Bessonov1 (1063915), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зависимости от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названием — импульсная переходная функция — понимают либо функцию и'(1), либо Ч(1). Между этими функциями имеется зависимость Ь'Р) = Ь(0,) бР)+Ь (~); Ь'(1) характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряжение) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения 1 6(1) В с, а й))(1) — напряжение на выходе четырехполюсника и во время действия импульса и после окончания. Аналогичные соотношения существуют между двумя импульсными переходными проводимостями а'(~) = а(0+) Ф)+а'Р) и между двумя импульсными переходными сопротивлениями й (г) = й(0+) 6Р)+й Р) при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С помощью и'(1) интеграл Дюамеля запишется так: и,(!) = ~ и(ч) Й'(1 — т)дт.
о Здесь п~(1 — т) = Ь(0) 6(~) + Ь" (~ — т). Формулу интеграла Дюамеля в математических работах называют формулой свертки двух функций в данном случае функций и(~) и Ь'(~). ф 8.62. Определение Ь(1) и Ь'(1) через К(р). Как упоминалось, при воздействии на вход четырехполюсиика единичного напряжения я,(~)=1(1) напряжение на выходе егор)=Ь(1).
Если это положение .1 ~вписать относительно изображений, учитывая, что 1(1) = — и обоз- Р начив изображение Ь(~) через Н(р), то Н(р)=К(р~~р. Отсюда К( )=Ф'(1)- (8.64) При воздействии на вход четырехполюсника единичным импульсом напряжения иф) = 1.6(1) = 1 = и,(р), напряжение на выходе его Ф) = Ь"(1) = и ЯКИ= 1.К(~) таким образом Ь~(1) = К(р). Пример 105.
Запишем пЮ Ь И), 6~(~) для схемы рис. 8.38, а: ! Щ=1 е / . Фг'(1)= — — е рс; ИС ~СР 1~СР+1 — 1 ~® ) 1~СР+1 ~~р+1 ~СР+1 ~ (~+)® (8.66) ф 8.63. Метод пространства состояний. Метод пространства состояний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (в нормальной форме).
Применительно к электрическим цепям под переменными состояния понимают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин полагаем известными к началу процесса. Переменные состояния в обобщенном смысле назовем х. Так как это некоторые функции времени, то их можно обозначить х(1). Пусть в системе п переменных состояния.
Матрицу-столбец пеРеменных состояния в и-мерном пространстве состояний обозна- чим 1,,1 , т выходных величин (токи, напряжения) обозначим у, х„ Определим теперь Ь(1) через К(р). Поскольку Ь(1) =' И(р), а Н(р) определено предыдущей строкой, то А(1) = —. . к(р) Р матрицу-столбец выходных величин [у[= у Источники воздействий (источники ЭДС ка) будем имено Я) вать г. Матрица-столбец источников воздействий [г[= Для электрических цепей можно составить матрич ь уравне ния вида (программа решения на ЭВМ уравнения (8.67) приведена в [23[). й = [м1 [4+МИ (8.67) [у[ = [Р[[х[+и [4, (8.68) где [М[, [У[, [Р[, [Ц вЂ” некоторые матрицы, определяемые структурой цепи и значениями ее параметров. На основании принципа наложения решение (8.67) [х())[ = е~хе[х(0))+[ ее1е ~[Ф)[х(т))дт, (880) о где [х(0)[ — матрица начальных значений х.
Первое слагаемое в формуле (8.69) описывает свободные процессы в системе, второе — принужденные и свободные при нулевом исходном состоянии [вывод формулы (8.69) см. в конце параграфа1. Из (8.68) и (8.69) находим [е())) = [Р)е~е1' [х(О))-)- ') [Р)е™~е — е[Ж) [х(т)) дт -)- )()) [х[Е)). (870) о Поясним формулу (8.69) на простом примере. Ток в схеме рис. 8.42 до коммутации был ~(0 ) = ЕЦ2К). Уравнение состояния для этой схемы й/й = — Я(Е)[+ (Е~ Ц, т. е.
~х) = Ж(И;[М1= — К(Е; [Ф1 = 1/1.;[г1 = Е; Е ( --[~ — т) Е я я ф)=е ~ — +~~е ~ — с[т= 2Р ~ Ь я, = — — — е ~.. Т~ 2й Рис. 8.42 зоо Матричную функцию е1м" в формуле (8.69) вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра [13]: е1м!' = е'!'[А!]+ е!2'[А ]+ ... + е' '[А„], (8.71) где (8.72) 1!, — собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы [М], т. е. корни уравнения с[е1([М] — л,[1] ) = О. (8.73) Из уравнения (8.73) следует, что уравнение относительно л, составляют, приравнивая нулю определитель матрицы [М], в котором все элементы этой матрицы а (т = 1, ..., и), расположенные по главной диагонали, заменяют на элементы а — л,. Характеристические числа Х вЂ” это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутационной схемы.
Запись решения в виде ряда (8.71) предполагает, что все характеристические числа различны (нет кратных корней). Если же среди корней уравнения де1([М] — Ц1]) = О будет кратный корень Х, кратности з, то составляющая е1~", обусловленная этим корнем, имеет вид (8.74) (а — 1)1 сй' — ' где Аф(Ц1] — [М]) — присоединенная матрица к матрице Ц1] — [М].
В ней все элементы а,,- заменены на алгебраические дополнения, а затем проведено транспонирование. Составляющие решения по формуле (8.74) соответствуют части решения по формуле разложения (см. $ 8.50), учитывающей кратные корни. При машинном счете функцию е'"" подсчитывают разложением в ряд: е! "=[1[+[М11+ + ". М ! [М['1~ 2! Пример 106. Методом пространства состояний исследовать переходный процесс в схеме рнс. 8.43, а.
До коммутации был установившийся режим; Е = 4 В, У = 1 А; Й =20м; Е = 1 Гн; С = 1 Ф. 301 Рис. 8.43 Р е ш е н и е. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рнс. 8.43, и. До коммутации Е У У Е1 Е (О ) = — — — = 0,5 А; ис(0 ) = Я вЂ” + — 1 = 3 В. 2Я 2 ™ 2 2Я В качестве переменных состояний выбираем ток г, и напряжение на конденса торе ис.
Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере Е заменяем на источник тока с~ с напряжением на нем ЕЙ,/Й), а конденсатор С вЂ” на источник ЭДС, причем в соответствии с теоремой конденсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т.
е. встречно напряжению ис на конденсаторе (в рассматриваемом примере конденсатор С с напряжением на нем ис заменен на источник ЭДС Е, = ис). В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резистивной), но с дополнительными источниками тока и ЭДС (рис. 8.43, б). В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения по методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассматриваемом примере не заземлен всего один узел а.
Поэтому (~, + У) + (и /Я) ~Р 1/Я вЂ” (~~ + 1)Я+ ис. По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках тока А~Й„/Й, эквивалентирующих индуктивные элементы Е„, и токи ~ = С бис /Й через источники ЭДС, эквивалентирующие емкостные элементы емкостью С Для первой ветви схемы рнс. 8.43, б Й~ Ч> =('~+ 1)й+ ис= Е с1К ь а ! с— Отсюда Й1 2Й . "с Е И вЂ” — — — — + — — — 1 Й Ь ' Ток второй ветви ~, можно определить по первому закону Кирхгофа или по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС: бис ~р ис ('~ + ~)~ + ис — ис =С Й Я И (, + Х.
Следовательно, ди /Ж =[г1/(.") +(У/С). Таким образом, уравнения переменных состояния для послекоммутационной схемы рис. 8 43, а таковы: 2Я. 1 1 — = — — ! — — и + — Š— — 7 б7 1.! Ьс 1!ис 1 . ! — = — ! +О и +О.Е+ — 7, а С1 'с С' или [х) = [М][х]+ [У][а), где[х]= 1х1= [ 1 — 0 С [Ф] = 3 Составим уравнение для определения характеристических чисел Х: де1([М] — Ц1) ) = = О. — 4 — А — 1 1 — Х Таким образом, Х + 4Х+ 1 = 0; Х! = — 0,27; Х2 = — 3,73 с 1. По формуле (8.72), — 4 — 1 10 + 3,73 [М) — Я1) — 0,078 — 0,2891 А1)- Х 3,46 0,289 1,077~ ' [М] — Ч1) [ 1.077 0 289] Х вЂ” Х! ~ — 0,289 — 0,078! По формуле (8.69), "1 [,-оп~1А ~+,— з,тз~1А 1)[~б1 +![е-'™-1 И,1+ а-"8~'-*~ 1А,!),' Выполнив подсчеты, получим 1+ 076е — од71+076е-з7з1А.
2 8 — 0,271 0 2 — 3,731 В 303 1 !т 1. Ь 1 0 С 4ц 1И бис Ю Если за выходную величину у принять напряжение и,»» между точками д и», то [ии»] =[ — й — 1) + [10! (8.75) [х) = [М) [х) для» % т, где т — постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного диффе ренциального уравнения х тх, х = е [ х(т), в виде [х„(»И = е[ [[ '1 [х„(тИ. (8.?6) Подставив (8.76) в (8.75), убедимся в справедливости решения однородного уравнения(8.75). Функцию е[ [ обозначим [~р(»И, а е[ [[ '1 = [~р(» — тИ.
Так как [М)2»2 е[з»1» = [1) + [М)» + + ..., то [ср(ОИ = [1). В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения представим в виде [хч(»И = [<р(» — тИ [и(»И [х(тИ. Общее решение [х(»И = [ч(» — тИ [х(тИ+ Ь(» — тИ [и(»)! [х(тИ = Ь(» — тИ [11+ [и(»)] [х(тИ = = [р(» — т)ПФ»И.
где»»(») нужно определить. Подставим (8.?7) [ (»И =[р(» — тИРФИ в уравнение (8.67): [[р(» — тИ вЂ” [М) [р(» — тИ) [й(»И+ [ р(» — тИ [Ю] = [й»1 [х]. (8.?8) Поскольку[~р(» — тИ есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения (8.75), то первый член выражения (8.78) — нулевая матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
