Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если потери давления в местных сопротивлениях малы по сравнению с потерями давления из-за сопротивления трения трубопровода, то всю линию будем считать простой. Простые линии с постоянной по длине толщиной стенок, материал которых имеет одинаковый модуль упругости, назовем однородными. Неустановившееся движение рабочих сред в однородных линиях круглого сечения без учета тепловых процессов в самой среде описывается уравнениями (9.30) и (9.33). Необходимые для этих уравнений граничные условия определяются характеристиками местных сопротивлений, подключенных к концам линий.
В общем случае однородные линии относятся н линиям с распределенными параметрами. При малом влиянии сжимаемости рабочей среды и упругости стенок на процессы условие однородности линии не имеет значения и она рассматривается как простая с сосредоточенными параметрами, причем используется только уравнение (9.30).
В обоих случаях нестационарное касательное напряжение т„, на стенке находится по передаточной функции %'„. С учетом тепловых процессов в рабочей среде математическая модель однородной линии с распределенными параметрами усложняется, так как добавляется уравнение распространения тепла в пространстве, занятом рабочей средой. Пример такой модели приведен в конце этой главы.
213 $ 40.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ДВИЖЕНИИ СРЕДЫ Переходные процессы вызываются в линии изменением давления или расхода рабочей среды на одном из ее концов. При этом закон изменения во времени .одной величины (давления или расхода) является заданным, а другой характеризует переходный процесс. Расчет переходных процессов в линии начинается с допущений, которые позволяют с необходимой точностью и без излишних вычислений решать систему уравнений, приведенную в 9 9.3.
Сначала мы рассмотрим те случаи, когда не учитывается сжимаемость рабочей среды, стенки предполагаются абсолютно жесткими и длина начального участка является малой по сравнению с общей длиной линии. При таких допущениях в случае ламинарного режима течения переходный процесс можно найти, используя уравнение (9.46) и передаточную функцию (9.49).
Переходя по формулам (9.50) и (9.52) к безразмерным величинам, приведем уравнение (9.46) к виду хй (х)+ тоо (х) = — И'х (д) ()О.!) где о = гооз18т — безразмерная переменная в преобразовании Лапласа; У„(з) — изображение по Лапласу безразмерного градиента давления; ы ар (о) Передаточная функция (9.49) после подстановки безразмерных величин вместо размерных и замены бесселевых функций 1„1о модифицированными функциями 1„1, принимает вид )и (-) тоо (о) ) аз 11 (Ухо) ()0.2) о (Я) 41о(У 82) Подставив в уравнение (!О.!) изображение безразмерного касательного напряжения на стенке тоо (Х) = % ~ В (о) ' В (о) с учетом передаточной функции ()0.2), найдем ~4 о1о Ь' 8Х) + )г8Х 1г Ь 8о )1 б (й) = 41о ()' 8У ) ( — ооо (Х) ), ()0 3) Применив рекуррентные формулы, можно функцию 1, в левой части уравнения ()0.3) выразить через функцию 1, и 1, и записать уравнение в виде Х1о() ' 8~ ) П (Х) = 1о(~ 8д ) ( — Иох (У)) ()0 4) Предположим, что градиент давления изменяется по закону единичного скачка.
Тогда — У (о)= )1о. и уравнение (10.4) будет иметь решение 1, (У81) м1а (У8з) (10.5) Разложение Хевисайда позволяет это решение представить в следующей форме, удобной для обратного преобразования: Ш б()= —,'+ г' з;„ (10.6) ь=! В нашем случае 1 (Уз ) э/, (Увг) 1 (Увэ) (1Ч, ( зз)]' (10.7) Ф вса (10.8) ! у =и» Значение Сь определим, вычислив производную [хз/а(У82)]' = 22/оЬ' 82) +=1,()188) (10.10) и применив рекуррентную формулу / ()/82) Увх 1о(Ф 8з) 1 зг 1~(~ 8х) (10 11) 2 2 с учетом, что 1,()182) при 2 х» равно нулю. После обычных преобразований из формулы (10.8) имеем Сь = — 1/2хь (10.12) Нули х» функции /о(3 '82 ) связаны с табличными значениямисса нулей бесселевых функций соотношением )Г8я~ =/а„, откуда 2» — — — а»/8. (10.13) Учитывая зависимости (10.9), (10.!2) и (10.13), запишем решение (10.6) в виде » ! чД 82 ! "(~) — з 1 и~ э+а»ь/8 ' ь=! * 2!5 где [~Чо5'8э)]' — первая' производная по 2; дь — нули функции 1О()/82).
Для определения С, необходимо в соотношении (10.7) разложить бесселевы функции в ряды и найти предел полученного выражения при д -» 0; в результате получим С,=1. (10.9) Выполнив обратное преобразование, по решению (10.14) найдем переходную функцию и (г) = 1 — 32 т' —, е ~р'~ . ' (10.15) ~ы а! Переходная функция (10.15) определяет вызванное единичным скачком безразмерного градиента давления изменение безразмерной средней по сечению скорости П среды в зависимости от безразмерного времени г. По формулам (9.50) и (9.56) от безразмерных величин можно вернуться к размерным и затем, умножив среднюю по сечению линии скорость на площадь этого сечения, найти переходный процесс в виде функции расхода среды от времени. При этом должно быть также вычислено значение скачка градиента давления, соответствующего единичному скачку.
Удерживая в переходной функции (10.15) только два первых члена ряда при значениях а, = 2,405 и а, = 5,52, получаем следующую переходную функцию: о (1) = 1 — 0,95бе Р Рэз! — 0,034е 'з мг. (10.16) В предположении квазистационарного распределения местных скоростей по сечению потока можно получить две переходные функции. Первая находится при использовании уравнения Бернулли для неустановившегося потока (уравнение (9.94) при к, = 1, кр~ = 1,33), в котором принимается А„, = 64/Ке„ После решения такого уравнения и перехода к безразмерным величинам имеем — (Г) 1 е — ОлзРг (10.17) Если решать уравнение (9.30), предварительно подставив в него т„, = т, „., определяемое по формуле (9.36), то получим вторую переходную функцию П,(Г) =1 — е — 7.
(10.18) Графики переходных процессов приведены иа рис. !0.1. Различие в переходных функциях (10.17) и (10.18) объясняется тем, что в исходных уравнениях принимались квазистационарные значения коэффициентов количества движения, сопротивления трения и касательного напряжения на стенке. На самом деле из-за нестационарности распределения местных скоростей по сечению потока зти величины имеют другие значения и связаны между собой иными зависимостями, чем те, которые обычно указываются в гидравлике. Вследствие этого появляется несоответствие между коэффициентами уравнения Бернулли, записанного для неустановившегося потока, и уравнения (9.30), когда в последнем, вообще говоря, произвольно принимается т,„= тр„,. 216 По переходной функции (10.!7) значения безразмерной скорости 0 в каждый момент времени ! получаются ближе к более точной зависимости (10.16), чем по переходной функции (10.18).
Заметим, что переходной функции 0,(г) соответствует модель потока с параболическим профилем местных скоростей (хрр = 1,33), форма которого предполагается неизменной во время йроцесса. В основу модели потока, для которого вычислена переходная функция о,(!), 0,4 а йу йп )у ер г,к Ер л,к 4,р 4,г Рис. 10.1. Переходные процессы в линии с сосредоточенными параметрами при ламинарном движении среды )рассчитанные по различным переходным функциям (10.16), (10.17) и (10.18)) положен равномерный профиль местных скоростей (нар = !), причем значение касательного напряжения определяется с помощью квазистационарного коэффициента сопротивления трения. На большую часть переходного процесса в основном влияет инерция рабочей среды, поэтому небольшое расхождение в значениях о (!) и 0, (!) указывает на наличие неравномерности в распределении местных скоростей при переходном процессе после скачка градиента давления.
5 !0.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ДВИЖЕНИИ СРЕДЫ Рассмотрим теперь случай, когда переходный процесс, вызванный скачком градиента давления, возникает в турбулентном потоке. Для определения переходного процесса воспользуемся уравнением Бернулли, записанным для неустановившегося потока [76): Р!)) 81+Л ~ 2 — — Рх — Рз. оо ! (юа (! 0.19) В данном уравнении коэффициенты количества движения р и сопротивления трения Х, строго говоря, следует рассматривать как нестационарные, т.
е. принимать р = р„и )ч = )ч„. Однако числен- 217 где бсср — — (р, — рк) гск764ртЧ. (10.21) Условимся скорость и и давления р„р, при переходном процессе считать измеренными от значений, соответствующих начальному установившемуся движению среды. Кроме того, примем, что установившееся движение является автомодельным и значение )с„, постоянно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
