Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Например, это условие выполняется, если при скорости звука в среде, равной 1000 м/с, наибольшее возможное отклонение средней по сечению скорости движения среды от установившегося значения составит 10 м/с. При»/1 =/о члены, учитывающие в уравнении (9.10) действие вязкости среды, имеют следующие порядки: 4 доихо 4 о 3 дхо 3 Р! д'их о о 1дихо дго =йод ' г дг Аоп ' Эти уравнения показьвают, что при /о ~ 1 член — —," будет 4 д'и„ д'и „ пренебрежимо малой величиной по сравнению с членами —" и дго ! ди„ г дг' Обычно и„~ь иг и уравнение (9.10') можно исключить йз рассматриваемой системы, принимая соответственно равными давления во всех точках сечения трубы.
При этом вследствие взаимной связанности по уравнению (9.5) плотности и давления одновременно исключается из уравнения (9.11) член и, др/д». Кроме того, в тех случаях, когда скорость движения среды значительно меньше скорости звука в среде, допустимо также исключить член и„др/дх как пренебрежимо малый по сравнению с другими членами уравнения (9.11). 1Я! При перечисленных допущениях неустановившееся движение вязкой сжимаемой среды в трубах описывается системой, состоящей из следующих двух уравнений: ди„! др Гдеик 1 ди„! д !дик и, !'! — = — — —, + ч 1с — "+ — — '+ — — ( — '+ — '~~ (9.12) дг Р дх ь дг' Г дг 3 дх (, дг Г Д ' (9.13) и уравнения (9.5), причем в дальнейшем в коэффициентах уравнений плотность среды принимается постоянной, равной р,.
Умножим все члены уравнений (9.12) и (9.13) на 2лг2(г и затем проинтегрируем их по г в пределах от г = О до г = г„где г,— радиус сечения трубы. В результате получим Г, Ге д Г 1 д à — ~ 2лги„г(г = — — — 2лгр 8(г+ Ро дх ~ о Ге Ге Гйик 1 ди.! 22 д Г Гдик а ! +те 2лг ~ — + — — "!8(г+ — — ~ 2лг ~ — '+ — ")8(г. гадко г дг) Здх3 1дг г) о (9.!4) Ге Ге д Г 1'диГ ик! д Г дду д — ~ 2лгр 8(г+ро ~ 2лг ( — '+ — ') 8(г+ро — т 2лгик8(г= О. (9.15) (дг дх ) Найдем каждый из интегралов в уравнениях (9.14) и (9.15). Интеграл в левой части уравнения (9.14) равен расходу Я среды, протекакхцей а рассматриваемый момент времени через данное сечение трубы: ~ 2лги„8(г=Я.
о (9.16) (9.1 7) Второй интеграл в правой части уравнения (9.14), принимая во внимание, что при г = О (2(и„/дг), о = О, определим следующим образом: Ге (2 ( — ",*.1- — ~)8 2 ) — ( Е*)8 =2,(Еи) . 19.181 о Производную от скорости ик по г при г = г, можно связать с не- стационарным касательным напряжением на стенке трубы т,„, 192 Вследствие принятого выше допущения о независимости давления от координаты г первый интеграл в правой части уравнения (9.14) дает произведение мгновенного значения давления на площадь проходного сечения трубы: Г ~ 2лгрг)г= лгер. о используя закон вязкого трения Ньютона.' т,„= — рот (ди„,)дг), (9.19) Тогда интеграл (9.18) приводится к виду вв о (9.20) Наконец, рассмотрим третий интеграл правой части уравнения (9.!4), предварительно записав его в виде Гв гв ~ 2лг ( дг' + — ") о(г = 2л ! г д 'Иг + 2л ~ и, )4г.
(9. 21) о о Проведя интегрирование по частям в последнем члене правой части выражения (9.21), получим ди, в ди, 2 ),в -2 . — 2 1 — 'в =2, — 2 в'в, )ввв) а о где и,, — проекция скорости при г = г,. С учетом выражения (9.22) интеграл (9.21) принимает следующее значение: вв о 2лг (~'+ — ') о( =2лг,и,. (9.23) (9.24) Приращение дго выразим через приращение напряжения о(а в стенке трубы;. (9.25) Ыго ='в4 о г(о(Е где ń— модуль упругости материала стенки. Так как о = рго)6, то )Ь = — !г — +р — ) оЫ.
! ~ др дго! д(од~ д)) (9.26) Вторым членом в правой части выражения (9,26) можно пренебречь по сравнению с первым членом. Тогда из формул (9.24), (9.26) и (9.26) находим, что г) др и„=— дЕвв дг ' 7 Попов Д. Н. 193 Если труба абсолютно жесткая, то значение и,, будет равно нулю. При наличии деформации стенок трубы и„определяется скоростью деформации стенок трубы: и„= Йгоlо(г. и соответственно получаем следующее значение интеграла (9.23); го 2пг! — '+ — ') дг = — ' —.
/ди, и ! 2иг,' др 1дг г ) ЬЕст д1 (9.27) Используя интегралы (9.16), (9.17), (9.20) и (9.27), уравнение (9.14) после деления всех его членов на иго' приведем к виду до 1 др 2тон 2тго дор д1 ро дх рого ЗЬЕст дхд/ ' — =- — — — — + — —, (9.28) где о = Я/иго' — средняя по сечению трубы скорость среды в рас. сматриваемый момент времени. Для выяснения влияния последнего члена правой части уравнения (9.28) запишем его в виде до 1 д / 2роого др! 2тон — = — — — /г —— (9.29) д/ — р, д '1 зье„д/,) р... 1 При принятом выше масштабе времени, определяемом как —, оо второй член, содержащийся в скобках в уравнении (9.29), будет пренебрежимо малой величиной, если 2роогооо ЗЬЕ„! Это условие почти всегда выполняется, и, следовательно, в уравнении (9.28) можно опустить последний член. В результате приближенное уравнение движения вязкой среды в трубе примет вид до 1 др 2тон (9.30) д/ Ра т1х Рого ' При этом уравнение неразрывности (9.15) с учетом формул (9.16) и (9.27) после деления на иго приводится к виду др 2рого др до (9.31) Исключив из уравнения (9.31) с помощью уравнения (9.5) производную д р/с//, получим Уравнение (9.32) можно также записать в виде др до д/ тодх' (9.33) 194 где В,р — приведенный модуль упругости трубы; Етр = Е/~1 + ЬЕ ) или — = — + —; Ест = ЬЕ,/2го (9.34) Таким образом', неустановившееся ламинарное движение сжимаемой среды в упругой цилиндрической трубе круглого сечения описывается уравнениями (9.30) и (9.33).
Зги уравнения применимы н в случае неустановившегося турбулентного движения среды, если все неизвестные величины считать осредненными по Рейнольдсу, что будет допустимым, когда характерное время исследуемого процесса значительно превышает временной масштаб турбулентных пульсаций. В уравнение (9.30) кроме р и о входит нестационарное касательное напряжение на стенке т,„ трубы. Лля получения замкнутой системы уравнений необходимо связать т,„ с о или с р. Прн установившемся движении среды до/д/ = О, и поэтому касательное напряжение на стенке трубы в установившемся потоке т, полностью определяется перепцдом давления на данном участке трубы. Величину т,„можно вычислить по известному из гидравлики соотношению Л Р««« т «У 4 2 где Л вЂ” коэффициент сопротивления трения трубы п-и установившемся движении среды; о„— средняя по сечению скорость в установившемся потоке.
Квазистационарное значение касательного напряжения на стенке т, „ в неустановившемся потоке принимается равным т,, когда мгновенная средняя по сечению скорость и равна о„, т. е. Л-Р' (9.36) где Л„, — квазистационарный коэффициент сопротивления трубы, равный Л при о = о„. При ламинарном потоке, для которого Л = 64/Ке, 4Р«ч то. .
«« а (9.36) Соотношение (9.36) можно получить также по уравнению (9.!9), принимая параболическим закон распределения местных скоростей по сечению трубы [76). Следовательно, величина т„в уравнении (9.30) может быть заменена квазистационарным значением т, „, только при условии, что действительное распределение местных скоростей по сечению потока мало отличается от квазистационарного. Однако указанное ограничение часто упускается из виду, и уравнения (9.30) и (9.33) без достаточного для этого основания решаются при т,„= т, „.
В реальном же неустановившемся потоке закон распределения местнь!х скоростей может существенно отличаться от квазистационарного. Например, при пульсирующем ламинарном движении среды в круглой трубе изменение местных скоростей в пристенных слоях опережает во времени изменение местных скоростей в,центральных слоях. Аналогичное явление возникает в проводнике при переменном электрическом токе. С увеличением частоты плотность тока возрастает у поверхности и уменьшается в середине проводника.
В эле- ктротехнике это явление называется поверхностным' эффектом илн скин-эффектом. Из-за изменения закона распределения местных скоростей по сечению трубы значения т,„в действительности отличаются от т, „,. Так как величина т„изменяется во времени, то связь ее со средней по сечению скоростью п среды следует искать в виде диф. ференцнального уравнения или в виде динамических характеристик, принятых в теории автоматического регулирования. Прилинейной модели неустановившегося потока наиболее полное представление о зависимости т,„от о можно получить с помощью передаточной функции [84!.
1 9В. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ КАСАТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ НА СТЕНКЕ ТРУБЫ ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ЛАМИНАРНОМ ДВИЖЕНИИ СРЕДЫ Из вывода уравнения (9.30) следует, что в правой части уравнения (9.12) можно не учитывать последний член и записывать это уравнение в виде (9.3?) К такому же уравнению приводится исходное уравнение НавьеСтокса (9.2), если рассматривать неустановившееся ламинарное движение несжимаемой среды (р, =р = сопз1) с постоянной вязкостью в круглой трубе за пределами начального участка. Следовательно, при принятых выше допущениях уравнения движения сжимаемой и несжимаемой сред получаются одинаковыми, но сохраняется различие в уравнениях неразрывности течения, так как для несжимаемой среды б!у (рй) = О.
Для определения зависимости касательного напряжения на стенке трубы в неустановившемся потоке от средней по сечению скорости могут быть использованы только уравнения движения (9.30) и (9.37), поэтому такая зависимость будет справедливой как для несжимаемой, так и для сжимаемой сред. Если величины и„, р и о рассматривать как отклонения от значений, соответствующих установившемуся потоку, то при нулевых начальных условиях уравнение (9.37) в изображениях по Лапласу записывается в форме л»и» (з) 1 ли» (»)» à — ! + — — „' — — ~и»(з)+ — У (з)~=0, (9.38) где з — переменная в преобразовании Лапласа; и» (з) — изображение по Лапласу местной скорости и; У, (з) — изображение по Лапласу др/дх компоненты вектора градиента давления, которая при рассмотрении одномерной модели потока для краткости названа градиентом давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
