Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При скачке величины У, от 0 до Уы уравнение (10.20) можно рассматривать как частный случай уравнения Риккати, имеющего следующее решение: р=-(!'аЫа)1[1 ]/аЬ 1 (!0.22) где 1' = Акк/[) кс. а=) /4р„„ Введя безразмерную конечную скорость Пк= Р 4У,„Я„, с учетом значений величин а и 5 решение (10.22) можно представить в виде [65] — кс к 46 (10.23) Эта зависимость показывает, что при переходном процессе отклонение скорости р от установившегося значения приближается к новому установившемуся значению ок по закону гиперболического тангенса (рис. 10.2). 218' ные значения нестационарных коэффициентов р„и Хк при расчете переходных процессов в турбулентном потоке не могут быть определены из-за отсутствия необходимых зависимостей.
В то же время приведенные в работе [57] результаты исследования турбулентного потока при переходных процессах показывают, что влияние нестационарности коэффициентов количества движения и гидравлического сопротивления трения будет в этом случае слабее, чем при ламинарном движении среды. А как было выше показано, даже при ламинарном потоке расчет по уравнению (10.19) с использованием квазистационарных коэффициентов дает близкие к точному решению результаты. Сравнение п9реходных процессов, рассчитанных при квазистацнонарных значениях коэффициента количества движения р„, н сопротивления трения Х„, с экспериментальными подтверждает возможность такого предположения [57]. В связи с этим ниже примем 6 = 6„, и Х = )с„.
Приведем уравнение (10.19) с помощью формул (9.50) и (9.56) к безразмерному' виду 1 =+ — б = — ~п (10.20) 4[1кс Ркс оксйо — + — 0= — Уь 2йкс йкс (10.24) где о, — безразмерная скорость при установившемся движении среды, от значения которой измеряется отклонение скоРости 0 в пеРехоДном Рк процессе. Щб Для скачка У, от 0 до Уы решение уравнения получим в виде 0 = Се"'+ 2Кк()соса„ (10.25) б б,у бб бб бб 1б 12 14 1б — «1 кс где ш = — Хкспо/26кс.
Рис. 10.2. Переходные процессы в линии с сосредоточенными параметрами прн турбулентном движении жидкости Постоянная интегрирования С с,учетом того, что о — отклонение безразмерной скорости от п„определяется из условия 1 = О, о = 0: С = — 2отоск/)скс00. После подстановки значения постоянной С решение (10.25) принимает вид Хксоо -~ аксоо (10.26) Сравнение переходных функций (10.17) и (!0.26) показывает, что при малых нзменеииях во времени средней по сечению скорости переходный процесс при турбулентном движении среды имеет такой же вид, как н при ламинарном движении. 1 10.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТОИ ЛИНИИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Для ламинарного движения несжимаемой среды в линии с абсо- лютно жесткими стенками передаточную функцию можно найти, умножив уравнение (9.85) на иго н преобразовав его по Лапласу при нулевых начальных условиях.
В результате получим ~нрпр(з+х, Р,' )()(з)=(р,(з) — ра(з))иго, (10.27) 219 При малых отклонениях величин от установившихся значений уравнение (10.20) может быть линеаризовано. В зтом случае имеем где Я (з) = — лг,п (з), р, (з) — р, (з) — изображения отклонений от установившихся значений расхода среды и перепада давления на линии длиной 1. Уравнению (10.27) соответствует передаточная функция !гоэ(з) = г„и, (10.28) ~иат Подставив в передаточную функцию (10.28) з = !а, найдем амплитудно-фазовую частотную характеристику или комплексную проводимость линии: (10.29) (Р оэ ()тэ) = зхарт!(! +/м ) В целях обобщения амплитудно-фазовой частотной характеристики (10.29) введем безразмерное значение расхода Ц = Я/8птго (10.30) и согласно соотношениям (9.55) и (10.21) будем использовать безразмерную частоту а и безразмерный градиент Ф, давления.
После обычных преобразований из амплитудно-фазовой частотной характеристики (10.29) с учетом соотношений (9.55), (10.21) и (10.30) получаем амплитудную и фазовую частотные характеристики простой линии при колебаниях ламинарного потока несжимаемой рабочей среды: (10.
31) А „, (а!) = иа О ()м) крйм ср„„(я) = агп = — агс1я (10.32) Уг (!м) иа Коррективы х, и ирб, входящие в формулы (10.3!) и (10.32), зависят от безразмерной частоты а. Эти коррективы при значениях безразмерной частоты больше единицы определяются по формулам (9.83) и (9.84) или по формулам (9.91) и (9.93). При значениях о меньше единицы профили местных скоростей в ламинарном неустановившемся потоке почти не искажаются, и поэтому значения указанных коррективов можно принимать такими же, как для квази- стационарного потока, т.
е. х, = 1, иэй = 1,33. На рис. !0.3 показаны рассчитанные по приведенным здесь формулам амплитудная и фазовая частотные характеристики простой линии. На эти характеристики нанесены точки, полученные при экспериментальных исследованиях колебаний потоков веретен- ного масла и жидкости АМГ-10 в круглой трубе с внутренним диаметром 40 мм 153). 220 С помощью амплитудной и фазовой частотных характеристик А.а (а) и тр„, (и) можно определить расход среды в любой момент времени, если безразмерный градиент давления изменяется по гармоническому закону с угловой частотой ем ед! ар з!п о!1 где ар — амплитуда колебания безразмерного градиента давления. Аал 1,0 соха(аП) о,в 0,1 о,в оо л(тл 0,7 01 Рис. !0.3. Амплитудная и фазовая частотные характеристики простой линии (без учета сжимаемости рабочей среды н податливости стенок) Безразмерный расход сг при этом также изменяется по гармоническому закону с амплитудой ао = А„,ар и сдвигом фазы ср„, по отношению к У, следовательно, Я = А„ар з(п (о!1+аз„,).
(! 0.33) Для размерных величин зависимость (10.33) принимает вид (10.34) где ар — амплитуда колебания перепада давления на линии длиной 1, измеренная в принятой для расчета системе единиц. При известных значениях амплитуды ао колебания расхода среды аналогичным путем можно найти зависимость арч1о р, — р, = о з(п (оз1 — <р„„), А пхнг1 (10.35) Р 1 7 5 4 Х О 7 В У ГО 11 от где р, — р, — перепад давления на линии длиной 1.
10 70 во ао Ро. оо 70 во р (рлл В зависимости (10.34) и (10.35) входят величины А„и <р„„ которые вычисляются по формулам (10.31) и (10.32), причем величина <р,„подставляется со своим знаком. Если решается задача о колебаниях турбулентного потока несжимаемой среды при малых амплитудах расхода и перепада давления, то амплитудио-фазовую частотную характеристику можно определять по формуле (10.29) в тех случаях, когда по условию (9.114) частоты колебаний являются большими. При этом корректив хр() получается близким к единице, а корректив х, вычисляется по формуле (9.91).
Для более низких частот, а также для приближенных расчетов амплитудно-фазовая частотная характеристика линии при малых колебаниях турбулентного потока может быть определена по линеаризованному уравнению (10.24). Безразмерную скорость и, в этом уравнении удобно заменить числом йет, характеризующим установившееся движение среды, на которое накладываются малые колебания потока. Принимая Кех = о,е(/т и учитывая соотношение (9.50), имеем (10.36) бо = Р.еу!16.
Квазистациоиарный коэффициент количества движения 6„, для турбулентного потока обычно можно считать равным единице. Поэтому, используя соотношение (10.36) и принимая во внимание, что о = Я, после обычных преобразований уравнения (10.24) получаем %'й р (!Тв) =, зе ~ (10 37) Хее Цех ~1 !" Ае Х„, Ее„ При вычислении амплитудно-фазовой частотной характеристики (10.37) квазистационарный коэффициент сопротивления трения Л„, определяется по числу Йе . Если колебания ламинарного потока рассматривать при квази- стационарном распределении местных скоростей по сечению (параболический профиль), то в формулах (10.31) и (10.32) следует принять х, = 1, хей = 1,33.
В этом случае для больших безразмерных частот значение А„, (а) получается в 1,33 раза меньше относительных амплитуд, вычисленных при истинных значениях коррективов х, и хэй. Разница в фазах не превышает 8'. 4 10.5. КОЭФФИЦИЕНТ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ВОЛНОВОИ СОПРОТИВЛЕНИЕ Динамические характеристики однородной линии круглого сечения с упругими стенками прп движении вязкой сжимаемой среды можно определить с помощью уравнений (9.30) и (9.33) в частных производных, которые описывают процессы в линии с учетом распределенности параметров по ее длине. Проведя при нулевых начальных условиях одномерное преобразование по Лапласу этих уравнений и применив передаточную функцию (9.48), пол им „— = — зр (з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
