Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 35
Текст из файла (страница 35)
При неустановившемся движении жидкостей и газов в трубах с помощью ряда допущений удается в достаточном для технических приложений виде получить расчетные зависимости, раскрывающие основные особенности не- установившихся потоков, и найти коррективы к квазистационарным значениям коэффициентов уравнений. Изучение этих особенностей помогает правильному пониманию происходящих в системах неустановившихся гидродинамических процессов, в связи с чем в некольких следующих параграфах они рассмотрены более подробно. ~за 1 зд. ГРАницы УстОичиВОсти лАминАРнОГО НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ РАБОЧИХ СРЕД При движении жидкостей или газов различают два основных течения; ламинарное н турбулентное.
Переход от одного вида течения к другому происходит вследствие потери потоком устойчивости. В теории устойчивости движения вязких сред (гидродинамической устойчивости) из-за значительной математической сложности пока рассмотрены отдельные частные случаи течений, причем вопросы о причинах нарушения устойчивости движения в трубах еще требуют своего решения 135). В настоящее время даже при установившемся движении среды основную роль в определении условий устойчивости ламинарных потоков играет эксперимент.
По исследованиям устойчивости неустановившегося движения сплошных сред в трубах известно немного работ. Краткий обзор большинства этих работ приводит Т. Сарпкая перед описанием своих экспериментов по исследованию в трубе устойчивости ламинарного пульсирующего потока, не меняющего направления течения [б4). Этот обзор должен бмть дополнен работой С. И. Сергеева, в которой даны результаты визуального наблюдения за периодическими колебаниями столба воды в стеклянных трубках 167).
Оба автора отмечают увеличение критического числа Рейнольдса, при котором нарушается устойчивость неустановившегося потока по сравнению с известным из гидравлики критическим числом Рейнольдса для установившегося ламинарного движения. При этом результаты экспериментов Т. Сарпкая подтверждаются экспериментами Д.
Гилбреча и Г. Комбза и не согласуются с экспериментами Г. Дарлинга, который при периодически изменяющемся расходе жидкости получил критическое число Рейнольдса, равное 1500. Т. Сарпкая выделяет два фактора, различно влияющие на устойчивость неустановившегося движения жидкости. Один из этих факторов способствует нарушению устойчивости потока и непосредственно связан с возникновением точек перегиба на профилях местных скоростей при колебании расхода жидкости.
Другой фактор заключается в стабилизирующем действии на поток ускорения жидкости. Отношение времени существования точек перегиба на профилях местных скоростей к остальной части периода колебания расхода принимается за показатель, характеризующий возможность нарастания или затухания случайных возмущений, возникающих в потоке.
Этот показатель зависит от отношения амплитуды колебания расхода к среднему за период колебания расходу и от частоты колебания расхода жидкости в трубе. Нарушение устойчивости движения жидкости определялось по росту искусственно вызванных в потоке турбулентных пробок. По осциллограммам с записью давления прн затухающих и развивающихся турбулентных пробках Т. Сарпкая получил границы устойчивости ламинарного потока при гармоническом изменении расхода жидкости в трубе, Эти границы показаны на рнс. 9.1, причем по !87 Рейнольдса йеио вычисляемое по амп. по сечению трубы скорости ач жидкости, а по оси ординат от.
ложено число Рейнольдса, соответствующее осреднен. ной за период колебания средней по сечению скоро. сти от Параметр й, харак. теризует безразмерную частоту колебания расхода жидкости: оси абсписс отложено число плитуде колебания средней яе= "е— ч 0400 4000 11. =)У ыг'Уч, (9.1) агоа 0000 0400 0000 ОМО 40 00 0 000 ГООО 2400 Яет т 1 9.3. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ РАБОЧЕЙ СРЕДЫ Движение ньютоновских жидкостей и газов описывается уравнением Навье-Стокса 135, бб) р — „= рР— ягас(1р.+( — р — рч) б(ч й1+2 11)ч (~й), (9.2) где й — вектор скорости; Р— вектор объемной силы, отнесенный к единице массы; 5 — тензор скоростей деформаций; Р)ч — дивергенция тензора.
Для получения замкнутой системы уравнений к уравнениям Навье-Стокса необходимо присоединить уравнение неразрывности, Рнс. 9Л. Границы устойчивости ламинарного неустановившегося движения жидкости в трубе потока в трубе при мгновенных числах и безразмерной частоте 11, = 40 153). где го — угловая частота колебания расхода жидкости в трубе; г, — радиус проходного сечения трубы; ч — кинематическая вязкость. Дополнительные экспериментальные исследования, проведенные при гармонических изменениях расходов различных жидкостей (глицерина, жидкости АМГ-10, веретениого масла, керосина) около нулевого значения, позволили с помощью электротермоанемометра обнаружить временную турбулизацию Рейнольдса, равных 20 10", уравнение состояния среды, уравнение баланса тепла и уравнение, характеризующее изменение вязкости и теплопроводности среды.
При сжимаемой среде уравнение неразрывности имеет вид др/дг'+ б(ч (ри) = О. (9.3) Уравнением состояния среды устанавливается связь между давлением, плотностью и температурой Т' в данной точке потока: р=у(р, т'). (9.4) Если рабочей средой является газ, который можно считать совершенным, то зависимость (9.4) приводит к уравнению (8.6). Для жидкостей связь между изменением плотности и давлением определяется обычно с помощью модуля объемной упругости, причем влияние температуры учитывается в самом модуле упругости.
При малом процентном содержании нерастворенного газа в жидкости применяются такие же зависимости, как для жидкости, не содержащей газа, но значение модуля объемной упругости корректируется описанным в 9 8.4 способом. Эти зависимости могут быть использованы вместо уравнения состояния и для газа, когда принимается допущение об изотермическом или адиабатном характере термодинамического процесса.
В рассмотренных случаях необходимое уравнение получается из соотношения (8.11) после исключения скорости звука в среде: (9.5) др)др= р7В. Уравнение баланса тепла может быть взято в виде [351 йТ' з . /2 рс, ~ — — 2рУ вЂ” р б!ч и — ~ — р — р,,1(д(ч и)'+ б(ч (А, дгас1 Т'), (9.6) где й, — коэффициент теплопроводности среды, который принимается пропорциональным р, причем число Прандтля Рг=рс !й, (9. 7) является постоянным. Входящие в уравнения (9,2) и (9.6) динамическая вязкость р и объемная вязкость рю как указывалось в гл. И11, изменяются в зависимости от температуры и от давления. Данные о значениях рч крайне ограиичены, но можно предполагать, что они изменяются аналогично значениям р, т.
е. если р=р(р, т'), (9.8) то р,=р,(р, т'). (9.9) Зависимости (9.8) и (9.9) с учетом зависимости (9.4) илн заменяющих ее уравнений (8.6) и (9.5) делают систему уравнений (9.2), (9.3) и (9.6) замкнутой, но настолько сложной, что она не решается в общем виде. Дополнительные допущения позволяют упро- 189 стить эту систему уравнений и в ряде случаев получить решения подтверждаемые экспериментами.
Перечисленные уравнения существенно упрощаются, когда рассматривается движение среды в предположении малых отклонений переменных от своих установившихся значений, так как при этом появляется возможность линеаризации нелинейных функций. Кроме того, могут быть приняты и другие допущения, которые в каждом конкретном случае должны быть оправданы характером исследуе.
мого неустановившегося процесса в гидро- или в пневмосистеме. К таким допущениям, например, относятся предположения об осесимметричном течении сред в трубах и о малой длине начального участка по сравнению с общей длиной трубы. Ниже мы более подробно рассмотрим случаи ламинарного и турбулентного неустановившихся течений в трубах с целью получения математической модели, удобной для расчета и исследования динамических режимов, возникающих в гидро- и пневмосистемах.
1 9.4. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕТОСЯ ДВИ!КЕНИЯ РАБОЧЕЙ СРЕДЫ В ТРУБЕ При составлении уравнений неустановившегося движения рабочей среды в длинной цилиндрической круглой трубе будем считать поток осесимметричным с достаточно малыми изменениями температуры и давления для того, чтобы вязкость среды могла приниматься постоянной. Условимся также, что объемная вязкость среды при исследуемых процессах может не учитываться. При сделанных предположениях уравнения Навье-Стокса (9.2) в цилиндрических координатах, у которых ось х направлена по оси трубы, а координата г определяется по радиусу поперечного сечения трубы, приводится к двум уравнениям ди ди ди„ вЂ” +и — '+и,— '= д! " дх г дг 1 др Г 4 диик дкик ! ди„ ! д /диг игП = — — — +ч Г! — ." + — "+ — — "+ — — ! — '+ — '!з! (9.10) р дх ( 3 дхи дг' г дг 3 дх 1~ дг г,))' ди, диг диг — '+и — '+и -'= д! " дг к дх 1 др Г 4 дкиг 4 ди, 4 и„ д / ! ди дигП = — — — + т ( — — '+ — — ' — — —" + — ! — —" + —" ! 1, (9.10') р дг ( 3 дгк Зг дг 3 г' дх ( 3 дг дх ))' где и и и, — проекции скорости и соответственно на оси х и г.
Третье уравнение Навье-Стокса, содержащее угловые координаты, в данном случае исключается благодаря предположению об осесимметричном течении. Уравнение неразрывности (9.3) в цилиндрических координатах имеет вид !90 Так как вязкость среды принимается постоянной, то из уравне- ний, приведенных в 5 9.3, достаточно использовать уравнение (9.5), считая значение В постоянным и равным локальному адиабатиче- скому модулю объемной упругости, Систему уравнений (9.10) — (9.11) можно упростить, если пре- небречь членами, порядок которых значительно ниже порядка удер- живаемых в уравнениях членов 142).
Условимся, что длина трубы 1 будет линейным масштабом, средняя по сечению скорость о среды— масштабом скорости, а скорость протекания процессов опреде- ляется скоростью со звука в среде. Тогда дих о оо дих о ого и — — и "дх~! г где символ 0 использован для обозначения порядка рассматриваемых величин, Для процессов, при которых изменения давлений и скоростей движения среды происходят со скоростью, близкой к скорости звука со в среде, имеем и„° ди„/дк о о дих/д/ са ' откуда следует, что при о ~ с, в уравнении (9.10) член и„ди /дх, а также член и, ди„/дг можно считать малыми по сравнению с членом ди„/д/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
