Bessonov1 (1063915), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Начальное значение напряжения на Сз равно начальному значению напряжения на С4. В результате упрощений схемы рис. 8.6, б получаем схему на Рис, 8.7, в которой два индуктивных элемента и один конденсатор. Все три независимые начальные значения — основные, Следовательно, характеристическое уравнение будет третьей степени, Обратим внимание на то, что степень характеристического Уравнения не зависит от того, имеется ли магнитная связь между индуктивными элементами схемы или она отсутствует. Условимся под емкостным контуром понимать контур, в каждой из ветвей которого имеются либо только конденсаторы (рис. 8.7, и), либо в одни ветви входят только конденсаторы, а в другие — только источники ЭДС (рис. 8.7, б).
Положим, что после максимального Упрощения схемы в емкостный контур входит и конденсаторов. Если Учесть, что по второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма "апряжений на ветвях контура равна нулю, то только на и — 1 кон- Рис. 8.7 денсаторах контура напряжения могут быть заданы произвольно. Условимся под индуктивным узлом понимать узел, в котором сходятся ветви, в каждой из которой имеются индуктивности (рис. 8.7, в), либо часть ветвей с индуктивностями, а другая с источниками тока (рис. 8.7, г). Положим, что в индуктивный узел сходится и-ветвей, содержащих индуктивности. Если учесть, что по первому закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то только в т — 1 индуктивностях токи могут быть заданы произвольно.
Обобщенно можно сказать, что после максимального упрощения схемы степень характеристического уравнения может быть определена путем подсчета величины и +и — д — Ас, где и — число индуктивных элементов в схеме; и — число конденсаторов; у,— число индуктивных элементов, токи в которых не могут быть заданы произвольно; Й вЂ” число конденсаторов, напряжения на которых не могут быть заданы произвольно. 3 а м е ч а и и я: !.
Если схема с источником тока имеет несколько последовательных участков, содержащих параллельно соединенные ветви с !(, (., С, то для каждой группы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со своими корнями (свободные токи не могут замыкаться через источник тока, поскольку сго сопротивление равно бесконечности). 2. Если в схеме будут иметься так называемые дополняющие двухполюсники (см. Э 8.63), содержащие элементы )т, Ь, С, между которыми выполняются определенные соотношения, то при упрощении схемы они должны быть заменены на эквивалентные им резисторы. Это значительно упрощает выкладки(на эту тему рекомендуется решить пример 30 из вопросов для самопроверки).
ф 8.16. Свойства корней характеристического уравнения. Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Если характеристическое уравнение представляет собой уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени — два корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) корень. Уравнение второй степени может иметь: а) два действительных неравных отрицательных корня; б) два действительных равных отрицательных корня; в) два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью. 240 Уравнение третьей степени может иметь: а) три действительных неравных отрицательных корня; б) три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу; в) три действительных равных отрицател1,ных корня; г) один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью.
ф 8.17. Отрицательные знаки действительных частей корней характеристических уравнени~й. Свободный процесс происходит в цепи, освобожденной от источи ика ЭДС. Он описывается слагаемыми вида Ае~'. В цепи, освобожденной от источников ЭДС, свободные токи не могут протекать сколь угодно длительно, так как в ней отсутствуют источники энергии, которые были бы способны в течение сколь угодно длительного времени покрывать тепловые потери от свободных токов, т. е. свободные токи должны затухать во времени.
Если свободные токи (выраженные слагаемыми е") должны затухать (спадать) во времени, то действительная часть р должна быть отрицательной. Значения функции е "' =- ~(а~), где и~=х, приведены в табл. 8.1. Таблица 8.1 сЬх сьх 241 о О,1 0,2 о,з 0,4 0,5 0,6 0,7 О,8 0,9 1,О 1,1 1,2 1,З 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1,О 1,10 1,22 1,З5 1,49 1,65 1,82 2,01 2,22 2,46 2,72 з,оо 3,32 3,67 4,05 4,48 4,95 5,47 6,05 6,68 7,39 1,0 0,905 0,819 0,741 0,67 0,606 0,549 О 49? 0,449 0,407 О,З68 о,ззз О,ЗО1 0,272 0,247 0,223 0,202 0,183 0,165 0,15 0,135 о,о О,1О 020 о,зо 0,41 0,52 0,64 0,76 0,89 1,ОЗ 1,17 1,З4 1,51 1,?О 1,9О 2,13 2,38 2,65 2,94 3,2,'7 3,63 1,О 1,ОО5 1,02 1,04 1,08 1,13 1,18 1,25 1,34 ~1,43 1,54 1,67 1,81 1,94 2,15 2,25 2,58 2,83 З,1 1 3,42 з,?6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 з,о 3„2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 6,0 8,17 9„02 9,97 11,02 12,18 13,46 14,88 16,44 18,17 20,08 24 53 29,96 36,6 44,7 54,6 66,69 81,45 99,48 121,5 184,4 400 0,122 О,1 1 1 О,1ОО 0,09 О,О82 0,074 0,067 0,061 О,О55 0,05 0,041 о,озз 0,027 0,022 О,О18 0,015 0,012 О,О1 0,0082 0,0067 0,0025 4,02 4,46 4,94 5,47 6,05 6,?О 7,41 8 19 9,06 10,02 12,25 14,96 18,28 22,34 27,29 33,33 40,72 49„?4 60,75 74,2 200 4,14 4,56 5,04 5,56 6,13 6,7? 7,47 8,25 9,11 10,07 12,29 15,0 18,З1 22„36 27,3 ЗЗ,З5 40,73 49,75 60,76 74,21 200 Рассмотрим характер изменения свободных составляю|цих для простейших переходных процессов в цепях с характеристическим уравнением первой и второй степеней.
Если число корней характеристического уравнения больше двух, то свободный процесс может быть представлен как процесс составленный из нескольких простейших процессов. ф 8.18. Характер свободного процесса при одном корне. Когда характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток «„=Ае" =Ае (8,12) где р = — а зависит только от параметров цепи, А — от параметров цепи, ЭДС и момента включения. Характер изменения «„при А ~0 показан на рис. 8.8. За интервал времени ~ =т = 1/а функция Ае "уменьшится в е = 2,72 раза. Действительно, при 1 =т=1/а а1 =ат=а/а =1; е "=е '" =е ' =1/е =1/2,72. Величину т = 1/а = 1/ ~ р ~ называют постоянной времени цепи; т зависит от вида и параметров схемы.
Для цепи рис. 8.2 т = ЕЯ, для цепи рис. 8 3, а т = «сС, для цепи рис. 8.17 т =(~~~з~)/(~1+ ~з) " Название «постоянная времени» отражает постоянство подкасательной к экспоненте: подкасательная к экспоненте е ~~~ численно равна т (см. рис. 8.8). $8.19. Характер свободного процесса при двух действительных неравных корнях. Пусть р, = — а, р = — Ь (для определенности положим Ь ~ а). Тогда «„=А,е«'1'+А,е'2' =А,е " +А,е (8 12а) г) Рис.
8.9 Рис. 8.8 242 ф 8.20. Характер свободного процесса при двух равных корнях. Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два равных корня р, = р, = — а, то соответствующие слагаемые решения должны быть взяты в виде А,е" +А~~е" =(А, +А,~)е (8.13) На рис. 8.10 построены пять кривых. Они показывают возможный характер изменении функции (А, +А,~)е " при различных значениях постоянных интегрировании А, и А„а также при равенстве нулю одной из постоянных. Кривая 1 построена при А, «О и А, «О; кривая 2 — при А, сО и А, «О; кривая 8 — при А, «О и А, ~0; кривая 4 — при А, =0 и А,«О; кривая 5 — приА, «О и А =О.
ф 8.21. Характер свободного процесса при двух комплексно-сопряженных корнях. Комплексные корни всегда встречаются попарно сопряженными. Так, если р, = — б + уело, то р~ = — Π— уело. Соответствующее им слагаемое решения должно быть взято в виде 1;, =Ае — "' 81п(во~ +~). (8,14) Формула (8.14) описывает затухающее синусоидальное колебание (рис. 8.11) при угловой частоте в, и начальной фазе ~. Огибаю- Рис. 8.11 Характер изменения свободного тока при различных по значению и знаку постоянных интегрирования А, и А2 качественно иллюстрируется кривыми рис. 8.9, а — г; кривая 1 представляет собой функцию А,е "; кривая 2 — функцию А,е ~', результирующая («жирная») кривая получена путем суммирования ординат кривых 1 и 2. Для рис.
8.9, а А, «О, А~ «О; для рис. 8.9, б А, -: О, А, (О, 1А,1 «А,; для рис. 89, в А, «О, А, (О, ~ А,Д (А,; для рис. 89, г А, «О,А,(О, ~А ! =А,. щая колебании описывается кривой Ае ". Чем больше 6, тем быс трее затухает колебательный процесс; А и ~ определяются значени ями параметров схемы, начальными условиями и ЭДС источника ьо и 6 зависят только от параметров цепи после коммутации; ~о, называн)т угловой частотой свободных колебаний; 6 — коэффици ентом затухания, ф 8.22. Некоторые особенности переходных процессов. Как известно из предыдущего, полное значение любой величины (тока, на пряжения, заряда) равно сумме принужденной и свободной составляющих. Если среди корней характеристического уравнения есть комплексно-сопряженные корни р,, = — 6 .+-ую и значение угловой частоты свободных колебаний в почти равно угловой частоте ь источника синусоидальной ЭДС (источника питания), а коэффи.
циент затухания 6 мал (цепь с малыми потерями), то сложение принужденной и свободной составляющих дает колебание, для которого характерно биение амплитуды (рис. 8.12, а). Колебание (рис, 8.12, а) отличается от колебаний, рассмотренных в $ 7.14, тем, что здесь у одной из составляющих колебания амплитуда медленно уменьшается. Если угловая частота свободных колебаний ь точно равна угловой частоте источника синусоидальной ЭДС, то результирующее колебание имеет форму, изображенную на рис, 8.12, б. Простейшим примером колебаний такого типа является колебание, возникающее на конденсаторе схемы рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
