Bessonov1 (1063915), страница 47
Текст из файла (страница 47)
260 Прежде чем перейти к изучению основ второго метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — операторного метода, вспомним некоторые известные положения. ~ 8.2Я. Логарифм как изображение числа. Известно, что для выполнения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из многозначных чисел целесообразно пользоваться лога рифм а м и. Действительно, операция умножения сводится к сложению логарифмов, операция деления — к вычитанию логарифмов и т.
д. Таким образом, произвести расчет легче в силу того, что сравнительно сложная операция сводится к более простой. Каждому числу соответствует свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображение числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) при основании 10 числа 2. ф 8.30. Комплексные изображения синусоидальных функций.
С понятием изображения встречаются также при изучении символического метода расчета цепей синусоидального тока. Согласно символическому методу, комплексная амплитуда есть изображение синусоидальной функции. Так,1 — изображение синусоидального тока 7 яп (а 1+ ф). Между изображением числа в виде логарифма и изображением синусоидальной функции времени в виде комплексного числа имеется существенная разница.
В первом случае речь идет об изображении числа (не функции), во втором — об изображении функции времени. Подобно тому как введение логарифмов упростило проведение операций над числами, введение комплексных изображений синусоидальных функций времени позволило упростить операции над функциями времени (свести операции расчета цепей синусоидального тока к операциям, изученным в гл. 2). 5 8.31. Введение в операторный метод.
Операторный метод тоже основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответстфет функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наоборот — функции переменной р отвечает определенная функция ,в'рем е ни. Переход от функции времени к функции р осуществляют с помьощью преобразования (прямого) Лапласа.
Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лапласа. Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования — к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений. 261 (8.25) Соответствие между функциями г(р) и Д1) записывают так: (8.26) Р(р) = 1Я.
Знак «=» называют знаком соответствия. Верхний предел интеграла (8.25) равен бесконечности. Интегралы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки пределов получают конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится. В курсе математики доказывается, что интеграл (8.25), в состав которого входит функция е ~'= е 'е ~"', сходится только в том случае, когда модуль функции Д1), если и увеличивается с ростом 1, то все же медленнее, чем модуль функции е~', равный е".
Практически все функции Д~), с которыми имеют дело в курсе ТОЭ, этому условию удовлетворяют. Составим изображения некоторых простейших функций. ф 8.33. Изображение постоянной. Требуется найти изображение функции Д~) = А, где А — постоянная величина. С этой целью, в (8.25) вместо ~(1) подставим А и проведем интегрирование: 1, Ае ~' А Р(р) =~А е "д8 = А — — ~ д(е ~) —— о о Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, де ленной на р: (8.27) А ='А~р. ф 8.32. Преобразование Лапласа. Условимся под р понимать комплексное число Р=а+ )Ь, (8.24) где а — действительная, а уЬ вЂ” мнимая части комплексного числа (в ряде книг вместо буквы р пишут а). В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой ко эффициент Ь с учетом знака условимся называть не коэффициен том при мнимой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой частью.
Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд) обозначают Д1) и называют оригиналом. Ей соответствует функция Р(р), называемая изображением, которая определяется следующим образом: ~ 8.34. Изображение показательной функции е"'. Вместо Д1) в (825) подставим е '. 1 ~~~$ ~ — р1~~ ~ ~ — 1 (Р— а),п р — В о о ! х~е '~р ")с1~ — ~(р — а)1= — е "~р ') ~ = — — (Π— ))= —. о р — а о р — 6, р — а Таким образом, (8.28) Ы 6 р — а (8.29) е~"' = 1/( р — по) . Формула (8.29) дает возможность найти изображение комплекса синусоидального тока: Х е~М+ М = Х е~"~ С этой целью обе части (8.29) умножим на постоянное число 1: уь| (8.3О) '-Р-10» Аналогично, изображение комплекса синусоидального напря- жения (8.3! ) рте! .=Ут —..
м Р— 1~' Функции е "соответствует изображение 1/(р+ а). е — а1 ' ]/(р + о) (8.32) 58.35. Изображение первой производной. Известно, что функции Д1) соответствует изображение Р(р). Требуется найти изображение первой производной Щ1) /Й, если известно, что значение Функции Д1) при 1 = О равно ДО). Подвергнем функцию Щ1) /М преобразованию Лапласа. ~ — е Р' си =~е Р~ д[~(~)) чй Л о о ( При выводе формулы (8.28) (при подстановке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р больше, чем а, т. е. а ~а. Только при этом условии интеграл сходится.
Из формулы (8.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней а =~со, получим Следовательно, изображение второй производной тока ~ ~~ С вЂ” =' Р'~ (Р) — РУ-(О) — г (О) . й' ф 8.38. Изображение интеграла, Требуется найти изображение фуикции ~ У (У) д г, если известно, зто изображение функции ф) разово но Г(Р). подвергнем фуикцию ~ с сУ) дг преобразоваиию лапласа: о 1 р — уу й Р„ 1Г(г) й 1(е "'). о Примем~~(Х) АХ =и; с)(е Р') =до и возьмем интеграл почастям: о с У'1+ о 1 ,1 (.— УУ) Р $У(1) й ~~(~) й о ~)'(~) е " й О Р (Р) 1 ис —— ис(О) + —.а и1с, с~ *о Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и нижнего пределов обращается в нуль.
При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию Д1)(см. ~ 8.32) функция ~(1), если и растет с увеличени'ем 1, то все же медленнее, чем растет функция е"', где а — действительная часть р. При подстановке нижнего предела нуль получим за счет обращения в нуль~ ~ (1) Ж . Следовательно, если ~(У) = Г(р), то (8.36) т )г'(О дс.=у (р'гlр () ф 8.39.
Изображение напряжения на конденсаторе. Напряжение 1 г. на конденсаторе и, часто записывакл в виде и = —,~пй, где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следувщая запись: где учтено, что к моменту времени 1 напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекшим через него в интервале времени от О до 1, но и тем напряжением и (О), которое на нем было 1г при ~ = О. В соответствии с формулой (8.36) изображение — ~!б! с1 о равно У(р)/Ср, а изображение постоянной и (О) есть постоянная деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают следующим образом: .1(р) "с( ) И + Ср р (8.37) Приведем простейшие операторные соотношения; часть их бы ла выведена ранее, другая дается без вывода: 1) а1. р — И 1 2) — =е аг р+а' а 4) е — а1 .
р(р+ а) ' ! 5) =!е (р+ а) 17) р — а 1 ! 18) 2 2. -з!и аг; 2+ а2 ° а ! Для сокращения записи вместо иДО ) пишем иДО); иДО) может быть и положительной, и отрицательной величиной. В формуле(8.37) ис(О) считают положитель ной величиной, если направление иДО) совпадает с произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока через конденсатор. 6) — — = (1 — ~1) (р+ а) — а1 7) = — !! — е "~ (1 + а!)1; р(р+ а) а — а! 8) — — + Р2(р + ~) 1 9) Р ' (ае — а1 Ье — ь~)- (р+а) (р+Ь) а — Ь вЂ” ы 1О) (р+а) (р+Ь) ' а — Ь (е — и е — ~) ! 1 1 !!) р(р+ а)(р+ Ь) ' а Ь Ь вЂ” а — + — х х( — ', — — '"): 1 12) — = 1; Р с"-' 13) — =' (и — 1) ! 14) .
=!(1 — — ) е Р а! (Р+ а)з 15) = !" !е ас ! (Р + а)" (и — 1)! 1 .1 16) = — з!т а1; р2 — а2 а Теорема доказывается следующим образом: — — а1 ! е р~ ~(аг) Ж = — (е,„("б ~ (п~) д(ат) = — г ( — ) . пз и а о о 4. Нахождение начального значения функции времени ~(О+) ао изображению функции Г(р) ~ (О+) =1ип рЕ ( р) . и — ~ Оэ Это соотношение получают, если в (8.33) р устремим к бесконечности.
При этом левая часть (8.33) равна нулю. 5. Нахождение установившегося значения функции времени ~ (оо) по изображению функции Р(р). 1" ( о) =1ип рР(р). + 0 Соотношение получим, если в (8.33) р устремим к нулю и учтем, что е " = 1 . В результате имеем 1ЙД~) =~ (а ) — ~ (О) =!1т рг(р) — ~~О), о р о или 1(О =1 р~(р) . г - р о Если искомая функция ~(~) в послекоммутационном режиме содержит в своем составе периодическую составляющую (принужденную или свободную), то понятие ~(оо) для нее оказывается неопределенным. Например, не имеет определенного смысла функция ып ь| при 1 = со.
В соответствии с этим к цепям с синусоидальными источниками исследует применить предельное соотношение п.5. Точно так же не следует пользоваться им для цепей без синусоидальных источников, если эти цепи чисто реактивные и не содержат резисторов. Так, при подключении последовательно соединенных ~ и С(при нулевых начальных условиях) к единичному напряжению!(~) по цепи протекает свободная составлявшая тока, численно равная ~С/Е в1п ~~.с~ В этом случае определять ~ (оо) как 1пп рГ(р) также не имеет смысла. р-'о 6. Дифференцирование в области изображений Если Цр) = 1~(р) . ='~(1), то — = 1~ (1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
