Bessonov1 (1063915), страница 44
Текст из файла (страница 44)
8.13 в результате сложения принужденного У созе| и свободного — У е ~' созь| колебаний: У, = У (1 — е ~') созе|. Амплитуда результирующего колебания нарастает по экспоненциальному закону. При наличии конденсатора (конденсаторов) в схеме могут возникать большие начальные броски токов, в несколько раз превышающие амплитуды тока установившегося режима. Так, в схеме рис. 8.И при нулевых начальных условиях в первый момент после замыкания ключа напряжение на конденсаторах равно нулю и ток в неразветвленной части цепи равен 0 81пф/Й,. Если ~ =90', то в Рис.
8.12 244 Рис. 8.13 Рис. 8.14 первый момент после замыкания ключа ток равен У /Й,. При размыкании ключа в индуктивных цепях возникают опасные увеличения напряжения на отдельных участках (см. $ 8.24). $ 8.23. Переходные процессы, сопровождающиеся электрической искрой (,дугой). Если переходный процесс вызывается размыканием ключа в электрической цепи, содержащей индуктивные катушки, то между его расходящимися контактами при определенных условиях может возникнуть электрическая искра (дуга).
При этом расчет переходного процесса усложняется и, строго говоря, не может проводиться методами, изучаемыми в данной главе. Объясняется это тем, что сопротивление электрической искры является нелинейной функцией протекающего через нее тока. В этом случае, если известна ВАХ дуги, для расчета переходных процессов могут применяться методы, излагаемые в гл. 16. Попытаемся выяснить, можно ли ожидать возникновения электрической искры при размыкании ключа в схеме рис. 8.15. До размыкания ключа в цепи был установившийся режим: Е 2Е .
Ф~ ) Е 1(0 )= — ю(0 )=— й + 0,5Р ЗР' 2 Зд.' Допустим, что при размыкании ключа искра не возникает. При этом ток ц почти мгновенно уменьшается до нуля, а г(О+) должен равняться гЯ01 ). Но каждый из токов (й и 6) по первому закону коммутации не может измениться скачком. Следовательно, между достаточно медленно расходя|цимися контактами ключа при определенных условиях можно ожидать возникновения электрической искры.
Расчет переходного процесса в схеме на рис.8.15 дан в э 8.28. $8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием ветвей в цепях, содержащих индуктивные катушки. При размыкаиии ключей в электрических цепях, содержащих катушки с большой Рис. 8.16 Рис. 8.15 индуктивностью, на отдельных участках могут возникать напряже ния, во много раз превышающие установившиеся. Напряжения, превышающие установившиеся, называют перенапряжениями. Они могут оказаться настолько значительными, что при определенных условиях вызовут пробой изоляции и выход из строя измерительной аппаратуры. Пример 79.
К зажимам индуктивной катушки с й = 100 Ом; Е = 10 Гн подключен вольтметр (рис. 8.16). Сопротивление вольтметра Яг = 3000 Ом; Е =!00 В. Найти приближенное значение напряжения на зажимах вольтметра при ! =О+ если допустить, что размыкание ключа произойдет мгновенно и искры не возникнет Р е ш е н и е. До размыкания ключа через Е протекает ток ! = Е/й = 1 А В индуктивной катушке быЛа запасена магнитная энергия Е! /2. Если допустить, что .2 размыкание ключа произошло мгновенно и искры не появилось, и учесть, что ток через Е должен оставаться равным 1 А, то по замкнутому контуру, составленному вольтметром и катушкой, за счет запаса энергии магнитного поля индуктивной катушки в первое мгновение будет протекать ток в 1 А. При этом на вольтметре возникнет пик напряжения 3 кВ, Прохождение большого импульса тока через вольтметр может вызвать перегорание катушки прибора и выход его из строя.
При размыкании ключа с конечной скоростью между его расходящимися контактами возникнет электрическая искра. Это приведет к тому, что увеличение напряжения на вольтметре будет меньше, чем в только что рассмотренном идеализированном случае, когда ключ размыкался мгновенно без искры. При более детальном рассмотрении процесса необходимо еще учесть влияние межвнтковых емкостей и емкостей на землю (см. $11.1). Если не учитывать возникновение искры, распределенные емкости и индуктивности, то приведенный расчет является грубым и носит иллюстрированный характер.
Чтобы не «сжечь» вольтметр в цепи рис. 8.1б, сначала следует отключить вольтметр, а затем разомкнуть ключ. Перенапряжения проявляются тем сильнее, чем больше индуктивность в цепях. Особенно опасны они в цепях постоянного тока, содержащих индуктнвности порядка единиц и десятков генри. В таких цепях при отключениях соблюдают специальные меры предосторожности (ключ размыкают после введения дополнительных резисторов в цепь).
$8.25. Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных процессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций: 1) выбора положительных направлений токов в ветвях цепи; 2) определения значений токов и напряжений непосредственно до коммутации; 3) составления характеристического уравнения и нахождения его корней; 4) получения выражения для искомых токов и напряжений как функции времени. Широко распространенными методами расчета переходных процессов являются: 1) метод, называемый в литературе классическим; 2) операторный метод; 3) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля.
Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета) являются обязательными. Для всех методов первые три операции совершают одинаково и их нужно рассматривать как общую для всех методов часть расчета. Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее трудоемком этапе расчета. Чаще используют классический и операторный методы, реже— метод расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каждого из них(см. ~ 8.56). В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электронике, автоматике и в технике, связанной с теорией информации, кроме этих трех методов применяют метод анализа переходных процессов, основывающийся на интеграле Фурье.
(Об интеграле Фурье и спектральном методе, основывающемся на интеграле Фурье, см. гл. 9.) Для исследования характера переходного процесса, описываемого уравнениями высоких порядков, используют моделирующие установки, а также метод пространства состояний (см. 5 8.66). ф 8.26. Определение классического метода расчета переходных процессов. Классическим методом расчета переходных процессов называют метод, в котором решение дифференциального уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих. Определение постоянных интегрирования, входящих в выражение для свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых при ~ = О+.
$8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе. Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корней характеристического уравнения. При двух действительных неравных корнях ~,„= А ер1'+ А ер~', 1 2 при трех действительных неравных корнях ю,„= А,еМ+ А е~~'+ А ерз'. Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов ком"утации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при ~ = О+, обозначим его ~„(О+); 2) числовое значение первой, а если "онадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых пРи ~ = О+. Числовое значение первой производной от свободного тока при 1 = О„обозначим «,„'(О+); второй — ~,.„"(О ) и т.д. Рассмотрим методику определения постоянных интегрирова- 247 ния А,, А, ..., полагая известными ~,.(О+), ~„'(О+), г,„"(О+) и значения корней р,, р,, ....
Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то ~„=Ае"'. Постоянную интегрирова ния А определяют по значению свободного тока г,,(0+): А =г,„(0„). (8.15) Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то ~,„= А,е'1' + А2е1."2'. (8.16) ! Продифференцируем это уравнение по времени: р А е1'11+ р А е1'21. (8.16а) Запишем уравнения (8.16) и (8.16а) при 1 = 0(учтем, что при 1 = =О е11' = еР21 = 1).В результате получим ~;,(О ) =А, +А,; (8.17) ~св (0-1-) Р1~11 + Р2А12' (8.17а) В этой системе уравнений известными являются г,„(0+), ~,,'(О+), р, и р,; неизвестными — А, и А,.
Совместное решение (8.1?) и (8.17а) дает 1„,'(О+) — Р21„(О+) Р1 Р2 А = 1;„(О+) — А,. (8.17б) Угловая частота ь, и коэффициент затухания б известны из решения характеристического уравнения. Определение двух неизвестных А и ~ производят и в этом случае по значениям 1„(0+) и 1,,' (О+). Продифференцировав по времени уравнение (8.18), получим г,.„' = — Абе ®'з1п(ь ~ + ~) + Ав„е 6'сов(11ф + ~). (8.18а) Запишем уравнение (8.18а) при 1 = О+. ~„'(О+) = — АМ1п~+Аь0созч.
248 Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (8.16) сопряжены не только р, и р, (р, = — б -~-уь ), но и А, и А2, Поэтому свободный ток ~;„= Ае-6181п(шо~ -1- ~) (8.18) Таким образом, для нахождения неизвестных А и т имеем два уравнения. (8.19) ~св(0+) = Аз~п'ч' 1„'(О+) = — Абз1пт + Ааосоз ч. Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток 1,„=А,ер~'+А,ер2'+А е'з'. (8.20) Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8.20): 1- =Р1А1е~~ +РзА2ерз +РзАзе~з', (8.21) 1 "=РзА,е"~'+ р~зА ерш~ 1 Р2А ерз'. (8 22) Запишем (8.20) — (8.22) при ~ = 0: ~;„(О+)=А, +А,+А,; (О+) Р1Ач + РФз+ РзАз* 1, "(О+) = р~~А1 + р~~А + р2А (8.23) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
