Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 20
Текст из файла (страница 20)
6.3. Переходный процесс, вызванный сигналом с постоинной скоростью Рнс. 6.2. Колебательный переходный процесс в статической системе, вызванный возмущающим единичным ступенчатым воздействием основываются на непосредственном определении переходного процесса. Изменение регулируемой величины во времени в случае ступенчатого или импульсного воздействий можно получить соответственно в виде переходной или весовой функций. По таким функциям можно также вычислить переходный процесс, вызванный сигналом постоянной скорости, если воспользоваться интегралом свертки (~ 2.6 и 2.6).
Для непосредственного определения кривой переходного процесса в системах, состоящих из большего числа динамических звеньев и, следовательно, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, широко применяются цифровые и аналоговые вычислительные машины. Однако в связи с тем, что в практике проектирования автоматических систем распространены частотные критерии устойчивости, оказывается также полезным рассмотренный ниже метод определения кривой переходного процесса по вещественным частотным характеристикам.
Изучение зтого метода облегчает понимание связи между процессами, вызванными гармоническими воздействиями на систему и воздействиями в виде ступенчатой функции времени. Эта связь в частности используется 108 при косвенных методах оценки качества процессов регулирования по частотным характеристикам системы. Как частотные, так и другие косвенные методы позволяют приближенно определить показатели качества процессов регулирования, не находя самого переходного процесса. Кроме того, в большинстве случаев, методы расчета переходных процессов позволяют осуществлять не 'только анализ, но и синтез сне~ем автоматического регулирования.
4 Е2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ Метод определения переходных процессов по частотным характеристикам систем основывается на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье. Прямым преобразованием Фурье называется интеграл и'(/сь)= ~ Г" (Г)е Кмс(Г, (6.2) а обратным преобразованием — интеграл (6.3) 2л Непериодическая функция времени Г (Г), заданная набесконечном интервале — сс < Г < ос, должна удовлетворять условиям Дирихле и быть абсолютно интегрируемой: ~ (Г(Г))с(Г(М, (6.4) — сс где М вЂ” конечная величина.
Сначала установим с помощью преобразований Фурье связь между переходным процессом, вызванным единичным ступенчатым воздействием, и частотными характеристиками замкнутой системы автоматиче- Рис. 6.4. Эиспсисиииальиый импульс ского регулирования. Интегралы (6.2) и (6.3) позволяют непериодическую функцию времени (сигнал) представить бесконечным множеством гармонических составляющих, если выполняется условие Дирихле и функция абсолютно интегрируема. Для единичной ступенчатой функции ! (Г) условие абсолютной интегрируемости не выполняется, и поэтому преобразование Фурье непосредственно к такой функции применить нельзя. Однако если 109 воспользоваться экспоненциальным импульсом (рис. 6.4) ~ (1) ОО е-" при 1) О, 0 при 1~0, (6.5) то при сх — 0 единичную ступенчатую функцию удается представить в виде бесконечного сплошного спектра синусоидальных составляю. щих.
Действительно, прямое преобразование Фурье функции (6.5) дает Р ()!о) = ~ е-"'е-!"'!(1= —. ! СС+!СО (6.6) Подстановка значения Р (1!о), определяемого соотношением (6.6), в формулу для обратного преобразования (6.3) приводит к следующему интегральному выражению для.экспоненциального импульса: СО СО со Яп со! [ .~ 1 !оооо со! ! 1 сс о1П со! -1 ) „,1„, — ) <,с+„, (6.7) Подынтегральные функции вещественной части комплексного выражения (6.7) являются четными функциями !о, а мнимой части— нечетными функциями !о, поэтому последние два интеграла равны нулю и 7 (!) = — „,, йо+,+, йо .
(6.8) По При сх -О 0 предел первого интеграла в соотношении (6.8) равен и/2 [70[. Следовательно, при предельном переходе к единичной ступенчатой функции будем иметь СО 1 (!) — + — — йо. 1 1 с з1пм! (6.9) $1П со! Выражение — „- йо можно рассматривать как элементарное синусоидальное воздействие с амплитудой йоlп!о. Тогда элементарная гармоническая составляющая выходной величины дх замкнутой системы, имеющей амплитудно-фазовую частотную характеристику Ф (/го) = А, (!о) е!чО ! "1, будет определяться как с(х= ' " э[о[а(+ф,(!о)[йо. Отклик замкнутой системы на единичное.
ступенчатое воздействие (б.п) или, иначе говоря, переходную функцию системы Й (1), можно определить в виде Й(г) = х(() = 2 + — а[и [в!+ 7, (в)] йо. (6.10) Запишем дополнительно следующее очевидное соотношение А, (в) э[ и [в( + <р, (вЦ = А, (в) соз !р, (в) з[п в( + + А, (в) з(п !р, (в) соз в( = Р (в) з(п в(+ Я (в) соз в(, (6.11) где Р (в) = А, (в) соз ~р, (в) — вещественная частотная характе- ристика замкнутой системы: Я (в) = А, (в) ейп !р, (в) — мнимая частотная характеристика замкнутой системы.
Используя соотношение (6.11), функцию (6.10) приведем к виду СО в Й(1)= 2 + — з1пв(йз+ — — созв(йо, (6.12) где Р (0) = А, (в) при в = О. Принимая за начало отсчета регулируемой величины ее значение до приложения воздействия, при 1 ( 0 имеем Й (0) = О. Учитывая, кроме того, что з!и ( — в() = — з(ив(, соз ( — в1) = сов в(, для 1(0 из зависимости (6.12) найдем 0= — — — — з[пв( йо+ — — созвг с(в. (6.13) Р(0) 1 Г Р(в) 1 ~ С)(в) 2 и ~ в Л Я Вычитая выражение (6.13) из (6.12), получаем Й (1) = — ~ з1п в1 ЙО. (6.14) о Эта формула устанавливает связь между переходной функцией Й (1) и вещественной частотной характеристикой замкнутой системы. Однако непосредственное определение переходного процесса по этой формуле затруднено вычислением интеграла.
Вычисления уп- рощаются, если применить метод В. В. Солодовникова, по которому вещественная частотная характеристика аппроксимируется отрез- ками прямых так, что ее можно представить в виде алгебраической суммы трапеций [71). При этом в окрестностях экстремальных зна- чений Р (в) аппроксимирующие прямые проводятся параллельно оси в, как показано на рис. 6.5, а для одного из возможных видов вещественной частотной характеристики.
В данном случае вещественная частотная характеристика при- ближенно определяется, если из трапеции асей вычесть трапеции Ьсй и по~а. Каждая из трапеций должна быть прямоугольной со 111 Рнс. 6.о. Замена вещественной частотной характеристики трвпецендвльнымн Трапецеидальная частотная характеристика описывается функцией вида Р (О) при 0(а(вк! Р! (0) " при вю(в(ащ 0 при а > ае. (6.15) Р!(а) Вещественная частотная характеристика выше была заменена алгебраической суммой трапецеидальных характеристик, поэтому переходная функция, вычисленная по одной из них, будет являться составляющей всего определяемого переходного процесса. Для какой- либо 1-ой трапецеидальной характеристики такая составляющая й! (1) находится после подстановки функции (6.15) в формулу (6.14): 1 э~! мо! ма Интегрирование этого выражения позволяет найти Ь! (1) = — '~ ~Я (ащг) + " [Я (ве!!) — Я (вн!Г~) + + ! ( сов вч!! — сов вкд )~ (6.
ам — ма Г в!и Оэ! где 8! (а;1) = — !(а — интегральный синус. 112 сторонами, совпадающими с осями Р (в) и в (рис. 6.5, б). Такие трапеции называются трапецеидальными частотными характера. стиками. Трапецеидальная частотная характеристика полностью задана, если известны ее высота Р (0), частота пропускания сигнала в, и частота пропускания сигнала без искажения вк (рис. 6.6).
При применении рассмотренного выше метода определения пере. ходного процесса необходимо предварительно найти вещественную частотную характеристику замкнутой системы автоматического регулирования. Это можно сделать несколькими способами. Первый способ состоит в выделении вещественной части амплитудно-фазе. вой частотной характеристики замкнутой системы Ф (/а).
Однако в тех случаях, когда замкнутая система содержит несколько дина. мических звеньев, такой способ может привести к сложным вычнс. лениям. Поэтому обычно вещественные частотные характеристики находят по специальным номограммам. Если система замкнута единичной отрицательной обратной связью, то вещественная частотная характеристика замкнутой системы определяется по логарифмнчеь(г) ской амплитудной Е (гэ) и логарифмиИ0) ческой фазовой <рр (в~ частотным характеристикам разомкнутой системы с помощью номограммы, которая дана на з(() рис.
6.8. На номограмму накладывается вычерченная на прозрачной бумаге з координатах 1.р, грр частотная характери. стика разомкнутой системы. В точках а пересечения такой характеристики с кривыми номограммы по числам, проставленным около этих кривых, определяют- Ь,® ся значения Р (гэ), а соответствующие им частоты гэ берутся с логарифмической амплитудной или с логарифмической фазовой частотных характеристик разомкнутой системы. Единичная отрицательная обратная связь получается в структурной схеме системы в большинстве случаев тогда, когда определяется переходный процесс, вызванный задающим воздействием. Если рассматривается переходный процесс при возмущающем воздействии, то обратная связь чаще всего будет иметь динамические звенья.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
