Bessonov1 (1063915), страница 37
Текст из файла (страница 37)
) 1 л 1 1 7(в!) = — (-+ — сочв!+ — соь2вр' — — соь4в! + л 2 4 13 ~ 35 1 + — сов бв| —...) 4а 1 1 1 1 7(Ы) = — ( — + — соь2в! — — соь4в!+ — соьбв| —...) л 2 !3 35 57 3~За 1 1 1 ~(в!) = ( — + — сои Зв! — — соя бв! + л 2 2-4 5-7 1 + — сои 9в! —...) З~Ь 2соьбЫ 2соа12в| 2соь!8в! л 5 ° 7 11 ° 13 17 ° 19 Амплитуда сииусной составляющей Й-гармоники ряда 2л а 1, 2 2л, А'р — — — ~ Дх)япйхдх~ — ! 7' (х) — яп лх, о р=! или I 2 А',„= — ~ )„(х)а!и М, р=! амплитуда косинусной составляющей Й-гармоники (7.6) А "р — — ~ ~„(х)сов йх, р=! (7.7) 208 Рис.
У.З Р... - ...... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 »(х) .. 7 !1 13,5 15,4 17,420,525„432,527,7 19,2 1О 5 Р е ш е н и е. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, то А=О и Ряд будет состоять только из нечетных гармоник. Амплитуда синусной составляющей первой гармоники и и/з 2 . 4 А ! — ~~ »р(х)з!прх — / »р(х)з1п~х, ~! р=! 4 А = — (?з!п?'30'+11з!п22 30'+13,5з!п37 30'+ 24 + 15,4з ! п52 30'+! 7,4з ! п67'30'+20,5з ! п82'30'+ +25,4з!п97'30'+32,5з!п112 30'+27,?з!п127'30'+ +! 9,2з ! и !42'30'+ 10з ! и !57 30'+5з ! и 172'30') = 25,3. 209 где з!пр Йх и сов„йх — соответственно значения функций а!пйх и совках при х=(р— — 0,5)Ьх, т. е.
в середине р-го интервала. При расчетах по(7.5) — (7.7) обычно достаточно разделить период на п=24 или 18 частей, а в некоторых случаях и на меньшее число. Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необходимо выяснить, не обладает ли раскладываемая функция симметрией относительно осей координат (см. ф?.3). Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать, какие гармоники следует ожидать.
Так, если кривая»(х) симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая Ао и все четные гармоники отсутствуют, а вычисляя А'~ и А "~ при нечетных А, следует учесть, что ~» (х)з!п„йх за первый полупериод равна сумме ~ » (х)з!п йх за второй полупериод. Знак углов ~» в формуле (7.4) зависит от знаков А'~ и А"~. При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для к-гармоники должен быть взят в я раз большим, чем для первой гармоники. Так, например„если некоторый отрезок на оси абсцисс для первой гармоники выражает собой угол л / 3, то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, т. е.
3(п/3)=п. Пример 64. Найти первую и третью гармоники функции»(х), изображенной на рис. 7.3, а. Значения ординат функции»(х) за первый полупериод при разбивке периода на и=24 части следующие: Амплитуда первой и/г 4 А '! = — 1' ! Р(х)созрхж — 5,23. пк р=1 Ам пл итуда синусной составляющей 1г 4 А'з = — ~ !~р(х)а!прЗхж3,47.
Р=1 А мил итуда косинус ной третьей 1г 1 А "з = — ~~ ~р(х)созрЗхж5,1. 6 Р=1 Лмнд туда ар ангар он а д~=~1Щ+1А~)г=уд,н.та ноугда умна «о. торый начало первой гармоники смещено относительно начала кривой 7(х), !Р~! — — А", /А'! —— — 5,23 /25,3 = — 0,206; ф! = — 11 40'. составляющей гармоники третьей гармоники составляющей Амплитуда третьей гармоники 6 !р!уз=А 3/А з= 1,47'* '!уз=55 50. ф 7.6.
Расчет токов и напряжений при несинусоидальных источниках питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток источника тока или ЭДС источника ЭДС) должны быть представлены рядами Фурье. Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник. Аналогично, мгновенное значение напряжения на любом участке схемы равно сумме мгновенных значений напряжений отдельных гармоник на этом участке.
Расчет производят для каждой из гармоник в отдельности с помощью уже известных приемов. Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от действия постоянной составляющей ЭДС или источника тока, затем — токи и напряжения от действия первой гармоники, после чего от второй, третьей и т. д. При расчете токов и напряжений, возникающих от действия постоянной составляющей ЭДС, необходимо иметь в виду, что падение напряжения на Е при постоянном токе равно нулю, а также что постоянный ток через конденсатор С не проходит. При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивление Хе растет прямо пропорционально частоте.
Поэтому для й-гармоники Х „в А раз больше, чем для первой гармоники Хе1. Х,„= Аозт = АХе1; р.8) Хе 1 'о ~" 210 Следовательно, если ограничиться !(ь|) = 25,9з!п(ы! — ! ! 40')+6з!п(Зго!+55'50'). На рис. 7.3, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также результирующая (сум марная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой на рис.
7.3, а. Рис. 7А Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому для Й-гармоники Х в Й раз меньше, чем для первой гармоники Хс» = 1 Л ~4о С) = Хс1 Ф (7.9) Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие тока 1з от каждо о источника в отдельности. Схема рис.?.4, б служит для расчета токов от действия постоянной составляющей ~ДС. Левая ветвь схемы разомкнута, так как в ней включен источник тока с есконечным сопротивлением. Правая ветвь короткозамкнута, так как индуктивност для постоянного тока имеет нулевое сопротивление. При этом 'з =Ео(й1= 1А. 211 Для каждой гармоники можно построить векторную диаграмму. Однако откладывать на векторной диаграмме токи и падения напряжения различных частот и тем более векторно складывать токи и падения напряжения различных частот недопустимо, поскольку угловые скорости вращения векторов разных частот неодинаковы.
Резистивные сопротивления, если частоты не очень велики, полагают от частоты не зависящими. При расчете каждую гармонику выражают комплексным числом. Суммирование одноименных гармоник производят путем сложения комплексных чисел или векторов на комплексной плоскости, т. е. так же, как это делалось в гл. 3. Пример 65. В левой ветви схемы рис.
7.4, а имеется источник тока 1(г) = ?ысоз2Ы, в средней 1второй) — источник ЗДС еЯ = Ео+Е з1пм1. Катушка индуктивностью Е4 магнитно связана с катушкой индуктивностью ЕЗ. Взаимная индуктивность между ними М. Определить мгновенное значение тока 1з и напряжена и»а на зажимах».4. Дано: ?ь„= 5 А; ш= 1000 рад/с; Ео=З В; Е~ч=6 В; Д~=З Ом; аз=3 мГн; М=1 МГн. Р е ш е н и е.
Положительные направления для токов выберем в соответствии с Рнс. 7.4, а. По второму закону Кирхгофа ~~4 ~~3 о~В и — Š— +М вЂ” =О, но1 =О, поэтому и = — М вЂ”. ьа 4<у 411 ' 4 Ьа ц' Первую гармонику тока сд наидем, используя схему рис. 7.4, 8: 40 !~ ! = б / (3+37') = 1,41 е Вторую гармонику тока !з ! вычислим в соответствии со схемой рис.
7.4, г: 7~2) 5 !90' 2 23 126'4О' 3+об Мгновенное значение тока !з равно сумме мгновенных значений: 83 1~ +с~'1+!(з > = 1 + 1,4 1 з1п(о>~ — 45 )+2,23з1п(2в!+26'40') А. Напряжение б~з иа — — — М вЂ” = 1,4!сов(Ы вЂ” 45 ) — 4,46соз(2Ы+26'40') В. Ьа 1! ф 7.7. Резонансные явления при несинусоидальных токах. Как известно из гл. 3, резонансным режимом работы электрической цепи, содержащей один или несколько индуктивных и один или несколько емкостных элементов, называют такой режим, при котором ток на входе совпадает по фазе с действующей на входе ЭДС.
Если действующая ЭДС несинусоидальна, то в электрической цепи могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или напряжений) не только на первой, но и на высших гармониках. Условимся под резонансом на Й-гармонике понимать такой режим работы, при котором ток А-гармоники на входе цепи по фазе совпадает с й-гармоникой, действующей на входе ЭДС (но при этом токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС). Если учитывать активные сопротивления индуктивных катушек, то условие возникновения резонанса для какой-либо гармоники заключается в том, что реактивная составляющая входного сопротивления для этой гармоники должна быть равна нулю.
Исследование резонансных явлений при несинусоидальных токах часто производят, полагая активные сопротивления индуктивных катушек равными нулю. В этом случае входное сопротивление при резонансе токов равно бесконечности, а входное сопротивление при резонансе напряжений равно нулю.
При возникновении резонансного и близкого к нему режима на какой-либо высшей гармонике токи и (или) напряжения этой гармоники могут оказаться бо'льшими, чем токи и напряжения первой гармоники на этих участках цепи, несмотря на то что амплитуда соответствующей высшей гармоники ЭДС на входе схемы может быть в несколько раз меньше амплитуды первой гармоники ЭДС. Пример 66. В схеме рис. 7.5 катушка обладает нндуктивностью Еу. Полагз" активное сопротивление индуктивной катушки равным нулю, найти, при каких зна чениях емкостей С! и С~ входное сопротивление схемы для первой гармоники ракия ется нулю, а для девятой — бесконечности. Решение уе>У.
1 О~С~ у ()Š—— 2 у9со1. 1 — у 9вС Е Рис. 7.5 9 9 С + 2 9 2 8~ Совместное решение ддет ~ / С 8~ 'юс, 89 1 ~2 (' ~2Д~ Т~ Если ток Уо + Х, яп(ь| + ~р ) + 1 яп(2сд~ -1- ~р ) -~- то Р=4+ "~ У,' з1п'(Аь|+ ~,)-1- А=О + ) ~, 1, з1п(рв~+ ф )яп(оь|+ тр ). Р=О Т ~мп'(Йик + т,)й = —; й (7.10) Поэтому ~'= ~о+ !',./2+ ~,'./2+ ~2 /2+... ф 7.8. Действующие значения несинусоидального тока и несинусоидального напряжения. По определению (см. $ 3.2), квадрат действующего значения тока ! выражают через мгновенное значение тока г следующим образом: или Следовательно, действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей тока и действующих значений отдельных гармоник. От углов сдвига фаз тф, действующее значение тока не зависит. Аналогично, действующее значение несинусоидального напряжения Бранно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений отдельных гармоник: У = 1~Ц+ У~+ У~+ Ц+ ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
