Bessonov1 (1063915), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что "Ри любых переходных и установившихся процессах соблюда- ют два основных положения: ток через индуктивную кат~шку и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком . ф 8.4. Обоснование невозможности скачка тока через индуктив. ную катушку и скачка напряжения на конденсаторе. Доказатель ство того, что ток через индуктивную катушку не может изменяться скачком, проведем на примере схемы рис, 8.2. По второму закону Кирхгофа Ж Ь вЂ” + % = Е. Ф Ток ~ и ЗДС Е могут принимать конечные (не бесконечно боль шие) значения. Допустим, что ток г может измениться скачком.
Скачок тока означает, что за бесконечно малый интервал времени М вЂ” О ток изменится на конечное значение Лс, При этом Л~ /А1 — оо. Если вме й сто Š— в уравнение (8.1) подставить оо, то его левая часть не будет Ж равна правой части и не будет выполнен второй закон Кирхгофа. Следовательно, допущение о возможности скачкообразного изменения тока через индуктивную катушку противоречит второму закону Кирхгофа. Ток через А не может изменяться скачком„но напряжение на 1., й равное ~ —, скачком измениться может. Зто не противоречит Ж второму закону Кирхгофа.
Доказательство того, что напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, проводится аналогично. Обратимся к простейшей цепи с конденсатором (рис. 8.3, а). Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа: ~~+ис =Е где Š— ЗДС источника, конечная величина; ис — напряжение на конденсаторе. а) Рис. В.З 1 Иногда зти положения формулируются так: потокосцепление индуктивнои ка тушки и заряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков.
Дальне" шее обобщение законов коммутации дано в э 8.28. 230 ~мс Так как с = С вЂ”, то Ф' (8А) ~"с йС вЂ” + ис —— Е. Ж ф 8.5. Первый закон (правило) коммутации. Ток через индуктивный элемент ~ непосредственно до коммутации ЦО ) равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации КДО+): Кс(0 ) =кь(0+).
Время 1 = О представляет собой время непосредственно до коммутации, 1 = О+ — после коммутации (рис. 8.3, 6). Равенство (8.5) выражает собой первый закон коммутации. .( $8.6. Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации и (О ), а напряжение на нем непосредственно после коммутации ис(О+). В соответствии с невозможностью скачка напряжения на кон'денсаторе и(0 )=и(0 ). (8.6) Равенство (8.6) выражает собой второй закон коммутации. Перед тем как приступить к изучению методов расчета переходных процессов, необходимо условиться о некоторых дополнительных определениях.
58.7. Начальные значения величин. Под начальными значенияли величин(в литературе их называют еще начальными условиями) понимают значения токов и напряжений в схеме при 1=0. Как уже отмечалось, токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах непосредственно после коммутации равны кх значениям непосредственно до коммутации. Остальные величи"ьп напряжения на индуктивных элементах, напряжения на резисторах, токи через конденсаторы, токи через резисторы могут 231 Если допустить, что напряжение и может измениться скачком, ~~с ~"с т — — и левая часть (8.4) не будет равна правой части. Отсюда следует, что допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе противоречит второму за"ис кону Кирхгофа.
Однако ток через конденсатор, равный с — ', может д~' ;изменяться скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа. Из указанных двух основных положений следуют два закона -(правила) коммутации. изменяться скачком, и поэтому их значения после коммутации чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации Поэтому следует различатьдокоммутационные и послекоммутаци онные начальные значения. Докоммутачионными начальными значениями называют значе ния токов и напряжений непосредственно до коммутации(при 1=0 ).
послекоммутаиионными начальными значениями — значения токов и напряжений непосредственно после коммутации (при 1=0 ). ф 8.8. Независимые и зависимые (послекоммутационные) иа. чальиые значения. Для любой схемы после коммутации в ней мож но записать уравнения по законам Кирхгофа и из этих уравнений определить значения токов во всех ветвях и напряжений на любых участках схемы в послекоммутационном режиме (при 1=0 ). С этой целью значения токов в ветвях, содержащих индуктивные элементы, и значения напряжений на конденсаторах берут равными тем значениям, которые они имели до коммутации при 1=0, а остальные токи и напряжения после коммутации при 1=0 находят из уравнений Кирхгофа, поскольку часть слагаемых в них известна.
Значения токов через индуктивные элементы и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима, условимся называть независимыми начальными значениями. Значения остальных токов и напряжений при ~=0+ в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными значениями. ф 8.9. Нулевые и ненулевые начальные условия. Если к началу переходного процесса непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю„то в схеме имеют место нулевые начальные условия.
Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме не равны нулю, то в схеме имеют место ненулевые начальные условия. При нулевых начальных условиях токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели непосредственно до коммутации. ф 8.Ю. Составление уравнений для свободных токов и напряже ний. Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как это делалось и раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произволь но выбирают для них положительные направления, затем состав ляют уравнения по первому и второму законам Кирхгофа.
Так, дл" 1 ~2 ~З О1 й 1 +~1 1+121~2 = Е'* 'Ф 1 1Р2 1 13111 = О. С ~1 В этих уравнениях1„12 и 1, — полные токи. Каждый из них состоит из свободного и принужденного токов Для того чтобы от этой системы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, «освободим» систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от ЭДС Е) и вместо 11 запишем 1„„вместо 12 — 1, и т. д. В результате получим: 11св — 12св — 1„в = 01 ~~~1св ь,— '"+ „„ю,+.„,г,=о; (8.7) 1 2св 1~2 С ~ ~Зсв~~ Заметим, что для любого контура любой электрической цепи ~умма падений напряжений от свободных составляющих токов равна нул1о. $8-11. Алгебраизация системы уравнений для свободных токов.
$ 8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (уравнения б'3 правой части). Как известно из курса математики, решение 233 схемы рис. 8.4, а после выбора положительных направлений для токов имеем: однородного дифференциального уравнения записывают в виде по казательных функций Аер'. Таким образом, уравнение для каждого свободного тока можно представить в виде 1. = Аер'. Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя. Показатели же затухания р одинаковы для свободных токов ветвей.
Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена едн ным (общим) переходным процессом. Составим производную от свободного тока: 61св — = — (А е1в) = рА е1'1 = Р1' 6~ св ~ю,.йК =~Ле~й =Ле" /р =ю,„/р. Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых. Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить на 1 ю„/р, а свободное напряжение на конденсаторе — ~1,„61 — на сс,/(ср).
В систему дифференциальных уравнений для свободных токов 61св ссв 1 (. подставим Ерг вместо ~ — и — вместо — (1 6~. Следовательно, св 61 Ср с~- 11св 12св 13св (8.8) (Е,,Р+й,) 1„, +К~,Й, =О; К„,Р2 — Ю2„/(СР) = О. Уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических УРаВНЕНИй ОтНОСИтЕЛЬНО г„„г2с„,1 в И В ОТЛИЧИЕ От ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ не содержат производных и интегралов. Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов Можно сказать, что система (8.8) есть результат алгебраизации системы дифференциальных уравнений (8.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
