Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 43
Текст из файла (страница 43)
58) Это уравнение имеет решение р(З, Х) = С,ЕЬО1" +СаŠ— ВВ>'. (10.59) р(з, х) =р,(з, 0); дп (з, х) Ь'(8) Вч, о„(з, 0 . дх в (10.50) (10.61) Постоянные интегрирования С, и С, определяются граничными условиями. Пусть при 'х = — 0 При граничных условиях (10.60) и (10.6!) получаем С ="(' 0) 0гвВ'" ° 0) С =-~'('0) + 0— "! В 0) 1= 2 2я ( ' ' 2 2з После подстановки этих зависимостей решение (10.59) записывается как р(з х) — щ ' (ев(вх+е — в(вк) ( ~Ро (з 0)(еэ(пх е в(ол) 2 25 или с введением гиперболических функций в виде р(я, х)=р,(я, 0)с)([б(з)х) — '"о,(я, 0)я)([д(з) х).
(10.62) Решив также систему уравнений (10.38) — (!0.39) относительно о (я, х), будем иметь о(я, х)=о,(я,0)с)([()(я)х) — 0( ' р,(з, 0)я)([д(я)х). (10.63) Примем длину линии равной ! и обозначим по Лапласу давления и скорости среды в концевом сечении линии (х = 1) соответственно р, (я, 1) и о, (я, 1).
Тогда при х = ! уравнения (10.62) и (! 0.63) примут вид ря(з, 1) =р,(я, О) с)([д(я)1)- — '~ о((я, 0)я)( [д(з) 1); (10.64) о.(я, 1)=о,(з, 0)с)([д(з)1) — 0( в р,(з, 0)я)([О(я) 1). (10.65) У реальных гидравлических и пневматических линий изменение площади поперечного сечения из-за деформации стенок обычно мало, что позволяет мгновенные значения объемного расхода среды находить в виде произведения мгновенной средней по сечению потока скорости и постоянной площади пг„' недеформированного сечения линии. С учетом этого допущения введем соотношения 2((я) = (! 0.66) пг„'о,(В 01 0((ь, О) ' ра(в О) р,(п О) ат(о,(в О) О,(в О) ' г;(я) =г,(я)( Функции 2, (з) и 2, (я), определяемые отношениями изображений по Лапласу давлений и расходов в концевых сечениях линии, по аналогии с принятыми в электротехнике терминами назовем концевыми операторными сопротивлениями (импедансами) Функция Е; (з), как показывает соотношение (!0.68), отличается от ранее примененного операторного волнового сопротивления только постоянным множителем.
В дальнейшем эту функцию будем называть операторным волновым сопротивлением линии. 228 Умножив уравнения (10.64) и (10.65) на пг,; и учтя соотношения (10.66) — (!0.68), найдем ай [т) (х) (!+ е ск [б (х) Ц 2; (х) г,(з)=г:()... ~, 00 БЬ [() (я) ()+с)т[в (я) (! г; (х) — сь [тг (х) ([ — еь [9 (а) (! хг (х) 2' (а) К,()= г;(з) сь [() (5) ! ! — 5)1 [б (х) ([ (10.69) (10.70) Если воздействие к линии прикладывается в сечении ! — ! (рис. 10.6), то ло (з) будет входным операторным сопротивлением, гг(л) ! Рис. )0.6.
Схема соединении сопротивлений гидравлической линии хд(г) гг(л) Рг йг г Р„аа а Лх (з) — операторным сопротивлением нагрузки (импедансом нагрузки). Когда к концу линии подключено устройство, при котором К,(.)=г;(з), (10.71) нагрузка называется согласованной. При согласованной нагрузке согласно соотношениям (10.69) и (10.71) Лт (з) = Л; (з).
(!0.72) 229 Данное равенство получается вследствие того, что на входе в линию независимо заданной может быть только одна величина: давление или расход среды, другая величина принимает то или иное значение в зависимости от входного сопротивления линии. При согласованной нагрузке от конца линии, не отражаются волны возмущений, распространяющихся по линии, так как подключенное устройство пропускает точно тот расход среды, который переносится прямой волной.
Вследствие этого на нагруженном конце линии не меняется скорость движения среды и, следовательно, не меняется давление в концевом сечении. Частотные характеристики линии с согласованной нагрузкой можно найти по передаточной функции, представляющей собой отношение изображений по Лапласу давлений в выходном и входном сечениях. Исключив из уравнений (10.64) и (10.65) величины о, (и, О), о, (з, !) и выполнив обычно применяемые при определении передаточных функций преобразования, получим Рх(5, 0 ! (10.73) Рт (а, 0) ле (а) -ь [() м)(! + сь [() (а) 0 Передаточну>о функцию (10.73) при сз (з) = 2,' (з) заменой гиперболических функций экспоненциальными можно привести к виду Рз(' 0 е-о(з>з (10.74) Рз (з, 0) При з = /о> передаточная функция (10.74) превращается в амплитудно-фазовую частотную характеристику линии, которую, 'У учитывая комплексную форму коэффициента распространения (10.42), представим в виде Рз (/Ы > е-(в+те>с р,(/, о> =е или с помощью соотношения (10.43) в виде 'аь ( — /ив ) = е-з'е 'з (10.75) р,(/ы, о> где //са — время распространения волны возмущения от входного до выходного сечения линии.
Если пренебречь вязкостью рабочей среды, то коэффициент затухания б обратится в нуль. Тогда амплитудно-фазовая частотная характеристика линии (10.75) будет такой же, как у звена чистого запаздывания. Эта характеристика изображается на комплексной плоскости в виде окружности единичного радиуса (рис.
10.7). Характеристика показывает, что давление в выходном сечении линии изменяется без искажения по амплитуде, но,имеет сдвиг фазы по отношению к давлению во входном сечении, равный тр, = о>//с,. (10.76) Рис НК7. Амплитудно-фазовые частотные характеристики линии без учета вяакости жидкости (кризая !> и с учетом вязкости жидкости (кри.
ная 2) (10.77) где ( п = — )' ч//2с„ та (10. 78) причем здесь с, = оз/еа. 230 Для исследования влияния вязкости среды на частотные характеристики линии с согласованной нагрузкой несколько преобразуем зависимость (10.75). Воспользовавшись соотношениями (10.55) и (10.7б), получим (10.79) 1 р ур ог! р) с, Примененное здесь соотношение (10.55) справедливо при б)) ) 300. Это условие можно с учетом формулы (9.55) и соотношения (10.76) записать также в виде Величина с,ге/8ч! является отношением времени га/8р релаксации завихреиности по сечению потока вязкой среды к времени распространения волны Дс, от одного сечения линии к другому. Условие (10.79) вы- б(ы) т полняется при достаточно Ф1 часто встречающихся параметрах.
Например, при с„= з = 1000 м!с, го — — 2 см, = 10 м, у = О,! смз/с в левой части неравенства (10.79) и! имеем 500 ср, Следовательно, неравенство будет выполняться, начиная со значений гр„ близких ! рад. бр Амплитудно-фазовая час- га тотная характеристика (10.77) линии с учетом вязкости рабочей среды имеет вид спирали, приближающейся к началу координат при грз — оо (рис. !0.7). На рис. !0.8 даны Рнс.
108. Логарифмические амплнтудные логарифмические амплитуд- (а) н Фазовые (б) частотные карактерн- стнкн линии (прн и = 1,!3 !О '): ные и фазовые частотные ха- à — с учетом еязкостя для нестацнонарного рантсристнхн Лннни, Поетрп. распрсделенн» местных скоростей; у — без бе чта у~с~а вязкостн; а — с учетам вязкости для енные безу е и с учетом вяз- квазнстацяонарнога распределения местных кости среды при нестационар- скоростей ном распределении местных скоростей по сечению потока. Там же показаны характеристики, полученные с учетом вязкости среды, но в предположении квази- стационарного сопротивления трения.
Для последних характеристик значение 6 находилось по формуле (10.53) при и, = ир() = 1. При этом в функции (10.77) переменная амплитуда е — н)' еа заменялась постоянной величиной, равной е """з'л. ! 10.7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫй!И ПАРАМЕТРАМИ ПРИ НЕСОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ Частотные характеристики линии с согласованной нагрузкой, как было выше показано, определяются только параметрами самой линии.
При несогласованной нагрузке на частотные характеристики вз! линии могут сушественно влиять концевые сопротивления (концевые импедансы). Амплитудно-фазовую частотную характеристику линии с несогласованной нагрузкой при известном комплексном сопротивлении Ла(уа) можно найти, подставив в передаточную функцию (10.73) з = уа и учтя соотношения (10.41), (10.42) и (10.68); в результате получим Ра(уаэ, 1) 1 Рд (Уод, 0) 7' (Уа) аь (6+ ун) 1+ си (6+ 1н) 1 ~д (1а) 2,'(уа)УЛР(Уа) = М+ уУУ, (10.83) где М Вар (Удара 61а Р" 1, (10. 84) (унан+ рн) Вар (Ирна+ Яанб) (10.85) вг!а ()й„-', +й-'н )' Заменив в амплитудно-фазовой ч дстотной характеристике (10.80) отношение Л; (уа)уЕР (уа) его комплексным значением (10.83) и применив формулу преобразовзния гиперболических и тригонометрических функций, получим Ра (1'а, 1) 2 р,(Уа, о) м,+161, ' (10.86) где М, =1(1+М) ем+(1 — М) е Рд! созе( — АУ (ем+ е-Рд) з!пв!; (10 87) А1д — — [(1+ М) ем — (1 — М) е Рд]зуп еУ+ АУ (ем — е-ад) соз аУ.
(10.88) Амплитудную А „, (а) и фазовую дрр р (а) частотные характеристики находим по зависимости (10.86) в обычном виде: Ар,р, (а) = 21) М",+ Ад;; ' (10.89) дрр,р, (а) = — агс!я (А',!М,). (10.90) 232 По аналогии с электрическими линиями представим комплексное сопротивление нагрузки в виде Ед (уа) = ут,а + ууд „, (10.8!) где ус„ и удар„ — соответственно активное н реактивное сопротивления нагрузки. Одновременно комплексное волновое сопротивление линии Я,' Ца) с помощью соотношений (10.41), (10.42) и (10.68), взятых при а = !а, определим как 2;(уа) = ',Р (в — Уб).
(10.82) Зависимости (10.81) и (10.82) позволяют отношение Е; (уа)/Уа(уа) привести к виду Величины М, и 61„входящие в амплитудную (10.89) и фазовую (10.90) частотные характеристики, являются, как показывают формулы (10.87) н (10.88), функциями частоты колебаний, параметров линии и нагрузки. При точном расчете частотных характеристик линии коэффициент затухания 6 линии следует находить с учетом нестационарности распределения местных скоростей по сечению потока. С этой целью удобно применять формулу (10.53), вычисляя корректив х, по формуле (9.90), а корректив хяр — по формуле (9.93). В связи с тем, что значение последнего корректива мало отличается от единицы, коэффициент фазы и, вычисленный по формуле (!0.54), обычно получается близким к е,. а го га оа аа оо аа го оа Р,ГЧ ОРРР1 о,е - гаа до -ма г,о - гаа г,г г,о г,о -Оаа бо -ООО а,о га га За аа ОО Оа га ба! гРР РаР, Рис.
!0.9, Амплитудная частотная ха- Рис. !О.!О. Фазовая частотная харакрактеристика линии с активным со. теристика линии с активным сопро- противлением нагрузки тивлением нагрузки Лля приближенных расчетов, когда не требуется знать точных значений амплитуд давлений, коэффициент затухания можно определять в предположении квазистационарного распределения местных скоростей по сечению потока (квазистационарной диссипации механической энергии). В этом случае также применяется формула (10.53), но коррективы х, и хр5 полагаются равными единице. Расчет частотных характеристик линии становится еще приближеннее, если не учитывается вязкость среды и принимается 6 =О.
В качестве примера на рис. 10.9 и !0.10 даны рассчитанные для указанных выше случаев амплитудная и фазовая частотные характеристики линии. Сплошными линиями показаны характеристики, полученные с учетом пестационарности распределения местных скоростей по сечению потока. Рассматривалась линия только с активной нагрузкой на конце, создаваемой дроссельной диафрагмой. ' Параметры линии и нагрузки, которые были приняты такими же, как при теоретических и экспериментальных исследованиях, описанных в работе 142), имели следующие значения: ! = 12,3 м; В,р —— гзз о м га за еа я ю м ва 4(гав е1 = — +пп; 2 п=О, 1, 2..., (10.91) Рис. 10.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
