Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 44
Текст из файла (страница 44)
График для определения если М ( 1. корректива х, Резонансные частоты /р линии можно найти после подстановки в соотношение (10.91) коэффициента фазы из соотношения (10.43). С учетом, что о»р —— 2п/„получим с» (» ! + 2п ~ (10.92) Значениям п = 0 и п = ! соответствуют первая /р» и вторая /ря резонансные частоты линии.
При указанных выше параметрах имеем с, =- 1300 м/с, /р» —— 26,4 Гц, /ря —— 79,2 Гц. При резонансных частотах в случае 6 = 0 Ая,р, (о»р) и»рр,р, (а»р) определяктгся соотношениями А„а, (о»р) = 1/М; »эр,р, (о»р) = — — — пп. (10;93) Лля данной линии М = 0,3; Ар р = 3 3. При частотах, отличающихся от резонансных, значения Ар,а, (о») и Ч»а,я, (о») вычисляются по формулам (!0.89), (10.90). Эти характеристики изображены на рис.
10:9 и !О.!О штриховыми кривымп. Если коэффициент затухания 6 принять равным своему квазнстационарному значению б„„то при активном сопротивлении = 1470 МПа; р, = 870 кг/м', и = 0,18 см"с; )7„» =- 0,0292 МПа сlсм', ге = 6,35 мм. График к„= и, (о»), построенный по формуле (9.90), приведен на рис. 10.1!. Вычисленные рассмотренным здесь методом амплитудная и фазовая частотные характеристики полностью совпадают с теоретическими характеристиками из работы (42),которые также определялись с учетом нестационарности распределения местных скоростей, но более сложным путем.
На графиках нанесены заимствованные из упомянутой работы экспериментальные значения относительных амплитуд и фаз. В этих экспериментах колебания потока создава- лись управляемым клапаном, ка расположенным в начале линии; среднее за период колебания расхода число Рейнольдса было равно 650. Х Если положить 8 = О, то при е чисто активном сопротивлении нагрузки согласно соотношению (10.85) величина й/ обратится г в нуль и амплитудная частотная / характеристика (10.89) будет иметь максимумы при нагрузки амплитудная частотная характеристика линни будет лежать между характеристиками, полученными при негтационарном коэффициенте затухания 6 и при 6 = 0 Участок этой характеристики в зоне резонансных частот показан на рис.
10.9. Фазовая частотная характеристика при 6 = б„почти не отличается от двух других фазовых характеристик (см, рис, !0.10). Заметим, что благодаря наличию активного сопротивления нагрузки у линии сохраняется демпфирование даже при 6 = О, чем и объясняется ограниченная высота амплитудных пиков при резонансных частотах. Отличительная особенность этих пиков состоит в том, что их величина не меняется при различных резонансных частотах.
При чисзо реактивном сопротивлении нагрузки и при 6 = 0 с приближением к резонансным частотам значения А„, (ы) будут стремиться к бесконечности, что указывает на отсутствие демпфирования у линии. Положив )г,„= 0 и 6 = О, из соотношений (10.84) и (10.85) найдем (10.94) 64 = 0' 6~ = — ВтреФгОгэ)?рн. Ц этом случае М, = 2 соз е! — 26( з!и е(; У, = 0 (10.95) и амплитудная частотная характеристика (10.89) приводится к виду А„„, (ы) = 1!(соз е( — 6Гз(п е(), ' (10.96) а фазовая частотная характеристика принимает значения ср',„,(и) = — лп; п=О, 1, 2, 3...
(10.9?) Резонансные частоты, при которых происходит разрыв функции (10.96), можно найти из уравнения соз е( — (Уз!па( = 0 или из уравнения с(п а1= М. (10.98) Уравнение (10.98) легко решается графически. Рассмотрим, например, гидравлическую линию, на конце которой чисто реактивное сопротивление нагрузки создается емкостью, целиком заполненной жидкостью.
Примем, что изменения давления во всех точках емкости происходят одновременно с изменением давления в выходном сечении линии. Тогда объем жидкости, поступающей в емкость или уходящей из нее за время й, будет др = — (1/а/В„) барм где У, — объем емкости. Расход жидкости в выходном сечении линии соответственно равен В Ф ' (10.99) 235 Из данного уравнения при гармонических колебаниях потока (и = )со) находим рл (ри) Вж — = — !— Ьл ()га) Так как активное сопротивление нагрузки в данном случае принято равным нулю, то согласно соотношению (10.81) аглаи ~жl~ ОШ Подставив в формулу (10.85) это значение )тр„и значение е, определяемое равенством (10.43), получим в„д„ иглелвж Учитывая соотношения (!0.43) и (10.100), уравнение (10.98) приведем к виду с1д — = (10.101) Умножив и разделив правую часть уравнения (10.101) на длину линии 1, имеем с1д — = Ки —, Ы ел) .
(10.102) сл с„ ' где К~ = шла)'а)пгл)ож. Корни уравнения (10.102) можно найти по точкам пересечения н) . са1 кривых у, = с18 — с прямой у, = Ки — (рис. 10.12). Этим точкам сл сл соответствуют безразмерные резонансные частоты ми! и — = — (1+ 2а); п=О, 1,2,3... При наличии емкости на конце линии ее резонансные частоты становятся меньше, чем тупиковой линии, амплитудная и фазовая частотные характеристики которой вычисляются по формулам (10.89) и (10.90) при М =-0 и Ж =- О. Эти характеристики даны на рис.
10.13. и 10.!4. 236 Рис. 10.12. Решение транснсиаентного урав- нения (1О.! 02) )ва = ш,1/с„. При полностью закрытом конце линии (тупиковая линия) и, как видно из графиков на рис. 10.12, безразмерные резонансные частоты имеют значения Здесь были рассмотрены частотные характеристики линии, определяющие связь между амплитудами и фазами гармонически изменяющихся давлений в концевых сечениях. Такими же методами а — гт гт гх гт х ш г г см Рис.
10.!3. Амплитудная частотная Рис. !0.14. Фазовая частотная харак- характеристика тупиковой линии теристика тупиковой линии по уравнениям (10.64) и (10.65) могут быть определены частотные характеристики для других переменных величин: расходов в двух концевых сечениях или расхода в одном концевом сечении и давления в другом. $ !0.8. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ Переходные процессы возникают в линии вследствие действия возмущений, приложенных на одном из ее концов и вызывающих изменение во времени расхода или давления в этом концевом сечении.
В переходных процессах проявляется отклик линии на действия возмущений. Отклик характеризуется функциями, устанавливающими зависимость значений расхода или давления в интересующем нас сечении линии от времени. Из-за распределенности параметров в различно расположенных по длине линии сечениях переходные процессы могут протекать по-разному, и, следовательно кроме времени ! независимой переменной в этой функции будет еще координата х, определяющая расположение рассматриваемого сечения по длине линии. Если допустимо использование математической модели линии в виде уравнений (9.49), (10.36) и (10.39) с линейными граничными условиями, то переходные процессы можно рассчитать операционным методом по уравнениям (10.64) и (10.65) или по получаемым из этих уравнений передаточным функциям.
При решении такой задачи необходимо осуществить переход от предварительно вычисленных изображений расхода или давления к оригиналам. Этот последний шаг является наиболее трудным и может потребовать выполнения 237 (10.105) достаточно сложных математических операций. Тогда более целесообразно воспользоваться другими методами решения уравнений (9.30) и (9.33) (721. При применении электронно-вычислительных машин переходные процессы могут определяться по математической модели линии с нелинейными граничными условиями.
Приближенный расчет переходных процессов может быть также проведен графоаналитическим методом [41. Для выяснения ряда особенностей переходных процессов в линиях с распределенными параметрами при наличии согласованной нагрузки рассмотрим некоторые примеры решения задачи с применением преобразования Лапласа. Пусть изображения- давлений в концевых сечениях однородной линии при согласованной нагрузке связаны передаточной функцией (10.74).
Эта передаточная функция может быть использована и для определения переходных процессов по давлению в бесконечно длинной линии, если в нее вместо 1 подставить х. Предположим, что в начале линии приложено возмущение в виде изменяющегося во времени давления р, (1, О), изображение которого р, (з, О). Изображение функции давления, определяюшей переходный процесс по давлению в конце линии, найдем по передаточной функции (10.74): рз (з, 1) = р, (з, О) е эмы (10.103) Если пренебречь вязкостью среды, принимая соответственно гидравлическое сопротивление линии равным нулю, то операторный коэффициент распространения согласно соотношению (!0.40) становится линейной функцией переменной з: 0 (з) з 1 РоЛос (10.104) В этом случае оригинал рэ ((, 1) легко находится, так как по известной из операционного исчисления теореме запаздывания умножение изображения р, (з, О) на е —" (где т — постоянная величина) равносильно замене в оригинале переменной (на новую переменную 1 — т.
Как следует из результата подстановки д(з) из формулы (10.104) в зависимость (1О.!03), здесь величина т равна времени распространения возмущения от начала к концу линии: =,— =(р рО/в„, поэтому р,(1, 1) р, (! — †, 0). (10. 106) г.1 ' Зависимость (10.106) показывает, что без учета гидравлического сопротивления переходный процесс в конце линии имеет внд смещенного по времени на величину 1/с, закона возмущения, приложенного в начале линии. При скачке давления в начале линии по истечении времени 1~с,, скачок давления повторяется без искажения в конце линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
