Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Расчеты и эксперименты показывают, что в пристенном слое скорости изменяются синфазно с изменением градиента давления вдоль трубы, а в центральной части потока они отстают по фазе от градиента (36, 53]. Для примера на рис. 9.4 приведены графики распределения местных скоростей при нескольких фиксированных моментах времени. Расчет был выполнен для трубы с внутренним диаметром 40 мм, в которой 203 Сдвиг фаз колебаний т,„и и и отношение амплитуд этих величин в зависимости от безразмерной частоты я можно найти с помощью получаемой из уравнения (9.67) АФЧХ: (9.72) Из АФЧХ (9.72) обычным путем определяем амплитудную и фазовую частотные характеристики для касательного напряжения на стенке трубы: Бра 00' 00 и 70г 1 Я Б 4 Б Б 70970 70 70 40000070а7 Рис. 9.3.
Амплитудная и фазоаая частотные характеристики для касательного напряжения на стенке трубы й» Рис. 9А. Распределение скоростей по сечению трубы и, гоих ге порщнем создаются гармонические изменения расхода жидкости д)ИГ-10 около нулевого значения. На графики нанесены точки, полученные с осциллограмм, на которых с помощью электротермоанемометра записывались местные скорости в различных точках сечения трубы [53). Из графиков видно, что максимальные значения местные скорости имеют вблизи стенки. 1 9.7.
ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРУБЫ ПРИ ЛАМИНАРНОМ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ СРЕДЫ Изменение закона распределения местных скоростей по сечению сопровождается изменением диссипации механической энергии в неустановившемся потоке среды. При гармоническом законе изменения расхода жидкости в трубе потери механической энергии можно определить следующим образом. Пусть колебания расхода происходят около какого-нибудь постоянного значения, тогда Я...=Он+С (9.75) (Рг Рн)нгн (Р1 Рн)Н+ (Р1 Р2) ° (9.76) где Я„,„и (р, — р,)„гн — мгновенные значения расхода жидкости и перепада давления на участке трубы длиной 1; Я, и (р, — р,),— средний за период колебания расход жидкости и соответствующий ему перепад давления на том же участке трубы; Я и р, — р,— отнлонения от средних значений расхода и перепада давления.
Мощность, подводимая к потоку в рассматриваемый момент времени, находится как н=Я н(Р2 — Рн)н '7т Т ~ Ангн~(~ а (9.78) При колебаниях расхода с частотой а и амплитудой ао 1',1 = ~~~ю (9.79) Закон изменения р, — р, найдем, проинтегрировав уравнение (9.30) по х для участка трубы длиной 1.
В результате получим Рн=Р1 и + тНН нн 21 (9.80) ГЦ Тн где и = 1,г"/птн. (9.81) Величину отклонения касательного напряжения на стенке трубы т,н в уравнении (9.80) можно по уравнению (9.67) связать с о 205 а диссипацию энергии в потоке можно определить по средней за период Т колебания мощности А7т, равной т и оЫЙ. Переходя по соотношениям (9.50), (9.52) и (9.56) к размер- ным величинам, найдем то =и — о+(х р — 1) — —,.
4рт Рто а« о о 2 ао' (9.82) где приняты обозначения х,=а/й;, (9.83) и,8 =й,1й. (9.84) причем величины й, и ао определяются по формулам (9.65) и (9.66). Подставив значение т,„согласно уравнению (9.82) в уравнение (9.80), получим р,— р,=кррр1 — „+ и,— оо. Л«зро! (9.85) то С учетом соотношений (9.79) и (9.81) уравнение (9.85) можно записать также в виде 'о 8рояа, р,— роо и ~р1 о асов«т1+яо — о~ зтв1. (9.86) Сто оото Возвращаясь к зависимостям (9.75) и (9.76) и исключая из них Я и р, — р, с помощью формул (9.79) и (9.86), получим Я„„„=-Я,+аоз!пы1; (9.87) ао зр !ао (Р, — р,)„,„= (Р, — ро)о+ ярбр1 — о «> сов М+ко о з|п м1.
(9.88) о ато Подставив эти значения 1~„,„и (р, — р,) в формулу (9.77), получим М„„„, а затем, выполнив интегрирование согласно (9.78), будем иметь 4хорта$ 1 от= Ра(Р1 — Ро)о+ (9.89) оооо Если при гармоническом законе изменения расхода по времени сохранялся бы параболический закон распределения местных скоростей, то перепад давления, вызванный диссипацией энергии, определялся бы по формуле Пуазейля. В этом случае в уравнении (9.85) величина х, должна быть принята равной единице. Однако в действительности согласно соотношению (9.83) и графику, изображенному на рис.
9.2 для К„ = О, и, имеет значения больше единицы, когда ов ) 1. Следовательно, при гармоническом изменении расхода с безразмерными частотами больше единицы потери механической энергии возрастают по сравнению с потерями в квазистационарном потоке. Величина я, является коррективом, учитываю. щим увеличение гидравлического сопротивления трубы из-за нестационарности профиля местных скоростей. Применяя метод динамических аналогий 143), величину я, можно назвать коррективом активной составляющей полного сопротивления трубы (импеданса трубы).
Соответственно величина хрр, содержащаяся в коэффицн. енте уравнения (9.85), будет коррективом реактивной составляющей полного сопротивления трубы, обусловленной действием инерции среды. По формулам (9.65) и (9.83) находим в(4в — )~в) (2 )' в — !) (4в — 2 )~ в + 1) При и>10 х, ~ ()/я!2)+ 0,4. (9.90) При я ) 300 корректив х, с точностью не хуже 5% можно вы. числять по формуле х, )/Й/2, (9.91) которая для размерных величин имеет вид х, = (гр/4) ~/ в72~~. (9.92) Корректив хр1), начиная от значения 1,33 при малых в, с увеличением в асимптотически приближается к единице (см. рис.
9.2). Этот корректив вычисляется по формуле (9.84), которая при я ) 10 может быть заменена приближенной хр8 = 1+() 'в!2а). (9.93) Коррективы х, и хр5 позволяют проводить расчет колебаний среды в трубе с учетом нестационарности распределения местных скоростей, используя уравнения в той же форме, как они записываются в гидравлике в предположении квазистационарных значений коэффициентов количества движения и сопротивления трения. Для несжимаемой среды уравнение (9.85) можно, например, представить в виде (9.94) хр() р( — + х, Х„, — — = р1 — рв где Х„= 64/це„; 4 = 2г;, це„= о4/т — мгновенное число Рейнольдса, определяемое по отклонению средней по сечению скорости от установившегося значения.
При использовании уравнения (9.94) следует иметь в виду, что полученные выше формулы для коррективов х, и хрр справедливы при гармонических колебаниях потока. Для других законов движения рабочей среды в трубе уравнение (9.94) можно применять, если исследуемый закон раскладывается в ряд Фурье. Тогда для каждой гармонической составляющей закона по своему значению. угловой частоты вычисляются по приведенным выше формулам коррективы х, и хрр, а затем применяется уравнение (9.94) и вычисляются составляющие р, — р, нли о. Весь процесс получается в результате суммирования этих составляющих. й 9.8. ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОТОКА В ТРУБЕ Задача об изменении гадравлического сопротивления трубы при неустановившемся турбулентном движении жидкости является настолько сложной, что по.
пытки сколько-нибудь строгого ее решения до сих пор встречают непреодолимые трудности. Это связано в основном с неизвестностью законов, которым подчиняется турбулентность в неустановиашемся потоке. При ряде предположений оказываются возможными только приблихсенные оценки изменения гидравличе. ского сопротивления трубы. Одно из исходных предположений состоит в том, что характерное для исследуемого неустановившегося процесса время намного превосходит период турбулентных пульсаций. В этом случае могут использо. ваться уравнения Рейнольдса осредненного турбулентного движения жидкости.
При осесимметричном потоке с пренебрежимо малым изменением давления по радиусу сечения трубы уравнения Рейнольдса для движения несжимаемой жид. кости, записанные в цилиндрических координатах г и х, имеют вид [35] д(их) (дз (и ) 1 д (их) ) 1 д(г (ихиг)) ! д(р) д1 1, дгз г дг / г дг р дх В данном уравнении скобками ( ) отмечены осредненные по Рейнольдсу величины, причем вязкость жидкости предполагается постоянной. Величину р (и'и',) принято называть турбулентным напряжением. Эта величина по гипотезе Буссинеска [74[ может быть выражена как д(и ) р (и'и,') = — рт,— (9.98) где чз — вихревая или турбулентная вязкость. Используя соотношение (9.98), уравнение (9.95) приведем к виду д(и„) д'(и„) [дчз «+т.) д(и„) 1 д(р) В дальнейшем будем предполагать, что при малых отклонениях неизвестных от своих установившихся значений изменениями вихревой вязкости тз во времени можно пренебречь и считать ее только функцией радиуса сечения трубы.
Эта функция имеет несколько видов [80[. С точки зрения решения уравнения (9.97) целесообразно принять трехслойную модель турбулентного потока, разделив его на ядро, промежуточный слой и вязкий подслой [50). В промежуточный слой включим переходную область и область с наибольшим изменением вязкости по радиусу сечения трубы. В пределах вязкого подслоя вихревая вязкость пренебрежимо мала по сравнению с кинематической вязкостью т. В переходной области вихревая вязкость интенсивно нарастает в направлении оси трубы и уже на небольшом расстоянии от стенки становится значительно больше книематвческой вязкости. Это расстояние определяется как [80[ бг = Збч7и', а толщина бг вязкого подслоя получается равной 6г = йгт!и*, (9.98) где йр = 3 —; 5.
Величину и* а гидромеханике принято называть динамической скоростью, поскольку она выражается через величины, непосредственно связанные с движением жидкости. -Обычво динамическая скорость используется при определении толщины вязкого подслоя и толщины переходной области в установившемся осредненном турбулентном потоке. В этом случае ~* = )г гэ,,[р, (9.99) где тат — касательное напряжение иа стенке трубы в установившемся потоке. Подстановкой тот = (Л/8) Рвт соотношение (9.99) можно привести к виду ОО2 О О,/ О,у Од О;О ОЛ ОО О,т О,О ОР у тх =ч+т Граница ядра потока для проведенной выше кусочно-линейной аппроксимации закона распределения вихревой вязиости определяется значением г„ которое можно считать постоянным: гг = 0,8 го.
Границы промежуточного слоя образованы цилиндрическими поверхностями с радиусами г, и г,, причем г, = г, — би Исключив величину 6, с помощью соотношений (9.98) и (9.100), получим о (9.!05) го Кеч [г Л/2 В случае гидравлически гладких труб, для которых по формуле Блазиуса Л= 0,31бф Ке„, (9.104) и' = (Кегч/4го) )/ Л/2 (9. 100) где Кет — число Рейнольдса, вычисляемое по скорости установившегося потока. При неустановившемся осредненном по Рейнольдсу турбулентном потоке динамическая скорость и* будет переменной и в формуле (9.99) величина тгж должна быть заменена на тою При этом будет изменяться во времени и толщина вязкого подслоя, определяемого по формуле (9.98).
Если ограничиваться малыми отклонениями величин от их установившихся значений, то, принимая во внимание более слабое измененае и*, чем тов, можно в первом приближении толщину вязкого подслоя считать постоянной или линеаризовать эту зависимость. В ядре потока вихревая вязкость незначительно изменяется по радиусу сечения трубы и имеет существенно большие значения по сравнению с кинематической вязкостью. Аппроксимируя, как показано на рис. 9.5, дгоа закон распределения вихревой вязкости, приведенный в рабо- Ира те [80[, найдем для вихревой вязкости ч,„ ядра потока следующую зависимость: г / твв = йвви'го, (9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
