Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 45
Текст из файла (страница 45)
С учетом гидравлического сопротивления линии операторный коэффициент распространения Ю (э) будет нелинейной функцией а. Если предположить, что гидравлическое сопротивление линии мало и, кроме того, пренебречь влиянием нестационарности потока на ее гидравлическое сопротивление, то эту функцию можно линеаризовать. Перед линеарнзацией передаточную функцию Ю',„(з) в соотношении (10.40) заменим квазистационарным значением активного сопротивления )г,а линии, полагая И„= Ра,Щкр, (10.1071 где ра„— потери давления в линии длиной 1 при установившемся ДВИжсайнн жИДКОСтИ С РаСХОДОМ Я, = Яб.'О,Л Пр — СРЕДНЯЯ ПО СЕЧЕ- нию потока скорость при установившемся движении жидкости.
Как известно из гидравлики, р„р — — (2ос'с'о) тот (10.!08) [)т та (З),к. торс Пт и, используя соотношения (10.107), (10.108), найдем [(Рта (Э)а!кс = 27 )раа Заменив в формуле (10.40) )(г,„на ! Г',„(з)(„„получим следующую зависимость для операгорного коэффициента распростране~ из с учетом квазистационар ного гидравлического сопротивления линии: [О (э)1скс = ~ 1тсс В (Роз+)тал), (10.109) с тр где Й,',= (пг„"/!) И„,. Разложив функцию (!0.109) в степенной ряд и удерживая в этом разложении два первых члена, имеем в случае возмушения, распространяюшегося от начала к концу линии, [О (э))кс = ) Ро/Вар э (1 + с ал/2ооэ). (10.1!О) Обозначив (сс,'л,с2ро) ) с ро/В,р — — 6„', и учитывая, что )с' ро/В,р —— = 1ус„приведем зависимость (1О,!10) к виду [О (з)1..
= (э!с.)+ 6'. (10.! 1! ) Величина 6'., может рассматриваться как коэффициент затухания, получаемый в предположении квазистационарного характера гидравлического сопротивления линни и при использовании линеаризованной зависимости (10.111) для операторного коэффициента распространения. При ламинарном движении жидкости значение 6;„можно определить по формуле (10.53), принимая к, = крр = 1.
232 где т, — касательное напряжение на стенки при установившемся движении жидкости. Для квазистационарного потока передаточная функция ! (р",„(э))„с будет Изображение функции переходного процесса при сделанных допущениях найдем, заменив в зависимости (10.103) д (з) на [д (з))„,; (з !),> (з 0)е исе кк Соответствующий этому изображению оригинал будет отличаться от полученной выше функции (10.106) только наличием коэффициента, равного е з"", т. е, рэ(Г, !)=е "' р, (г — —, 0). (10. 113) — — (,. ел,„',) рз(з, 1) = р,(э, 0) е "ка . (10.114) Для нахождения по изображению (10.114) оригинала воспользуемся указанным в таблицах преобразования Лапласа следующим соответствием 1181: Š— к та,к~+а,к-~-а, Š— (анэ т"а1) к, Š— ка Ка, — ' 0 при 0~((х):аа .
(Уд,-, /; ! — ! Н вЂ” аккк) д 1, а — ке — (аизан1 ак )ГР— аак' при 1== х)Га„ (10. 115) где г( = ! — ) — ааа,; (, ( — ( — пах ~ — модифицированная функга, ~ ( а, ция Бесселя первого порядка. После преобразования по Лапласу выражения, стоящего во второй строке правой' части формулы (10.!15), можно с помощью этой формулы найти 'Бктъккк — н, 'ю. 1/а ~, ~ак 5 — 1' Р— а,кк,' (р'3 + 1~ — х 1 е-"е — м -''ы ' ' к(! (10 115) г а., !к)к — аккк кз'а, Из зависимости (10. 113) следует, что переходный процесс в конце линии будет по виду таким же, как вызвавшее его возмущение в начале линии, но смещенным по времени относительно этого возмущения и с уменьшенными в е "" раз значениями давления. Если учитывать нелинейную зависимость коэффициента распространения от з, считая гидравлическое сопротивление линии квази- стационарным, то по зависимости (10.103) и (!0.109) изображение переходного процесса будет иметь вид В нашем случае Пол а„=— Втр Ио ао = Втр ат пол = — =6;, 2 р'а 2оосл по=О; р.
оГ оГ Го а,=г и — ' — — —, — —— сб;, Вср ' сл 2ао и формула (10.1!6) принимает вид т/ ро пол втр втр — Е Слс, е л + Е-тсе слаксс ( " тл ) д( а с (10.117) Где у =)l(о — (т!слт. Умножив обе части формулы (10.1!7) на изображение р, (з, 0), с учетом зависимости (10.!14) получим ро(з, !)=р,(з, 0)е о"'е 'л + +р,(з, 0)6'„с( ~ е-"е ' " — ' — "' с((. (!0,118) а Ос, При ( ( Фс,) ро ((. !) = О. Переходный процесс, определяемый решением (10.1!9), отличается от рассмотренного в предыдущем примере тем, что здесь вторым членом правой части учитывается искажение формы передаваемого по линии возмущения. 24! Первое слагаемое в правой части формулы (10.!18) совпадает с правой частью зависимости (10.114), а второе слагаемое является произведением двух изображений.
При обратном преобразовании к этому произведению можно применить теорему свертывания. Тогда, проведя обратное преобразование изображения (10.118), получим при С) (((с„) ро (С, () = е " рт (( — —, 01+ со Г +6'„,! ~ р,(( — т, 0)е ' "' ' с(т (10,119) и бс л с', Кроме такого искажения на вид переходного процесса оказывает влияние.нестационарность гидравлического сопротивления, с учетом которого операторный коэффициент распространения выражается сложной нелинейной функцией от 5. $ !0.9. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ НЕСОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ Переходный процесс по давлению в конце однородной линии прн несогласованной нагрузке определяется с помгщью передаточной функции (!0.73).
По этой передаточной функции находится изображение р) (5, О) (1О. 120) 5Ь 10 (5) 1 1+ си [О (5) )1 Х2 (5) Один из способов вычисления оригинала по изображению (10.120) состоит в разложении его на простые дроби с последующим обратным преобразованием каждого члена полученного ряда. В некоторых случаях можно применить более простой метод перехода в пространство оригиналов, если гиперболические функции в изображении (10.120) заменить экспоненциальными. После такой замены изображение (10.120) принимает вид [86] зе,0) еом е р,(з, [)=р,(з, О) ',) '() . (10.121) ЕВ (5) 52 (5) -2Е (5) ) Яв (5) + «5 Рй который указывает на полноту отражения волны возмущения от сопротивления нагрузки на конце линии.
Используя формулу (10.122), придадим изображению (10.121) следующий вид: Полагая, что выполняется условие [ т! (5) е-2О <') ' [ ( 1, возьмем ряд ! [)) (з)]«е-2«е (5) 2 ! — Ч(5) е 'О"' «=О (10, 124) С целью сокращения записи введем, операторный коэффициент отражения Х'(5)-г.
(5) (10. 122) 5«00+х (5) ' Подставив этот ряд в зависимость (10.123), получим р, (з, !) = р, (з, О) (е-~ '*" — и (з) е- э "" + с) (з) е-хэ си '— — и'(з) е-'эпос+с)э(з) е "'-'"— с)з (з) е-ээ О)с 1 т)х (з) е-ээпи с (10. 125) При обратном почленном преобразовании ряда (10.125) необходимо иметь операторные коэффициенты т) (з) и 0 (з) в виде функций з. Этн функции определяются по условиям, при которых рассчитывается переходный процесс в линии.
1 !030 Влияние нестАПНОКАРИОГО РАспРеделения ТЕМПЕРАТУР В ПОТОКЕ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНИИ Выше было рассмотрено влияние нестационарного распределения 'местных скоростей по живому сечению потока на динамические характеристики линий с сосредоточенными и распределенными параметрами. !(роме таких гидродинамических процессов в потоке возникают нестационарные тепловые процессы, сопровождающиеся перераспределением температур по живому сечению. Этн процессы также могут оказывать влияние на динамические характеристики линии. Изменение температуры в неустановившемся потоке связано с изменением давления и плотности рабочей среды [6, 89!. Если вдополнение к указанным в 99.4 допущениям принять, что стенки линии являются абсолютно жесткими, то уравнение (9.13) примет вид — -- =р др дссх дс дх' (10.126) Умножив данное уравнение на с(г" =- 2пгс(г и затем проинтегрировав его по площади поперечного сечения Е, = пгэс линии, найдем (10.127) Ф, Для получения других зависимостей, необходимых при определении динамических характеристик линии с учетом нестационарного распределения температур по сечению, должны быть использованы уравнение состояния среды и уравнение баланса тепла.
Если рабочей средой является совершенный газ, то согласно уравнению (8.6) плотность р будет функцией температуры и абсолютного давления, поэтому — — — — — (10.128) С учетом уравнения состояния (8.6) уравнение(10.128) приводится к виду (10.129) В дальнейшем ограничимся рассмотрением малых отклонении переменных от значений, при которых движение среды является установившимся. При этом, чтобы не вводить дополнительных символов, будем отклонения обозначать так же, как выше обозна. чены переменные, а установившиеся величины будем отмечать индексом «0», Тогда после подстановки уравнения (10.129) в уравнение (!0.127) получим ~ да 1 др 1 ~ д7" дх рдКТо д! ГоТО ! д1 — — .— + —.~ — дР. (10230) Рь При нулевых начальных условиях уравнение (10.130) в изобра.
жениях по Лапласу записывается в виде ~ЯТ ° Яр (3) + Т. 5ТсР (з), да(з) 1 1 р,РТ, О (10.131) где Т„'(з) — изображение средней по сечению температуры, опре- деляемое следующим образом: Т;, (з) = —, ! Т' (з) НР = —, 1 2пгТ' (з) г(г. (10.132) ро р! пг! д ь О Уравнения (9.6) и (9.7) в предположении постоянства коэффициентов й, и р, без учета коэффициента объемной вязкости рю при скоростях потока меньше скорости звука в среде позволяют найти [89) УТ' !дТ' 1 д7 1 др дг' г дг а . д! а рас д1 ' (10.133) где ат= иг7срр, (! 0,134) является коэффициентом температуропроводности.
В изображениях по Лапласу уравнение (10.133) приводится к уравнению Бесселя + — — „— — !Т'(з) — — р(з)~=0, (10.135) (! 0.136) Т' (з) ~„„= О. 244 которое так же, как и уравнение (9.38), имеет конечное решение с одной произвольной постоянной. Для определения этой произвольной постоянной должна быть задана температура среды у стенки линии. Если принять, что благодаря большой теплопроводиости температура стенки равна температуре окружающей среды и остается постоянной прп исследуемом процессе, то при г =- г, При граничном условии (1О.!36) решение уравнения (10.135) имеет вид го (В ~/ — ) ! т'о ( ) Р (5) Роор (10.! 37) уо (/го ф — ) Умножив данную зависимость на 2пЫг и выполнив интегрирование в пределах от 0 до го, найдем передаточную функцию 2%()го ~/ — ) 1+ г, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
