Bessonov1 (1063915), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пример цепи, для которой степень п Равна степени т, дан на рис. 8.30. Если считать, что сопротивление проводов и внутРеннее сопротивление источника нулевые, то Е/р ЕСр Ф)= 1/(СР) Рис. В.ЗО Пример9О.Для схемы рис.8 29составить изображение наприжения на зажимах се, если считать, что начальные условия нулевые (как в примере 89). Р е шеи и е. Изображение напряжения на зажимах се равно произведени!о изображения тока Гз(р) на операторное сопротивление конденсатора: ф 8.47. Переход от изображения к функции времени.
В $ 845 указывалось, что вторым этапом расчета переходных процессов с помощью операторного метода является переход от изображения к функции времени. Эту операцию можно осуществить различными путям и. Первый путь состоит в применении формул соответствия между функциями оператора р и функциями времени ~. Часть формул соответствия приведена в ~ 8.39, В научной литературе имеются специальные исследования, содержащие большое число формул соответствия (1518), охватывающих все возможные практические задачи.
Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае, когда среди корней уравнения М(р) = О есть несколько одинаковых (кратные корни). Второй путь состоит в применении так называемой формулы разложения. Формула разложения в ф 8.49 выведена, исходя из предложения, что уравнение М(р) =О не имеет кратных корней (при наличии кратных корней формула разложения записывается иначе — см. ф 8.50). Третий путь — непосредственное применение формулы обратного преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. ф 8.50).
Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к функции времени. Рассмотрим два примера на применение формул соответствия, а затем — после рассмотрения вопроса о разложении сложной дроби на простые — перейдем к выводу формулы разложения. Пример 91. В схеме рис. 8.31, а ток источника тока линейно нарастает во времени: у(1) = 2,51 А (рис. 8.31, б); Я = 40 кОм, С = 2 мкФ. Определить закон изменения во времени тока и через резистор Й.
Р е ш е н н е. Изображение тока у(1) равно 2,5/р (см. соотношение 12 $ 8.39). Сопротивление параллельно соединенных Я, С и й г(р) = Изображение тока через Я у(р)Я(р) 2,5 1 Я Яср( +,)' где а = 1/(ЯС) = 12,5 с Рис. 8.31 Сш-ласно соотношении> 8 $8.39, 1 - ! ! = — — — (1 — е "), р~(р+ и) а и !!(!) = 2,5(! — 0,08(1 — е '2'~~)( А.
0(р) 100 !ОО 1 4р) (р + а)(р~- + 1~) ~(р + )(р + Ь)' 100 1 — = 2Ь А/с; Г = Р / 1. = 05 — а: 1(р) = 25 — — -. (р+ а)~ По соотношению 5 $ 8.39 = е ' . Поэтому !(!) = 25!е (р+ а)' Напряжение на 1.: и! —— ~= = 100е ' (1 — 0,51). — 0,5~ й При1= !с 1=25.1е ' = 15,15А;иа =100е 'а(1 — 0,5) =30,ЗВ. ф 8.48. Разложение сложной дроби на простые. Из курса математики известно, что дробь А!(х) а„х" + а„,х" '+ ... + и,х+ ио М(х) Ь„х +Ь, '+... +Ьх+Ьо (8.5! ) .! при условии, что и ~ и и полипом М(х) = О не имеет кратных корней, может быть представлена в виде суммы простых дробей: й(х) 1 ! 1 — =А) + '!2 +... +А М(х) 'х — х, ах — х ~х — х ' (8.52) или В(х) ! — =~А М(х) ~- ~х — х„' Ф=! где ха — коР ни УРавнениЯ М(х) = О. 4ля определения коэффициента А, умножим обе части уравне- "иЯ (8.52) на (х — х,).
В результате получим И(х) 1 — (х — х,) = А, + (х — х,)~'А„ (8.53) 277 Пример 92. В схеме рис. 8 31, в и(!) = 100е "~ В, где и = 0 5с ', й =. 2 Ом; А = =4 Гн. Найти ! = Д!) и и! — — Д1), а также значения ! и и, нри ! = 1 с. Р е ш е н и е. Согласно соотношению 2 $8.39, функции е ш соответствует изображение 1/(р + а).
Следовательно, и и(р) =; Я(р)=г+ р7.; !00 р + а Рассмотрим выражение (8.53) при х- х,. Правая часть уравне ния равна А„а левая представляет собой неопределенность, так как множитель (х — х,) при х-+-х, равен нулю и знаменатель М(х) при х = х, также равен нулю [х, есть корень уравнения М(х) = 0$. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой. целью производную от числителя разделим на производную от зна менателя и найдем предел дроби: (х — х,)Ж(х) аГ(х) + (х — х )Ф'(х) Ф(х1) где М'(х) — производная от М(х) по х М'(х) — значение М'(х) при х= = х,; М(х,) — значение Ф(х) при х = х,. Следовательно, из (8.53) при х- х, получаем уравнение ' г Ф(х,)/М'(х,) = А „ (8.54) или А, = Ж(х,)/М'(х,).
(8.55) 1 Аналогично, Аа = И(х )/М'(х ). Таким образом, у(х) йг(х,) 1 йг(хэ) 1 м(х~) 1 (8.57) М(х) М'(х|) х — х1 М'(х2) х — х2 М'(х,п) х — х,„ или М(х) Х М'(х,) х — х, Пример 93. Найти коэффициенты разложения дроби 1/(х'+ 5х+ б). Р е ш е н и е. Корни уравнения М(х) = О: х, = — 2, хд — — — О М'(х) = 2х + 5; М (х1) = — 2-2 + 5 = + 1; М'(х2) = — 1; М(х~)=лГ(х2) = 1.
По формуле (8.56), которую называют формулой разложения. А1 — — Ф(х1)/М'(х,) = 1/(+ 1) = + 1; А, = ж(х,)/М'(х,) = — 1. ф 8.49. Формула разложения. Переход от изображения Ж(р)/М~Р) к функции времени часто производят с помощью формулы — еМ, Ь~~р) ., йФх) (8.59) М(р) = ~,М(р,) Девая часть формулы является функцией р, правая часть— соответствующей ей функцией времени 1. вывод формулы можно осуществить следующим образом.
11усть изображение какой-либо функции времени, например тока, др) = Ф(р)/М(р). Для получения тока как функции времени г(1) представим сначала М(р)/М(р) в виде суммы простых дробей — разложим !о(р)/М(р). С этой целью в формуле (8.58) заменим х на р: и(,) ~(р„) М(р) Е М'(р~) р — р~ й=! (8.60) с(1) = ~ —; — е Р!!'. Е (8.61) М'(р,) Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции ~) с помощью формулы разложения (8.61) основан на том, что изобраМрд жение представлено в виде суммы простых дробей —,, а М'(р) р — р ' !~(р~) ригиналами их являются показательные функции —; — е М М'(р~) л!(р~) Число слагаемых , еМ равно числу корней уравнения М'(р ) М(р) =О. Коэффициенты И(р,)/М'(р„) можно сопоставить с постоянными интегрирования дифференциального уравнения (уравнений) цепи в классическом методе расчета.
Если среди корней уравнения М(р) =0 есть нулевой корень (Р = 0), то ему в правой части уравнения (8 61) соответствует слагаи о „м(о) м'(о) м'(о) емое, е"'=, . Слагаемое И(0)/М'(0) представляет собой составляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающими силами. Если постоянных вынуждающих ДИл в схеме нет, то й!(0) /М'(О) = О.
Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.61). 1. Формула разложения применима при любых начальных услов"ях и при любых практически встречающихся формах напряже"ия источника ЗДС или тока, воздействующего на схему. 279 Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части является ф). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее Слагаемых.
Учтем, что множители Ж(р,)/М'(р„) у слагаемых суммы правой части (8.60) есть постоянные числа (не функции р(). Кроме того, функциями р в правой части являются только множители 1/(р — р,); им соответствуют функции времени вида е М [см. формулу (8.28)]. Поэтому 2. Если начальные условия не нулевые, то в состав Й(р) войдут внутренние ЭДС. 3. Если уравнение М(р) =О имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в формуле (8,61), оказы ваются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действи тельное слагаемое. 4. Если воздействующая на схему ЭДС синусоидальна.
1 Е яп(о>1 + >~) и изображение ЭДС взято в виде Е,„,, где комп р — >о> лексная амплитуда Е = Е е",то при использовании формулы разложения из правой части ее для перехода от комплекса к мгновен ному значению следует взять коэффициент при ~ (взять мнимую часть)'. В соответствии с этим внутренние ЭДС, которые появляют ся в правой части формулы разложения при ненулевых начальных условиях в цепях с синусоидальной ЭДС должны быть умножены на коэффициент ~. Умножить внутренние ЭДС на у необходимо потому, что только в этом случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части от правой части формулы разложения.
В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на ~ не нужно. 5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то принужденная составляющая решения входит в число слагае- И(>>х) мых ~, е>~' и определяется корнем р =р». Вычисление прие >и '(р~) нужденной составляющей в виде члена этой суммы, соответствующего корню р = ~о», для сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем непосредственное вычисление ее с помощью символического метода. Поэтому для сложных схем переменного тока принужденную составляющую рекомендуется вычислять символическим методом. С помощью формулы, подобной формуле (8.61), можно определять не только токи и напряжения, но и многие другие функци() времени: заряд конденсатора, скорость перемещения какого-либо тела механической системы и т.
п. Пример 94. Определить >ок йЩ н схеме рис. 8.>Ус >н>мо>цьк> формулы разло ке ния и сравни> ь с резуль1 атом решения классическим ме>одом (см. пример 80), если Е = ! 50 В; Я = Р>' = Рз = 50 Ом; С = ! 00 м кФ; ис(0) = 50 13. Р е ш е н и е. Составим послеком муз ационнук> онераторнук> схему (рис. 8.З2) имея в виду, что начальные условия ненулевые. Бну>ренняя ЭДС ис(0)/р позноляе" учесть, что до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения ис(0) ~оком Я поз1ому она направлена нстречно току/я(р). узел Осхемы заземлим. Ио1енциал уз>>" ! обозначим Ч >(р) и определим е> о по мс>оду узловых по>снциалоьч 'Мнимук>, а не действи>ельпук> час>ь из формулы разложения беру> попому "то заданная ЭДС Е а>п(Ы + >(>) есчь мнимая часть комплекса Е е >"п(см.
гл.з)- 280 АМ Е 1 ис(о) — — + — ср Р~1 Р Ч~1(Р) = 1 1 — + ср+— %1 и' и 1~з По закону Ома для участка цепи с ЭДС, Π— ~,(р) + Е7р 71(р) = й1 После преобразований Рис. 8.32 1Š— ис(ОЯ~КзСР + Е р~(р) 71(Р)— р(~1~зСР + 1~1+ ~з) Ч(Р) 1Уравнение М(р) = 0 имеет корни ~1+ ~З Р1= Ои р = — 400 с ~РзС 18 йоэтому Я(Р1) = Е = 150; Ф(РЯ) = (150 — 50).50 100( — 400).10 ~+ 150 — 50. (Р) — и1~зср+ л1 + яз; и'(р,)=100;М(р,)= 100 Так как действующая в схеме ЭДС синусоидальна и изображение ее взято в виде 1 ьим . (Š— комплексная амплитуда), то в дальнейшем от правой части форму- Р /Ь1 Рл ль1 разложения следует взять коэффициент при мнимой части (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
