Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Области фазовой плоскости Рис. 7.17. Определение устойчи. при точечном преобразовании ности предельного цикла характеристиками, допускающими описание отдельных этапов движения системы легко интегрируемыми линейными дифференциальными уравнениями. Метод состоит в следующем. Предположим, что фазовая плоскость разделена на четыре области 1, 11, Ш, 1У, границами которых являются полупрямые Н„Н„Н, и Н, (рис. 7.1б). Если исходное положение 1 изображающей точки принять на положительной оси +у, то первый этап движения системы отразится в перемещении изображающей точки в положение 2 на полупрямой Н,. Затем изображающая точка переходит в положения 3, 4 и б, находящиеся соответственно иа !58 полупрямых Н„Н, и Нх, и, наконец, попадает в положение ь на полуоси +у. При изменении исходного положения 1 изображающей точки будут взаимно связанно меняться положения изобрах,ающей точки на указанных границах.
Таким образом, точки одной границы' могут быть преобразованы в точки другой границы. Точечное преобразование, которое после обхода всей фазовой плоскости переводит точки какой-либо полупрямой снова на нее, называется преобразованием полупрямой самой в себя. Например, самой в себя может быть преобразована положительная полуось -1-у или граница Н,. В результате преобразования полуоси +у самой в себя находится зависимость ординаты у, после обхода фазовой плоскости от исходной ординаты у„: У~ =7 (Уо). (7.24) При у, = и, на фазовой плоскости получается предельный цикл, который будет устойчивым, если повторное преобразование соседних точек на полуоси -)-у приближает их к точке с ординатой уэ. Для исследования устойчивости предельного цикла может быть применена диаграмма Кенигса — Лемерея, которой в рассматриваемом случае является график функции (7.24) и биссектриса координатного угла (рис.
7.17). При пересечении этих линий в точке С на фазовой плоскости имеет место предельный цикл. Устойчивость предельного цикла гроверяем, взяв ординаты ум и у„исходной точки несколько больше и несколько меньше ординаты у По графику функции (7.24) найдем.у„, и у„, которые равны ординатам изображающей точки после обхода всей фазовой плоскости. Затем, принимая следующие значения ординат исходной тсчкн равными у„= у„и дм = д„м определим у„, и у„.
Необходимые построения на диаграмме показаны на рис, 7.17. Если эти построения приведут в точку С, то предельный цикл устойчив, так как на фазовой плоскости к нему снаружи и изнутри стягиваются фазовые траектории. Из диаграммы видно, что предельный цикл устойчив, когда абсолютное значение тангенса й, угла наклона касательной к графику функции (7.24) меньше единицы. Признаком отсутствия в системе предельных циклов служит размещение графика функции (7.24) выше (процесс в системе расходящийся) или ниже (процесс в системе сходящийся) биссектрисы. Если биссектриса касается в какой-то точке графика функции (7.24), то система находится в полуустойчивом состоянии, которое при малейшем изменении параметров может перейти в устойчивые авто- колебания (устойчивые предельные циклы) или в затухающие колебания (устойчивое положение равновесия).
В этом случае значения параметров системы называются бнфуркационными. Указанные выше границы, которыми фазовая плоскость разбивается на отдельные области, ограничивают применимость ду описания состояния системы линейных дифференциальных уравне- ний, составленных по отдельным участкам однозначных кусочно. линейных характеристик. Такие границы часто называют линиям„ переключения. При переходе через линию переключения происходит смена дифференциальных уравнений, причем их решения должны быть состыкованы на этой линии.
Если имеется неоднозначная нелинейная характеристика, то фазовая плоскость заменяется многолистной фазовой поверхностью. При этом границы каждого листа будут служить линиями переключения. Смена уравнении осуществляется при переходе с одного листа на другой, причем на каждом листе нелинейная характеристика должна быть однозначной функцией своего аргумента. з 7.6. МГТОД ГАРЫ01!11ЧИСКОЙ ЛИНИАРИЗАЦИИ Применение метода фазовой плоскости практически ограничено нелинейными системами, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Для исследования систем более высокого порядка широко используется приближенный метод гармонической линеаризации, основанный на работах Н.
М. Крылова и Н. Н. Боголюбова и получивший дальнейшее развитие в теории автоматического регулирования благодаря работам Л. С. Гольдфарба и Е. П. Попова !59). Суть метода заключается в следующем. Предположим, что со. стояние некоторого звена описывается нелинейным уравнением (7.25) х„,„=Р(х„, г(х,„/Й). При гармоническом изменении входной величины х,„=а„згпф; ф=гэ( (7.26) имеем (7.27) г(х,„/а1/ = а„га соз ф. Изменение выходной величины х„„при воздействии (7.26) на звено будет периодическим, но не гармоническим, так как уравнение (7.25) является нелинейным.
Разложим нелинейную функцию в правой части уравнения (7.25) в ряд Фурье и удержим в этом разложении только те члены, которые соответствуют постоянной составляющей выходной величины и составляющей, изменяющейся с частотой со, так называемой первой гармонике. Тогда с точностью до высших гармоник получим закон изменения выходной величины в виде (7.28) хвык = з +/31 сох ч'+ ба 3!пф 160 где Ь„Ь, и Ь, — коэффициенты ряда Фурье, определяемые по известным из гармонического анализа соотношениям: 2л ! Ь, = — ~ г' (а,„з (п ф аа соз ф) 2(ф о гл Ь1 = — ~ Р (а„з! и ф, аь2 соз ф) соз !Р 1(ф; 1 о Ьз 1 х (а 8!п ф сОэ соз ф) 8 1п 2Р х(ф ! 'г" о Сначала будем полагать постоянную составляющую Ь, равной нулю; несколько более сложный случай, когда это условие не выполняется, рассмотрим в конце параграфа.
Из соотношений (7.26) н (7.27) следует, что Хвх . олвх 8!пф= —; созф= — —. а,х ' лвхох где 1)(а,х, СО) =Ь2!Пвх,' д'(а,„, ы) = Ьх/а,„. (7.30) Таким образом, нелинейное уравнение (7.25) прн х,х = = а,„з!п в! с точностью до высших гармоник заменяется линейным уравнением (7.29), коэффициенты которого д (а„„ех) и и' (а„х, «2) являются функциями амплитуды и частоты гармонического входного сигнала. Такой способ получения линейной модели звена НаЗЫВаЕтСЯ ГаРМОННЧЕСКОй ЛИНЕаРНЗаЦИЕй, а д (а,х, 82) И д' (а,х, а) называются коэффициентами гармонической линеаризации.
В виде примера определим коэффициенты гармонической линеаризации для усилителя, статическая характеристика которого имеет зону насыщения (см. рис. 7.1, в). При х,„=а,ха!пхо! выходная величина х„„вычисляется по следующим соотношениям (рис. 7.18): х„х = Кх,х, если 0 ( 18! ~ 8; х.„х=Кхэ если А~82(~п — 8; х,„х=Кх„, если 28 — 8(ахи«-..п, где К=!да; 8=агсз!п — "; авх ' е хь = —. К' 6 Полов Д. Н. 1а1 Используя этн соотношения и принимая во внимание условие об отсутствии постоянной составляющей, зависимость (7.28) представим в виде х,„„=д(а„, 82)х„+ (7,29) Используя эти соотношения, по формулам (7.30) находим т)(а,„, то) = — Ка,„з(пав(с((щ()+ лнв» 1 я — а хх е 1 к, в имен- 1 к., в'мв( + р н — р = — ~агсз(п — + — 17 1 — —, (7.31) пРи а,„) ха1 Ч' (и,„, от) =.— Ка,„з (п сот соз «тт с( (щ() + 2 нов х н-В л + ~ Кха сок щт с((отг)+ ~ Ка,„з(п щт сок отг с((отт) =О.
(7.32) Рассмотренным способом вычисляются коэффициенты гармони/ ческой линеаризации и для других типовых нелинейных характеристик, приведенных в 2 7.1. В табл. 7.1 дана сводка этих коэффи- Рис. 7.18. Гармоническая линеариаания статической характеристики усилителя с ионой насыщения 162 циентов для некоторых нелинейных характеристик. Для всех типовых однозначных нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации д' (а,„, от) получаются равными нулю. При этом нелинейные звенья в результате гармонической линеаризации принимают вид безынерционных усилительных звеньев с коэффицие~)тами передачи, зависящими от амплитуды входного сигнала, В случае неоднозначных нелинейных характеристик Таблица 7.1 Коэффициенты гармонической линеаризации Вкд нелннейной харвнтернстнкн а' (овх) О (овх) О (а,х) = 2К =К вЂ” — Х л 4'(а,х)=0 )) агс сап — ~ пп .
айт к= (у« а,х ) хн Ч (авх)=0 4 =арсла —; . на. вгл х, ,3 ыагсг(П вЂ” 1 г- агх ' К =гуа при л — рв(в( «л — (3,; нных=0 при л — рх~вт~л авх ~ кй хвх = авх э(п вй х их=+ с при О~в(~л; ас г) (авх) = . "гтвх о' (а,х)=0 хвых= при л( в(~2л Математическое оннсанне нелннейной характе- рнстнкн ха, = авх юп той хвых и р и 0 ( вг ~ (1; «вых=К (хвх хн) при 0~в((л — В; твых = 0 при л — ~(в(~л хвх=авх й)п вй хаых = 0 пРи 0( вг ( Рт( "выя = К (хвх хн) прн 0, ~ вг~р,; хвых= Кхв при (эа ~ в( ~ л — ра, х,ых = К (х„— хн) КоэФФициенты гармонической лннеарнэацнн Х ( агсв!п — + х„ а,х кн + — Х а „ Х~ й) Ч (авх)= 2К! = -('()х-Рт+ л(, 1 + — яп 2рх— 2 1 — — яп 2рт); 2 Продолжение табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
