч I"й' + ~ (С„~+ С,п(+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
