Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 16
Текст из файла (страница 16)
+ С,,1') е~'. Из решения (5.10) видно, что если вещественные корни ам комплексные корни а, -+ )а1, и кратные корни Л„расположены на комплексной плоскости слева от л и-~ /б/ мнимой оси, то при 1 — ~ оь переход- Р ная составляющая исследуемого про- цесса х„(1) — ~- О. Следовательно, выл, нужденное (невозмущенное) движение такой системы будет асимптотическн устойчиво. Рассмотренные положения об 1 а " устойчивости невозмущенного движения можно распространить и на устойчивость равновесия систем.
Таким образом, устойчивость за- 6 данных равновесных состояний или ли заданных движений систем проверяется по корням характеристического уравнения. Расположение корней на комплексной плоскости относительно мнимой оси может быть установлено по критериям устойчивости без решения характеристического уравнения. Критерии устойчивости разделяются на алгебраические и частотные. Алгебраические критерии приводятся ниже без доказательства. $5.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОИЧИВОСТИ Алгебраические критерии устойчивости позволяют определить соотношения между коэффициентами характеристического уравнения ааЛл )-ад 1Ли 1.+ +а1Л.+па — — 0 (5.11) 88 при которых его корни должны лежать на комплексной плоскости слева от мнимой оси.
Такие критерии были предложены Э. Раусом э 1877 г. и А. Гурвицем в 1895 г. Критерий Рауса основывается на алгоритме, который дается в виде таблицы. П П! !Н Коэффи- ииеиты гз ал 4 ал ал в а,з з ал 1 ал-9 ал 2 сзв= а 4- 14а з С1В ал — 2 — гва -з сзз=ал-в — гва ал г = в— ал 1 С49 ал-4 гвал-2 С24 а з — г,с,з С14 ал- — ГВСЗЗ сз,=аз — Гзезз ал 1 г 1— с„ Свв=ал В— — г,см Сзв Гз = Сзз С„= С,З вЂ” Г,С24 Сзз = СЗ — ГЗС94 СЗЗ = Свв ГВСМ С41 = С4 ° — Гзсы й„, ал 0 0 ал, ал, ал, ал ал З йл 4 йл З йл З (5.12) ал, а,, ал, ал, о о о о Правило составления данного определителя состоит в том, что по диагонали выписываются коэффициенты от а, до а, включи- 99 Критерий устойчивости Рауса формулируется следующим образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты графы 1 таблицы были положительными.
После приведения уравнения (5.11) к форме, при которой ал ) О, указанные в критерии Рауса коэффициенты для того, чтобы система была устойчива, должны быть положительными, т. е. ал) О; ал,) 0; см ) 0; с,4) О; ...; с, л„) О. В практике технических расчетов и исследований большее распространение получил критерий Гурвица в следующей формулировке: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица и коэффициент ал были положительными.
Определители Гурвица составляются из коэффициентов характеристического уравнения (5.11), начиная с определителя й„ и-го порядка, который записывается в форме тельно. Строки определителя влево от главной диагонали запол. няются коэффициентами с убывающими номерами, а вправо коэффициентами с возрастающими номерами. Все последующие определители Л„„Л „..., Ь, являются минорами элементов определителя Л„, т. е. получаются вычеркиванием столбцов я строк, начиная соответственно с крайнего правого столбца и с ниж.
ней строки. Таким образом, условие устойчивости системы по критерию Гурвица сводится к выполнению неравенств аз) 0; Лд) 0; Лз) 0; ...; Л„) О, (5.13) причем для уравнения и-го порядка Л„=азЛ „и поэтому для проверки устойчивости можно находить определители начиная с Л„,. В случае характеристических уравнений второй, третьей и четвертой степеней условия (5.13) принимают вид (5.14) при я=2 аз)0, а,)0, аз)0; при п=3 аз)0, а,)0, аз)0, аз)0, а,аз — азаз ) 0; при и = 4 аз О, а, ) О, аз ) О, аз) О, аз ) О; а,озаз — а,'аз — азаз ) О.
(5.15) (5.16) $5.3. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ В 1932 г. Г. Найквист предложил для проверки устойчивости ламповых усилителей с обратной связью критерий, основанный на использовании частотных характеристик разомкнутой цепи таких систем. В общем виде частотный критерий устойчивости был введен в теорию автоматического регулирования А.
В. Михайловым в 1938 г. Частотные критерии устойчивости нашли широкое применение при расчетах различных систем автоматического регулирования. Эти критерии вытекают из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента, позволяющего для многочлена степени л получить условие расположения на комплексной плоскости всех его и-нулей слева от мнимой оси. Геометрическая интерпретация этого условия состоит в следующем. В связи с тем, что при анализе устойчивости гидро- и пневмосистем часто приходится рассматривать характеристические уравнения третьего порядка (л = 3), условие (5.15) удобно сформулировать в виде следующего правила: для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтсбы все коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковые знаки, а произведение коэффициентов средних членов этого уравнения было больше произведения коэффициентов крайних членов (первого и последнего). Возьмем многочлен 0 (Л) = а„Л" + а„,Л"-'+...
+ а,Л -)- а„(5,17) соответствующий левой части характеристического уравнения (5.11). х(ногочлен (5.17) можно представить в виде 0 (Л) = а„(Л вЂ” Л,) (Л вЂ” Л,) ... (Л вЂ” Л„), (5.18) где Л„Ла, ..., ˄— корни уравнения (5.11). Положив в зависимости (5.18) Л =/со, получим Р (/га) = а„(/е! — Л,) (/е! — Л,) ... (/са — Л„). (5.19) На плоскости Л комплексные числа /е! — Л„ /!» — Л„..., /се— — Л„изображаются векторами, начала которых лежат в точках Л„Л„..., Л„, а концы — на мнимой оси (рис. 5.2).
При изменении и! в пределах от — оо до + оо концы этих векторов будут скользить по мнимой оси снизу вверх, причем каждый из векторов, лежащих слева от мнимой оси, повернется против часовой стрелке на угол +л, а каждый из векторов, лежащих справа от мнимой оси, повернется по часовой стрелке на угол — л. Так как вектор 0 (/се) есть произведение рассмотренных векторов, то приращение его аргумента при изменении о! от — со до + со будет а !Л ага 0 (/св) = ~ч '„агд (/св — Л,) !=1 или лг /Л ага Р (/е!) = (и — /г) л — Йл = = л (и — 2/е), (5.20) Рис. 5.2. Расположение веито. где й — число корней уравнения Ров 0" Л!1 (5.11), расположенных справа от мнимой оси.
При изменении !» в пределах от 0 до + оо вектор 0 (/со) повернется на угол вдвое меньший, чем получается по формуле (5.20). Это объясняется тем, что каждый из векторов /е! — Ль соответствующих вещественным корням, повернется на угол +л/2 илн — л/2 в зависимости от своего расположения относительно мнимой оси. Каждый же из пары векторов, соответствующих комплексным сопряженным корням, повернется на угол — +у и — — у или 2 2 — ! — + у! и — / — — у) в зависимости от знака вещественной части. Произведение двух таких векторов будет, очевидно, иметь приращение аргумента, равное л.
Так как у уравнений вида (5.1!) среди комплексных корней могут быть только сопряженные, то при 91 изменении го от О до + оо Л агпР ()го) = — (и — 2й). (5.21) Если все корни характеристического уравнения (5.11) распола. гаются на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то Й = О и Л агя Р ()ео) = пп72. (5.22) Вектор Р ()го), определяемый комплексной функцией Р ()ее) = а„( гсе)а + а„, ()го)» -' +...
+ ае, (5. 23) которая получается в результате подстановки в характеристический многочлен (5.17) А =)гя, при изменении гя от О до +со описывает на комплексной плоскости годограф. Из соотношений (5.22) н (5.23) непосредственно следует формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы автоматического ре- Рнс. 5.3. Годографм 0 (Пя) для устой- Рнс.
5.4. Структурная схема чннмх систем к объяснению критерия Най- канста гулирования необходимо и достаточно, чтобы вектор 0 (1го) при изменении ы от О до +со, нигде не обращаясь в нуль, повернулся вокруг начала координат против часовой стрелки на угол пп!2. В характеристическом уравнении устойчивой системы все коэффициенты при а„) О должны быть положительными и поэтому должно также выполняться условие а, ) О. С учетом этого замечания критерий Михайлова формулируется еще так: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора 0 ()го) при изменении го от О до +со начинался на вещественной положительной полуоси и в направлении против часовой стрелки последовательно проходил и квалрантов комплексной плоскости. Годографы, соответствующие устойчивым системам с характеристическими уравнениями второго, третьего и четвертого порядков, показаны на рис.
5.3. Частотный критерий Найквиста отличается от критерия Михайлова тем, что устойчивость замкнутой системы проверяется по частотным характеристикам ее разомкнутой цепи. В таком подхоходе к исследованию устойчивости систем имеется следующее физи- „ское содержание. Предположим, что замкнутая отрицательной иничной обратной связью система (рис. 5.4) находится на границе стойчивости и в ней пРи д (5) = О возникли незатУхающие колебания, ПРИ которых х=а,„„з[п555. (5.24) Тогда на входе прямой цепи вследствие отрицательной единичной обратной связи величина е будет е= — а5 „э[наг.
(5.25) Нз соотношений (5.24) и (5.25) следует, что незатухающие колебания в замкнутой системе могут возникнуть, если прямая цепь передаст сигналы без искажения по амплитуде и со сдвигом по фазе, равным — и. При д (1) = О искажение передаваемых прямой цепью сигналов по амплитуде и фазе определяется по частотным характеристикам разомкнутой в точке О цепи системы. Если амплитудная- частотная характеристика такой разомкнутой системы принимает значение, равное единице, когда фазовая частотная характеристика достигает значения — п, то в замкнутой системе могут существовать незатухающие колебания, т. е.
такая система будет находиться на границе устойчивости. Для более строгого изложения критерия Найквиста необходимо рассмотреть вспомогательную функцию Числитель правой части данной формулы является характеристическим полиномом замкнутой системы, а знаменатель — характеристическим полиномом соответствующей разомкнутой системы, так как (см.
рис. 5.4) Х (5) М р (5) [[7 (з) = — = †; 15р (з) х (з) = Мр (з) е (з) Р В (5) Рр (5) и при л (з) = О, е (з) = — х (з) [Мр (з) + 1)р (з)1 х (5) = О. У реальных систем практически всегда степень и полинома Мр (з) меньше степени и полинома Вр (а), поэтому степени характеристических полиномов замкнутой й разомкнутой систем можно считать равными п. Предположим, что характеристическое уравнение замкнутой системы из п корней имеет 1 корней, лежащих справа от мнимой оси, а характеристическое уравнение разомкнутой системы из п корней имеет справа от мнимой оси й корней. Тогда, подставив в функцию (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
