Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для этого пригоден любой из методов определения границ устойчивости линейных систем. Выбор метода исследования зависит от особенности системы и целей анализа. Здесь мы остановимся только на методах, основанных на применении частотных характеристик разомкнутых систем, и на алгебраическом методе расчета параметров автоколебаний. С применением метода корневого годографа для исследования гармонически линеаризованных систем можно познакомиться по монографии [73). При изложении частотных методов ограничимся рассмотрением устойчивых и нейтрально-устойчивых в разомкнутом состоянии 168 Коэффициенты гармонической линеаризацни, входящие в урав. нение (7.38), не обязательно должны зависеть от всех трех величин: х',х, а,„, в.
Например, так же как и при отсутствии постоянной составляющей у входного сигнала, они могут не зависеть от в. систем. Тогда в соответствии с критерием Найквиста замкнутая система автоматического регулирования с гармонически линеаризованным звеном будет находиться на границе устойчивости, если )йт, (/в) )йт„(а„, в) = — !. (7.39) При выполнении условия (7.39) в системе могут существовать колебания, поторые в случае их устойчивости будут автоколебаниями.
Придадим этому условию следующий вид: )р', (/в) = — 1/1рг„(а„, в). (7.40) Уравнение (7.40) можно решить графически, построив на комплексной плоскости амплитудно-фазовую частотную характеристику Рис. 7.21. Определение аатоколеоаний по частотным характе- ристикам: н нелинейное звено с гистерезисной карактеристикой; б — нели- нейное звено с однозначной нелинейной характеристикой АФЧХ линейной части системы йР, (/в) и взятую с обратным знаком обратную частотную характеристику — 1/В'„(а,„, в) нелинейного звена. Если эти характеристики пересекаются, то в точке их пересечения по кривой )ро, (/в) определяется частота в„а по кривой — 1/)Р'„(а,„, в) — амплитуда а, колебаний, возникающих в исследуемой системе.
На рис. 7.21 показано графическое решение уравнения (7.40) в случае эквивалентного комплексного коэффициента усиления 1р'„(а,„) звеньев с типовыми нелинейностями. Устойчивость найденных таким образом колебаний приближенно проверяется исследованием поведения системы при малых изменениях амплитуды а,. Если при положительном приращении +Ла, амплитуды а, колебания затухают, а при отрицательном приращении — Ла, расходятся, то колебания, определяемые точкой пересечения характеристик йр„ (/в) и — 1/(и'„ (а,„, в), будут устойчивыми автоколебаниями.
Колебания в замкнутой системе расходятся, когда АФЧХ разомкнутой устойчивой или нейтрально-устойчивой системы охватывает на комплексной плоскости точку — 1, /О. Если же 169 эта точка не охватывается АФЧХ разомкнутой системы, то колеба ния затухают. Математически условия нарастания и затухания колебаний выражаются в замене равенства (7.39) неравенствами, которые позволяют сформулировать следующее правило: колебания с амплитудой а„и частотой Ю', будут устойчивыми автоколебаниями, если АФЧХ линейной части 1Р„(/а) не охватывает точку на характеристике — 1/Ю'„(а,„, ы), полученную увеличением значения а, на +Ла„и охватываетточку этой характеристики, полученную уменьшением значения а, на — Ла .
Точки, соответствующие значениям а„= а„+ Ла и а„= а, — Ла, изображены на рис. 7.21. Приведенное правило показывает, что в системе не возникают колебания, если характеристика нелинейного звена — 1/(Р'„(а,„, м) располагается вне АФЧХ линейной части Яг, (/ы). Если характеристика — 1/(Р'„(а,„, ы) размещается внутри области, охваченной АФЧХ Ю', (/га), то колебания будут расходящимися, т. е. система будет неустойчива. В этом отношении условие устойчивости гармонически линеаризованной системы автоматического регулирования можно рассматривать как дальнейшее развитие амплитудно-фазового частотного критерия устойчивости линейных систем.
Вместо точки — 1, /О, которую не должна охватывать АФЧХ разомкнутой системы, если замкнутая линейная система устойчива, для гармонически линеаризованной системы должна быть взята область расположения характеристики — 1/Ю'„(а„„, ы), которая не должна охватываться АФЧХ линейной части Ю', (/в). Как и в случае исследования линейных систем, при определении устойчивости и автоколебаний гармонически линеаризованных систем могут применяться логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики. При этом условие (7.39) заменяется двумя одновременно действующими условиями; 20! й ! 'йг, (/а) 1 = 20! й (— (7. 41) агй [(ь', (/а)) = агд ~ — „ Условия (7.41) означают, что гармонически линеаризованная система будет находиться на границе устойчивости, если при одной и той же частоте в = ы„пересекаются логарифмическая амплитудная характеристика 201ц~1Р„(/в)~ линейной части с логарифмической амплитудной характеристикой 2016~ — 1/(Р'„(а„., м)! нелинейного звена и логарифмическая фазовая характеристика гр, (о) линейной части — со смещенной логарифмической фазовой характеристикой ~р„' (а„„, ы) нелинейного звена.
Для определения устойчивости и параметров а„в, автоколебаний удобно использовать фазовую границу устойчивости (ФГУ) [60). Эта граница строится следующим образом. На логарифмическую амплитудную частотную характеристику линейной части 2016)ИГ„(/в)) накладываются логарифмические амплитудные ха- рактеристики 20!я! — 1! )Рн (а,„, «т)~ нелинейного звена, полученные для различных значений амплитуды а,„(рис. 7.22). Затем на логарифмическую фазовую характеристику линейной части у „(со) наносятся вычисленные при тех же значениях а,„логарифемические фазовые частотные характеристики ср,' (а„, со) этого нелинейного звена.
Точки пересечения характеристик 201д~)Р', (/ю)! и 20!й~ — 1/)(7„(а,„, се)~ по вертикали сносятся на соответствующие по значениям а,„характеристики ~р,' (а,„, со). Кривая, проведенная через эти точки, будет фазовой границей устойчивости. Построение ФГУ показано на рис.
7.22, сама граница с одной стороны заштрихована. тра Рис. 7.22. Построение ФГУ В точках пересечения ФГУ с логарифмической фазовой частотной характеристикой линейной части ~р, (со) гармонически линеаризованная система находится на границе устойчивости. Частота оэ, возникающих в такой системе колебаний определяется непосредственно по абсциссам этих точек, а амплитуда а, — интерполяцией значений а,„, указанных на логарифмических амплитудных характеристиках нелинейного звена (на рис. 7.22 а, определяется интерполяцией а„„и а...). Для выполнения рассмотренного выше условия существования устойчивых автоколебаний при пересечении характеристики 201й~!Р', (!со)~ с характеристикой 20!я,'— 1/Ж'„(а„„со)), взятой при а, 1- Ла„фазовая характеристика линейной части должна быть выше ФГУ, а в точке пересечения, полученной при а, — по„— ниже ФГУ, поэтому при частоте м„' предельный цикл неустойчив, а при частоте в, устойчив.
!7! Для звеньев с типовыми нелинейными характеристиками эквивалентный комплексный коэффициент усиления является функциеи только амплитуды а„и определяется по соотношению (7.36). При этом 1 1 а'н (а .) ~ У(ч (а.*)Р+ [ч' (а.,)1' ' в„'(а,„)=ага[ — ~=агй[ „)1 — 180', откуда имеем 20 1й ) — ~ = — 20 18 ч „' (а,„) = агс18 [ — д' (а,„)/д (а,„)] — 180'. (7.42) (7.43) Соотношения (7.42) и (7.43) показывают, что в случае типовых нелинейных характеристик для определения ФГУ на логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики линейной части наносится семейство горизонтальных прямых, параметром которых является амплитуда а„.
При однозначных нелинейных характеристиках ФГУ представляет собой отрезок прямой, лежащей на линии значений фаз, равных — п. $7.8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИИ ГАРМОНИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ Пусть после гармонической линеаризации нелинейного звена для замкнутой системы автоматического регулирования получено ха- рактеристическое уравнение в виде (е(Х)+)((Х)[д(а,„, в)+ '*' Л1 О. (7.44) 172 Если в замкнутой системе возникают незатухающие колебания с постоянными частотой в, и амплитудой а„то коэффициенты в уравнении (7.44) будут постоянными величинами. Из теории устойчивости линейных систем известно, что незатухающие колебания в системе с постоянными коэффициентами могут иметь место при наличии чисто мнимых корней характеристического уравнения. Поэтому, положив в уравнении (7А4) Х = (в„а,„= а„ в = в„можно получить уравнение С(((в )+)7(1в )[д(а„в,)+И'(а„в,)]=0, (7.45) которое позволяет найти частоту в, и а, возможных автоколебаннй.
Для определения в, и а, в уравнении (745) выделяется вещественная часть Х (в„а,) и мнимая часть 1)' (в„а,), после чего записываются два уравнения Х(в„а,)=0; У(в„а,)=0. (7.45) Значения в, и а, находятся из решения системы уравнений (7.46), Если эти уравнения не имеют положительных вещественных решений для а, и а„то автоколебания в исследуемой системе автоматического регулирования отсутствуют.
Автоколебания будут существовать в системе, если колебания с параметрами а, на, являются устойчивыми. При решении прикладных задач устойчивость колебаний в ряде случаев может быть установлена по физической картине процессов, протекающих всистеме. При необходимости проверки устойчивости могут быть использованы методы исследования устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений [5]. Ч а с т ь ДИНАМИКА ГИДРОВт ОРа В И ПНЕВМОСИСТЕМ Глава У111 СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОЧИХ СРЕД 1 зл. сВОЙстВА РАБОчих сРВД В гидро- и пневмосистемах управления рабочими средами служат жидкости, воздух или другие газы. Рабочие среды обычно являются однофазными веществами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
