Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При ф=и (з)+ — д'„(з) 1 (9.39) уравнение (9.38) приводится к выражению ачг 1 ~ар а — + — — — — ф=О, Ф' г аг которое имеет одно решение, конечное при г = 0: "т'=С/ Ь)/ БЯ, (9.40) где /а — функция Бесселя первого рода, нулевого порядка; С— постоянная интегрирования. Подстановка решения (9.40) в уравнение (9.39) дает изображение по Лапласу местной скорости: и„(а) = С /о (/'г )/ з/т) — — У„(а), (9.41) а так,как скорость на стенке трубы вследствие прилипания среды равна нулю, то при г = ге (и (з)), „=О, и поэтому С/а Ь. Р'а/т) — — ' У.
(з) = О, откуда и'х (а) =рСа/о(/го )/з/т). (9.42) После подстановки полученного значения д'„(а) решение (9.41) принимает вид п.,(а) =С[/оЬ)'з/т) —./о(/та~ /т)) (9 43) Умножив решение (9.43) на 2пгг(г, найдем 2пги„(з) г/г = С [2пг./, (/г "г' а/т) г/г — 2пг,/Яга )~ з/т) дг[. (9.44) Проинтегрируем зависимость (9.44) по г в пределах от 0 до г,. Для ее левой части найдем ~ 2пги,(а) Ь =Я(а), о где Я (а) — изображение по Лапласу объемного расхода среды. Интегрирование правой части зависимости (9.44) выполним раздельно для первого и второго членов.
При этом с помощью новой переменной г=/г)/з/т интеграл от первого члена сначала приведем к табличному, а затем найдем 197 его обычным путем (31): Гн нн нн йпг(о(!гУз(т) йг= ~ г,)о(г)йг= г,! (г) ~ = (! У н7')' й (! р о/о)' о нн 2п !г1/это,(,()гуз),) ~ = 2 'н,! Ь 1/ — „,) (! 1' н!н) где ), — функция Бесселя первого рода, первого порядка. Интеграл от второго члена вычисляется непосредственно: нн ~ 2иго,)о (!го )и'а!ч) Нг = пгоуо (!го )! з(о) о Общий результат интегрирования зависимости (9.44) будет Я (а) = С вЂ”.— ' )о Ьо У'з!т) — пго)о (!го 3''зутф )! го!о Разделив эту зависимость на пго, получим о (з) = С(.
— (н(!'го ~' з/ч) — )о(!го )и з!о)~ (9 45) 1.!нн ~н!н Для определения величины С воспользуемся преобразованным по Лапласу при нулевых начальных условиях уравнением (9.30): 1 2 ао (э) и' н (а) тон (з) (9.46) Р Рн где т,н (з) — изображение по Лапласу касательного напряжения на стенке трубы. Подставив в уравнение (9.4б) значение У„.(з), согласно зависимости (9.42) найдем " (н) 2тон (н) 2о()но Уео) анан(!унМн!и) При этом значении С зависимость (9.45) приводится к виду ~)гМз!ч (о Ьо )Я~) — 9Уг(!го )"з(о)) тон (з) = Ргоз [)н Ьо Ф а!ч)1 о (а) или, после применения рекуррентных формул для функций Бесселя, к виду ! 'Р з/о ~ (н Ьо Р а)т)1 то» (з) = рз Рн Ьо )и з!т)1 о (з) (9 4т) где (н — функция Бесселя первого рода, второго порядка.
Определяя передаточную функцию 1Р', (а) для касательного напряжения на стенке как )" нн (з) тон (з))о (З) из уравнения (9.47) получаем (р 3 УР'г Ьо У7Я Передаточная функция (9.49) в наиболее общей форме характеризует касательное напряжение на стенке трубы при неустановившемся движении среды, так как эта функция не зависит от законов изменения во времени градиента давления вдоль оси трубы или средней по сечению скорости среды. (9.49) 1 9.6.
ЯАОАтельные нАпРяжения нА стенке И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТНЫХ СКОРОСТЕЙ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА В ТРУБЕ (9.50) и соответственно закон ее изменения запишем в виде п(1) =а-,з1пвг, (9.51) где а; — амплитуда безразмерной средней по сечению трубы скорости жидкости. Вследствие линейности уравнений, использованных при нахождении касательного напряжения на стенке трубы, установившиеся колебания его значения будут также гармоническими, но в общем случае сдвинутыми по фазе по отношению к закону (9.51). Введя безразмерное касательное напряжение тон = тоиге 82рт'" (9.52) имеем т,„=а; 61п(в1+~р;), (9.53) где а; — амплитуда безразмерного касательного напряжения на стенке трубы; ~р, — — сдвиг по фазе между величинами о и т,„. Используя соотношение з(п (вг+ <р;) = з(п в1 сов <р; + соз в1 6 1 и ~р;, закон (9.51) и то, что Яп(г(г' = аа в соз вг, Передаточная функция (9.49) позволяет определить зависимость касательного напряжения на стенке трубы от времени при заданном законе изменения средней по сечению трубы скорости о.
Для выяснения различия между действительным касательным напряжением на стенке трубы при неустановившемся потоке и его квазистационарным значением примем, что о изменяется по гармоническому закону. При этом с целью обобщения получаемых результатов будем рассматривать безразмерную скорость и = ого/8т приведем уравнение (9.53) к виду / ат а/ .— . 1нв т,„= — соз <р- [ р+ — з(п <р- —.
[а ~[ [ам тренг е Если ввести безразмерную частоту м = гоы/8т и безразмерное время 1= 8т//го, (9.54) (9.55) (9.56) то уравнение (9.54) можно записать полностью в безразмерной форме: /а- (9.57) ~а ~1 ~ав ~ ау / Величины (а,-/а;) соз ~р; и (а;/а„-) з[п ~р, являются соответственно вещественной и мнимой частями амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) (т,„/р) (/в), для нахождения которой передаточную функцию (9.49) сначала умножим на г,/4рт с тем, чтобы получить отношение изображений безразмерного касательного напряжения т,„(з) на стенке трубы и безразмерной средней по сечению скорости и (з).
Затем в зту передаточную функцию подставим з = /а и заменим по формуле (9.55) частоту в ее безразмерным значением. После таких преобразований найдем К, -—, (/и) = Ц)// ./~ (Ц )7)/4/з (Ц 3~7) (9.58) где )Р';а (/а) — АФЧХ для безразмерного касательного напряжения на стенке трубы; ~ = 2 ) '2я. (9.59) Если вместо функций Бесселя использовать функции Томсона, учитывая, что [31) /„(ь/)l /) = — Ьег„ь+/Ье1„ь, то амплитудно-фазовая частотная характеристика (9.58) примет вид (. ) Уг'/ (Ьег,ь+/Ьмзь) (9,60) Я З 4 (Ьег~ ~+/ Ье!, Ь) где Ьег„Ьег„Ье1, и Ье[, — функции Томсона, которые при заданном значении ь могут быть вычислены по специальным таблицам [41).
Выделив вещественную и мнимую части АФЧХ (9.60), получим а>«е [ [р-, -„()а)] = —,' соз гр; = й= !г в [Ьег, Ь(Ье!,Ь вЂ” Ьег, Ь) — Ье1,«(Ье!,«+ Ьег, Ь)! 2 (Ьег', ь+ Ьей 5) (9. !) 9.61 а [ш [ [р; -„([й)] = — ' згп гр; = в [Ьегг>(Ье1>'>+Ъег,>)+Ьей>(Ье1>'> — Ьег»)! 9 62 2 (Ьег', К+ Ье! ! «) Несмотря на то, что функции Томсона затабулированы, расчеты по формулам (9.6!) и (9.62) приводят к достаточно громоздким вычислениям. Эти расчеты можно упростить, если в предположении больших значений 9 разложить функции Бесселя, содержащиеся в АФЧХ (9.58), в асимптотические ряды, применив формулу [3[1 е" [ 4а> — 1 (4а' — 1) (4а> — 3') г' 2г««[ 118гг . 21 (а«)> Учитывая, что в данном случае к=ь)/!', и удерживая в рассматриваемом ряду только три первых члена с округлением козф- 1 фициентов при гг и — до ближайших четных значений, можно найти приближенное выражение АФЧХ (9.58), для которой Ке [[р,— - ([гв)] = — ",; [ш [[(7; -„(['(з)] вв (з [ — * — ! ), 1~1 (9.64) где (9.6б) 4в [, в 4в (2 )гв — 1) ,4в — )г в (9.66) При вещественной и мнимой частях АФЧХ К;В (!гь), определяемых формулами (9.63) и (9.64), уравнение (9.57) принимает вид (9.67) Вещественные и мнимые части АФЧХ [[г;ь ()а)), вычисленные по формулам (9.63) — (9.66) при св = [, отличаются не более чем на 5% от своих точных значений.
При в ) 2 это отличие приближается к нулю. Таким образом, «большими> в данном случае можно счи- тать безразмерные частоты, начиная с и = 1, и соответственно при менять уравнение (9.67). Для сравнения нестационарных и нвазистационарных касательных напряжений на стенке трубы найдем по формулам (9.36), (9.60) и (9.52) зависимость для безразмерного значения так, в виде сакс (9.68) Разделив уравнение (9.67) на уравнение (9.68), получим (9.69) где !со Гено К с О Ос*: зно сц (9.70) Параметр Кн показывает, насколько в рассматриваемый момент времени инерционный перепад давления на участке трубы, вычисленный в предположении равномерного распределения скоростей по сечению, превосходит потери давления, определяемые для того же участка по квазистационарному коэффициенту сопротивления трения.
Таким образом, параметр Кн характеризует в указанном здесь смысле проявление нестационарности потока в каждый момент времени, а введенная выше безразмерная частота я характеризует весь процесс неустановившегося движения среды в трубе при гармоническом законе изменения расхода. Отношение т,н/т,„, характеризует изменение нестационарного касательного напряжения на стенке трубы по сравнению с квази- стационарным значением. Если касательное напряжение на стенке трубы связать посредством коэффициента поверхностного трения с/ с квадратом средней по сечению скорости, используя формулу тс с/ро'/2, то можно найти ~нн/тнкс — С/н/С/ксс (9.71) 202 где с/н — коэффициент поверхностного трения при неустановившемся движении среды; с/„, — квазистационарный коэффициент поверхностного трения.
.Графики на рис. 9.2, построенные по уравнению (9.69), показывают, что при Кн = 0 отношение (9.71) близко к единице, пока а ( !. Для я ) ! даже при Кн = 0 отношение (9.71) становится больше единицы и возрастает с увеличением в. Это говорит о том, что касательные напряжения на стенке трубы при неустановившемся движении среды могут превосходить свои квазистационарные значения даже в те моменты времени, когда Но/О(1 = О.
Отношение (9.7!) увеличивается также с увеличением параметра Кн, что объясняется изменением касательного напряжения т„ с опережением по фазе по сравнению с изменением о. А; 9(я) = )' ~„+( — ' — 1) сзз; ср; 9 (и) = агс1д А, ~ — ' — 1). /кз (9.73) (9.74) Амплитудная (9.73) и фазовая (9.74) частотные характеристики даны на рис. 9.3. с,к/свми„.
«ад е к„=м Л см и см ,г «„=н е каем г к„=т ,В=/Л Х З 4ЗК7ВКМ г Ю 4 ЮК7Нт' 2 т «Катзм Рис. 9.2. Изменение сГа/сдас в зависимости от е и Ка Рассмотренные особенности в изменениях касательного напряжения на стенке трубы при гармоническом колебании потока вызваны, как отмечалось выше, нарушением параболического закона распределения местных скоростей по сечению трубы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
