Bessonov1 (1063915), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ф 8.12. Составление характеристического уравнения системы. Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных токов. Положим, что р известно (в действительности оно пока не найдено и будет определено в дальнейшем) и решим систему (8.8) относительно 11„„12„и г„,,: ~1св 1-1! Ф~ ~2св ~2 Ф~ ~Зсв ~3 Й~ Следовательно, производную от свободного тока можно заменить на рг„, а свободное напряжение на индуктивном элементе, 61„ ~ —" — на ~р1„. Найдем интеграл от свободного тока: :\ „де д — определитель системы. В рассмотренном примере 1 — 1 — 1 7.
р+я1 я2 о о я2 — 1 /(ср) Определитель Ь1 получим из выражения для определителя ь путем замены первого столбца правой частью уравнений (8.8): Π— 1 о я, о о й, — 1у(ср) Д1= (8.9) Таким образом, определитель Л алгебраизированной системы уравнений должен равняться нулю. Уравнение Л =О называют характеристическим уравнением. Единственным неизвестным в нем является р. Пример 75. Используя уравнение (8.9), составить характеристическое уравнение для схемы рис. 8.4, а и найти его корни. Решение: ад 2 Р 1+ 1 С 2( ' ' Гр или Р г1 2т-1С+РЯ1т1 2С+ ~-1)+ а'1+'д 2 — о.
РС Если дробь равна пулю, то равен нулю ее числитель. След нательно, С+р ф к С+1 ) + 1~ +к (8.10) КОРни квадратного уравнения — 1 Я, и,о.Н., 1дфн,и то.уе,1 — а1и гк а,1дед, с 2Я2Е1С (8.11) Определитель Ь2 получим из выражения для Л путем замены второго столбца правой частью системы (8.8) и т. д.
Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в каждом определителе л„д2 и лз один из столбцов будет состоять из нулей. Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из нулей, то этот определитель равен нулю. Следовательно, д, =О; д, =0; да=О. Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выполнены законы коммутации. Однако из предыдущего следует, что 1„,=0/Л; ~„.=О~А; 1д,.— О~А. Свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, когда определитель системы В начале 5 8.11 говорилось о том, что решение для свободног~ тока берется в виде Ае".
Если характеристическое уравнение имее~ не один корень, а несколько, например п, то для каждого свободного и тока (напряжения) нужно взять )' А„еМ. Пример 76. Найти корни характеристического уравнения схемы рис. 8.4, а ори. 1) С=1 мкФ; 2) С=10 мкФ; 3) С=100 мкФ; й! — — Рр — — 100 Ом; Е! — — 1 Гн.
Р е ш е н и е: 1) При С=1 мкФ й!М С+7.! —— 100 100.10 6+1=1,01. Цй!+Нр)К23 )С=4 200 ° !00- !0~=0,08; 2й~ф,С=2 ° !00 10~=2 10 — 1,0!'~ф,О! — 0,08 р ~ —, р = — 250с ',р2 — — — 9850с !Π— 4 ' ! 2) При С=10 мкФ р~ — =230 с ', р~ — 870 с 3) При С=100 мкФ р! — =100+ !001; р2 — — — 100 — 100) ф 8.13.
Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе. Характеристическое уравнение для определения р часто составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в предыдущем параграфе. С этой целью составляют выражение входного сопротивления двухполюсника на переменном токе!обозначим его 2(уь)], заменяют в нем уь на р1получают Я(р)~ и приравнивают 2(р) нулю. Уравнение Х(р)=О совпадает с характеристическим. Такой способ составления характеристического уравнения предполагает, что в схеме отсутствуют магнитно-связанные ветви.
Если же магнитная связь между ветвями имеется, то предварительно следует осуществить развязывание магнитно-связанных ветвей (см. ф 3.41). Поясним сказанное. Как отмечалось в ~2.15, если для некоторой цепи на постоянном токе составить систему уравнений по методу контурных токов, то входная проводимость относительно и-ветви д = Ь / Ь, а входное сопротивление Й = Л / Л . Для режима синусоидального тока входное сопротивление к„„ ~(! ) ~ (!ы) Комплексное число р=а+уЬ в соответствии с $ 8.41 представим в виде р = у(Ь вЂ” 1а) = уИ, где й — комплексная угловая частота. Сопротивление У(р) — это сопротивление цепи на ком плексной частоте; 2((ь) — это частный случай Х(р), когда И = со.
Имея это в виду, запишем где Ь(р) — определитель системы уравнений, составленных по методу контурных токов. Таким образом, уравнение Я„„(р) = О имеет те же корни, что и уравнение Л(р) = О. При составлении У(р) следует учитывать внутреннее сопротивление источника питания. Характеристическое уравнение можно составить так же, взяв за основу не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов. В атом случае следует приравнять нулю определитель матрицы узловых проводимостей, полагая при составлении матрицы один из узлов схемы заземленным.
Пример 77. Для схемы рис. 8.4, а составить характеристическое уравнение. р е ш е н н е. Входное сопротивление относнтельнозажимов аЬ при переменном токе 1 Ф~— 2 усос ~аь(1ы) 1ы7 !+~!+ И+в 2 уюс Заменим в нем /ь! на р н приравняем его нулю; 1 й— 2 рс ~аь(р) = р7.!+1~!+ 1~ +— рс Отсюда р'7.!ск,+р(7.!+ к Р,с)+к!+к, О 1+я,Ср или (8.10а ) р'~.,ск,+р(7,+к р,с)+р,+к,) = о. 237 Уравнение (8.10а) совпадает с уравнением (8.10), составленным иным путем, и получено оно путем использования выражения для входного сопротивления первой ветви схемы рис.
8.4, а относительно зажимов аЬ. Точно такое же уравнение можно . получить, если записать выражение для входного сопротивления любой другой ветви. Следует иметь в виду, что во избежание потери корня (корней) нельзя сокращать Л(р) и Л!(р) на общий множитель, если он имеется. Однако на общий множитель р сокращать Л(р) и А (р), как правило, возможно, но не всегда. Сокращение на р допустимо для схем, в которых исследуемая величина из физических соображений ие может содержать незатухающую свободную составляющую. Если же исследуемая величина в рассматриваемой схеме может иметь незатухающую свободную составляющую, то сокращать числитель и знаменатель Х(р) на р (терять корень р=О) нельзя.
Для иллюстрации недопустимости сокращения на р рассмотрим два примера. В послекоммутационной схеме рис. 8,4, 6 имеется контур из индуктивных злементов, активное сопротивление которого равно нулю. В нем теоретически может протекать незатухавшая свободная составляющая тока, которая не будет учтена в р1.(2й+ рЕ) Решении, если сократить числитель и знаменатель 2(р) = на р. В схеме 2р1.
Рис. 8.4, в, дуальной схеме рис. 8.4, б после коммутации на конденсаторах возможно возникновение равных по значению и противоположно направленных незатухающих с~ободных составлявших напряжений. Свободный заряд каждого конденсатора не с~ожет стечь через сопротивление й, так как этому мешает второй конденсатор с противоположно направленной незатухающей свободной составляющей напряжения. Для схемы рис. 8.4, в характеристическое уравнение получим, приравняв нулю входную проводимость относительно зажимов источника тока: рсрс рс(2~+ рс) Ф) =а+ 2рС 2рС где д=1/й.
В качестве примера цепи, для которой можно сокрашать числитель и знамена тель с(р) на р, приведем схему рис. 8.4, г. Для нее 1 рС КСрЯср+2) РЯср+2) + 1 ср(асср+ 1) кср+1 ~+рс ф 8.14. Основные и неосновные зависимые начальные значения. Для сложных схем со многими накопителями энергии число независимых начальных значений (начальных условий) может оказаться больше, чем порядок характеристического уравнения, и, следовательно, больше числа постоянных интегрирования. В этом случае при определении постоянных интегрирования используем не все независимые начальные значения, а часть из них.
Основными независимыми начальными значениями называют те токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные независимые начальные значения называют неосновными. В качестве иллюстрации обратимся к схеме на рис. 8.5.
Она содержит три индуктивных элемента в один ем костный. В схеме всего четыре независимых начальных значения (начальных условия): !)11(0+)= 0;2)ЦО+) = 0;3)1з(0+) = 0;4)ис(О+) = О. Из них три являются основными и одно — неосновным. Выбор основных значений здесь произволен. Если за основные взять первое, второе и четвертое значения, то неосновным будет третье. Пример 78. Убедимся в том, что для схемы рис. 8.5 характеристическое уравнение имеет не четвертую, а третью ступень. Р е ш е н и е: Составляем выражение для входного сопротивления: (Ф2 + —.)рх.з 1 Х(р) = й~+р~ 1+ = О. РЕ2+РЕЗ+ С Р 2 Отсюда (й~+р1.1)11+р с2 (е2+1-з) 1+р1-з (1+сф2р ) = О. Следовательно, харпьгеристическое уравнение имеет третью степень.
ф 8.15. Определение степени характеристического уравнения. Степень характеристического уравнения цепи необходимо уметь оценивать, взглянув на схему, в которой исследуется переходный процесс. Быстрая ориентация в этом вопросе дает возможность определить трудоемкость предстоящих выкладок и способствует выявлению ошибки, если она возникает при составлении характеРистического уравнения. Степень характеристического уравнения равна числу основных независимых начальных значений в послекоммутационной схеме после максимального ее упрощения и не зависит от нида ЭДС источников ЭДС в схеме.
Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно соединенные индуктивные элементы должны быть заменены одним эквивалентным; конденсаторы, включенные последовательно и параллельно, тоже должны быть заменены эквивалентными. Применительно к схеме рис. 8.6, а последовательно включенные Е', и ~." следует заменить на 1., = Е',+Е",-~2М, если между ними есть магнитная связь(если нет магнитной связи, то М=О), а конденсаторы емкостью С,, С з, С4 — на конденсатор емкостью с с-, з з ~,= С,+, ~„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
