Bessonov1 (1063915), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Доказательство: др б — — ~~(Ое Р~ б1 = — ~~(1) — е Р~ Ж= — ~ 1~ Яе Р~й. Р о о Р о Например если)р) =е ', р(р)=; ~е — а« " (Р) Р+ а' др (р+ а)' 7. Интегрирование в области изображений Если при у И) )лр у«)) и — преоораауепы по Лапласу и ~ с «р) да существует, Р то ~ Р(р) «)Р = -Щ Р Доказательство: ~(1)е Р д1 др=~~(~) ~е Р др «)Ф = о р ')Р(р)Ф=~ Р Ж) «)«=~ — е ~ Ю. о Г1 Например, если ~(~)= ~ — е "'(а~О), р(р)= р(р+ а)' оо оо (р+ а) «)р =!и Р $8.41, Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС. На рис.
8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами а и Ь этой цепи включена ветвь, содержащая й; Г., С и источник ЭДС е(1). Ток по ветви обозначим через ~. Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток ~ = ~(О ) и напряжение на конденсаторе и. = =ис(О ). Выразим потенциал точки а через потенциал точки Ь для послекоммутационного режима: ут«)а «Рй+ис+ис+ )т ( )и и„=«о.— «оь= в+и, +ис — еЯ. Рис. 8.2б й 1,' Вместо и запишем 7 —, вместо и соответственно и (О)+ — (;,11 Ф' с с о Тогда й 1'. и = И + А — + иДО) + — ~ гЮ вЂ” е(1). о К уравнению (8.38) применим преобразование Лапласа.
Преоб разование Лапласа является линейным, поэтому изображение сум мы равно сумме изображений. Каждое слагаемое уравнения (8.38) заменим операторным изо , бражением: вместо'® запишем КЦр); вместо и„— 0„(р); ,1) .. и,(0) Š— ='ЬР7(р) — и(0); ис(0) =' —; — с — ) гй = —; е (1) = Е (р). . ~(~), С~ = Ср' ) В результате найдем и (О) (8.39) У, (р) Г(р) й+рЕ+ Е~(0) + Е(р) Ср р Смысл проведен го преобра ования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения (8.38) получили алгебраическое уравнение (8.39), связывающее изображение тока 1(р) с изображением ЭДС Е(р) и изображением напряжения У„(р). Из уравнения (8.39) следует, что ис (О) Ьаь(р) + Ы(0) + Е(р) У(р) (8.40) 1 где Х (р) = й + р,(. + — — операторное сопротивление участка цеСр пи между точками а и Ь.
Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если уь заменить на р (ср. с ф 8.13). Как указывалось в ~ 8.13, комплексное число р = а + ф может быть записано в виде р = ~(Ь вЂ” уа) = у й, где й = Ь вЂ” уа — комплексная частота; Х(р) = 2(!я ) — сопротивление, оказываемое рассматриваемой цепью воздействию () е~"'=6 е)", подобно тому как У ((ь) есть сопротивление, оказываемое воздействию 1)' е1"'. Поэтому У(р) называют сопротивлением на комплексной частоте. Уравнение (8.40) может быть названо законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС. Оно записано при ненулевых начальных условиях. Слагаемое Ы(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обуслов- 270 (8.41) ~(Р) = 17 (Р)lг (Р).
Уравнение (8.41) есть математическая запись закона Ом а в операторной форме для участка цепи, не содержащего источник ЭДС при нулевых начальных условиях. ф 8.42. Первый закон Кирхгофа в операторной форме. По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы рис. 8.26 г, +с+~, =О. Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.42) и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений: 7~ (~0) + 7 (р) + 7~ (Р) = О.
В общем случае (8.43) Уравнение (8.43) выражает собой первый закон Кирхгофа в опеРаторной форме. 271 ленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока с(О) непосредственно до коммутации. Слагаемое и (О)~р представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем ис(0) непосредственно до ком мутации. В соответствии с формулой (8.40) на рис.
8.27 изображена операторная схема замещения участка цепи рис. 8,26. Операторные сопротивления ее К рУ., 1/(Ср). Как следует из формулы (8.40), внутренняя ЭДС Ы(О) направлена согласно с направлением тока !(р), внутренняя ЭДС ЩО~(р — встречно току 7(р). В частном случае, когда на участке аЬ отсутствует ЭДС е(1) и к моменту коммутации 1(О) = О и и (О) = О, уравнение(8.40) приобретает более простой вид: Каждое из слагаемых(8.44) заменим операторным изображением: й~ 1.,— = Е~рl, (р) — 7. ~с, (О); !Й.1! Ж~ М МРУ.
(р) М. (О), Й ' ! (р) —,(~зй = —, (8.45) (ф2 — — й~Цр); Ж~ 7.~ — — — Е р1 (р) — ~.у'р(О); Й 6е~ М вЂ” = Мр(~ (р) — М~~ (О); Ж Ф).= ~."й>) 'Ф).= ~л(р). 272 1 ей) ф 8.43. Второй закон Кирхгофа в опе, раторной форме. Для любого замкнуто го контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму «акону Кирхгофа для мгновенных значе пий. Предварительно необходимо вы брать положительные направления для токов в ветвях и направление обхода Рис.
8.28 контура. Запишем уравнение по второму за кону Кирхгофа для контура рис. 8.28. Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности ~., и ~., связаны магнитно. При выбранных положительных направлени ях для токов ~, и ~2 между 1,, и Е~ имеет место согласное включение.
Й, Й~ Падение напряжения на 1. равно Е. — + М =, на 1., составляет 'Й Й' Й2 Й~ ,(. — + М вЂ . При составлении уравнения учтем, что начальное на- 'Й Й пряжение на конденсаторе равно ис(О). Пусть оно действует согласно с током к, Начальное значение ю, = ю,(О), тока ю, = сфО). Имеем Й, Ж~ Ь,— + М вЂ” + ис(О)+ —,~~зй — ~Р.„— () Р е ш е н и е. Направления контурных токов гы и ! показаны на схеме. Имеем: 81п 1„Й, + Х.,— + 1!фц — 1 ) = е(1), ' сИ 1(. сэ ~22($1 + Й~($2р Сы) = О. Переходим к изображениям: 1ы(р) (РЕ~ + %~ + !!2) Ый!~2 = Е(р) Рис.
8.29 1 — ' 1ц(р)1~з + ЫР) Яя + — ) = О- рс Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными дает: е(р) (1 + Я~ср) 1ы(Р)— р ц1- с+РЯба с+ела+ Ю, +я (8.48) (8.49) Е(РМ2 СР 1~(р) —, р'к,~.,с + р(к,к,с + е,) + 11, + ю, Изображение контурного тока!В(р) равно изображению тока 1,(р), изображение 1~, (р) — изображению! (р). В (848) и (849) Е(р) есть изображение ЭДС е(1). Если е(!)= 1 = Е,тоЕ(р) = Е!Р,еслие(!) = Е з1п(ы!+ с~),тоЕ(р) = Е .
ит.д. Р 1~» Пример 89. Составить операторные изображения токов 1~ и !з схемы рис. 8.29, пользуясь законами Ома н Кирхгофа. Р е ш е н и е. Так как в схеме нулевые начальные условия и нет магнитно-связанных индуктивных катушек, то составить уравнение можно проще, чем по методу кон гурных токов. Изображение тока 1,(р) = Е(р)! Х,„(р), где 2,„(р) — входное сопротивление схемы в операторной форме относительно зажимов аЬ.
Его определяют так же, как входное сопротивление для переменного тока, только !ы заменяют на р. Входное операторное сопротивление 1 Ср Р ! 1СЦ + Р(1-1 + ~РЯ + 11~ + 1~2 ~,„(р) = 1!1+ р!., + +— 1+Я С 1+ 1~ Ср а ср Следовательно, 274 е(р) е(р) (1 + ю,.ср) (8,48а) 2 ~,.(р) р'е, СР., + Р(е, + к р,с) + я, + л,' уравнение (8.48а) совпадает с уравнением (8.48). Найдем изображение!з(р). Сзтой целью выразим 1з(р) через !1(р) и операторные сопротивления второй и третьей ветвей. Воспользуемся аналогией с переменным током. Для переменного тока 1~2 1з — — 1, 3 112+ 1/(!Щс) Следовательно, ~з(Р! = Р,(р)- — — - —— Если в последнее выражение подставить 1!(р) из уравнения (8.48а), то будет ,олучено уравнение (8.49).
Таким образом, безразлично, каким способом составлять изображение токов: результат будет одинаков. (8.50) 1 Е(р)К2 ~ !ее(р) ~З(р) 2 Р )~2 ! + Р(п!)~2 + !) + )~! + )~2 ф 8.46. Изображение функции времени в виде отношения К(р)/М(р) двух полиномов по степеням р. Для тока ~!!(р) в примере 89, если принять Е(р) = Е/р, то Л!(р) = Е(1 + Ю Ср); М(р) =(р~~,т.,С+рЯ,К,С+а,) +г, +К,1р.
Если атом же примере принять е(1) =Е 81п(о!1+!р), то 4' 1 Е(р) =Е . и р — / И(р) =Е.(1+я,ср); М(р) = — (р — ~о! Нр Йз !-.! С + р(К !Я~С + Е!) + К! + ЙД. Обозначим высшую степень оператора р в полиноме Ж(р) через п, а высшую степень р в полиноме М(р) — через т. Часть корней уравнения М(р) = 0 обусловлена характером изменения во времени возмущающей силы, воздействующей на систему; остальные корни обусловлены свойствами самой цепи, ее конФигурацией и значениями параметров. Если исключить из рассмотрения сверхпроводящие электрические цепи, то во всех физически осуществимых электрических цепях при воздействии любых ЗДС всегда и ~ т. Лишь для физически неосуществимых электрических цепей степень и может оказаться Равной т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
