Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ер (в) (10.38) (10.39) Решение данной системы уравнений позволяет найти для выбранного сечения линии мгновенные отклонения от установившихся значений средних по сечению давления и скорости среды. Каждая из этих величин будет представлять собой сумму одноименных с ней величин, определяемых во фронте возмущения, распространяющегося по линии в прямом и в обратном направлениях. Мгновенные отклонения давления и скорости среды, а также скорость распространения возмущения по линии зависят от свойств среды, жесткости стенок и гидравлического сопротивления линии. Перечисленные факторы находят отражение в операторном коэффициенте распространения 1521 0(з) + $>т ив ~Роз+ " ~, (10 40) который является важной величиной, характеризующей динамические особенности линии с распределенными параметрами.
Знак в формуле (!0.40) принимается положительным, если возмущение распространяется в положительном направлении оси х. Для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х, берется знак «миную>. Операторный коэффициент распространения непосредственно связан с операторным волновым сопротивлением х,,(з), которое определяется отношением изображения по Лапласу давления к изображению скорости среды в волне возмущения, распространяющегося по линии только в одном направлении.
Зта связь имеет вид 0 (з) з2в (з)>>Втр. (10.41) При определении частотных характеристик линии в решение системы уравнений (10.38) — (10.39) производится подстановка з = = !е>. В этом случае коэффициент распространения принимает комплексную форму 0()ь>)=«(6+!е). (10.42) Входящие в это соотношение величины 6 и е называются соответственно коэффициентом затухания и коэффициентом фазы. Коэффициент затухания характеризует уменьшение по длине линии амплитуды давления или амплитуды скорости среды в волне возмущения, распространяющегося по линии с фазовой скоростью с, =р>,>е.
(10.43) На рис. !0.4 изображена затухающая по длине линии волна давления, распространяющегося в положительном направлении оси, и показаны значения величин 6 и е. 223 Для определения величин 6 и е подставим в соотношение (10.40) з = 1оз и одновременно примем, что К,. ()от) = а+/Ь. (10.44) В результате будем иметь 0()то) =Р'Ь +)Ьз 1 ! 2рм1 2асо где Ь1= — — (росе + — ): Ьз = —. Нтр то ' трите ' С учетом соотношения (10.42) можно записать 6+ )е = ~/ Ьх + )Ь„ откуда 6' — со =Ь,; 6'+ел=+ )ГЬто+Ьзо. Величины 6 и е найдем, решив эти два уравнения и затем подставив значения Ь, и Ь„после чего получим (10.45) (10.46) Формулы (10.45) и (10.46) показывают, что коэффициент затухания 6 и коэффициент фазы е зависят от частоты возникающих в линии колебаний, от параРР4) метров линии р„В,р, го и от величин а и Ь. Последние две величины являются ве/ / )т е-о', щественной и мнимой частями амплитудно-фазовой частот- О х ной характеристики (10.44) / х и могут быть определены по I соотношениям, приведенным «я=о~а=,-" в $ 9.6.
В рассмотренном случае 6 и е — положитель271ор тл' ные величины. При колебаниях ламииарного потока Рис. 10.4. Изменение давления вдоль ли- величины а и Ь находятся нии для двух олизких моментов времени по формуле (9.72), после пе- рехода в которой согласно соотношениям (9.50), (9.52) и (9.55) к размерным величинам имеем (10.47) 1 ~~т откуда а= —; Ь= — '( — — 1)оз. Ротоот, пото гдз 2я, ' 2 (йо 224 После подстановки этих значений а и 6 формулы (10.45) и (10.46) принимают вид (10.48) „т+!), (1О. 49) где еО ы )' рОЯтр' (10.50) где 7„,=~' Р,В,р — волновое сопротивление невязкой среды. Если, как это сделано в работе 182), гидравлическое сопротивление линии принимать квазистационарным и не учитывать неравномерность распределения скоростей, то следует полагать, что й, = lг, = ыг,'-',!8ч.
Вычисленные при таких значениях А, и а, коэффициенты затухания и фазы обозначим соответственно 6„, и е„. Отношения 6/6„, и е/е„показывают, как влияет нестационарность распределения местных скоростей по сечению потока на величины, характеризующие процессы распространения возмущений по линни. На'рис.
10.5 даны полученные по формулам (10.48) и (10.49) графики изменения 6)б„и ей„, в зависимости об безразмерной частоты ы. Из графиков видно, что использование при расчетах квазистацнонарных значений коэффициента сопротивления трения линии приводит к существенной ошибке в определении коэффициента затухания,' причем погрешность возрастает с увеличением безразмерной частоты и. Разница в значениях е и е„, получается значительно меньше, при я ) 1О можно принимать е = е„,. Для таких безразмерных частот численные значения величин й, и й, позволяют ограничиться первыми двумя членами разложения )/1-!- Щ в соотношениях (10.48) и (10.49) в степенной ряд.
Тогда можно упростить эти соотношения и записать их в виде 6 = е,!2 )/ Ф,, Аа; е= во г' азам (10.51) (10.52) в папов д н. Лля определения комплексного волнового сопротивления линии Л„Цы) подставим з = )ы в соотношение (10.41) и приргвняем полученное выражение к положительному значению комплексного коэффициента распространения (10.42). Исключив затем с помощью формул (10.48) и (! 0.49) величины 6 и а, после несложных алгебраических преобразований найдем бб Рис. 10.5. Сравнение па. раметров Ь и е Лля потоков с нестационарным и квазистационарным распределением местных ско. ростей по сечению трубы б,б б б б б бр и М бр и безразмерной частоты, и, следовательно, высокочастотные колебания должны затухать по длине линии интенсивнее, чем низкочастотные. При й1) 300 корректив х, можно вычислять по формулам (9.91) или (9.92), а корректив хр(1, начиная уже со значений бу = 10 и выше, становится близким к единице, поэтому для высоких безразмерных частот соотношение (10.53) можно заменить более прос- тым б г зоо= „~ юрот!2В,р.
1 (10.55) Для таких же безразмерных частот комплексное волновое сопротивление найдем, положив в соотношении (10. 50) йоши, = 1 и подставив в соответствии с формулой (9.83) значение й,. В результате получим г, ()Я) = г„~/ 1 — 1'Ъ. > зоо (10.56) После подстановки значения корректива х, согласно формуле (9.92) и перехода к размерной угловой частоте соотношение (10.56) 226 Подставив в формулу (10.51) значения е„ /гт и й„определяемые соотношениями (9.55), (9.83) и (9.84), получим (! 0.53) Таким же образом приведем соотноп.'ение (10.52) к виду а=в)б хрРРо/В,р. (10.54) Соотношение (10.53) указывает на увеличение коэффицента затухания с увеличением корректива х, и с уменьшением корректива хрр.
Такое изменение этих коррективов соответствует увеличению Ф йи г,б примет вид 2,()ы) = Е„1 1 — 1~' 2н(ы,'. (10.57) й>заз Заметим, что $' 2т)ыг!' всегда берется положительным, так как этой величиной определяется изменение положительного значения корректива к„. Соотношение (10.57) показывает, что вследствие действия вязкости рабочей среды волновое сопротивление является комплексной величиной.
С увеличением безразмерной частоты значение 2„ (/в) приближается к 2„„, соответствующему волновому сопротивлению без учета вязкости среды, что объясняется возрастающим влиянием на волновое сопротивление инерции среды. Из-за нестационарности распределения местных скоростей по сечению потока, сопровождающейся повьппенной диссппацией механической энергии, сближение этих величин происходит менее интенсивно, чем в предположении квазистационарного сопротивления трения.
В последнем легко убедиться, сравнив соотношение (10.57) с соотношением (10.50) после подстановки й, = й,, = ыг,-',!8т. Соотношения (10.55) и (10.57) применимы также для расчетов в случае турбулентного движения среды, если рассматриваются частоты, при которых нестационарность гидравлического сопротивления линии обусловлена главным образом процессами в вязком подслое. 1 РЗЛ1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ СОГЛЛСОЗАННОИ НАГРУЗКЕ Перейдем теперь к определению динамических характеристик однородной линии с распределенными параметрами. Воспользуемся системой уравнений (10.38) — (10.39). Продифференцировав уравнение (10.38) по х, исключив затем с помощью уравнения (10.39) производную по (з)Ых и применив соотношение (10.40), получим д 2 — О'(з) р(з) =О (10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
