Bessonov1 (1063915), страница 55
Текст из файла (страница 55)
— ы 1с1.С инка определите его К(ув). (Ответ: .) 36. По К(1ы) = М + 1га~- й — КС~~1. + ~~И. "екоторого четырехполюсннка определите его й(1) при 1т = 0,2 Ом, С = 5 Ф, Е = 1 "". (Ответ; п(1) = 1,62е ' ~ — 0,62е ' ~.) 37. На вход четырехполюсннка с Рис. 8.47 ,~ы Щь) = . воздействует единичный импульс напряжения в виде о-функции, 1 +12ы Определите напряжение на выходе четырехполвсника после окончания действия импульса. (Ответ: 0,25е ~~.) 38.
Решите задачи 11.4; 11.12; 11.15; 11.26; 11.29; 11.32; 1!.33, 11.40; 11.47; 11.50; 11.55; 11.57. Глава девитаи ИНТЕГРАЛ ЕИ ЬЕ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД. СИГНАЛЬ1 СО 7(1) = А + ~~ А аз 1п(Ьооф + ~Р ); й=! (9.1) вторая форма записи: ~(1) =А + ) (А'ягйсо 1+А "смИ~ 1), (9.1а) где Ао — постоянная составляющая ряда; А, — амплитуда Й-гармоники ряда; ~р, — начальная фаза Й-гармоники; А„' =А сов~~,,;А "=Ар1п~р~; Т/2 1 Ао — — — ~ 1(1)Ж; о 7 — тд 310 ф 9.1. Ряд Фурье в комплексной форме записи.
Как известно из предыдущего (см. ф 7.2), в ряд Фурье можно разложить любую периодическую функцию 7(1), удовлетворяющую условиям Дирихле. Обозначим период функции Т, а основную частоту— е =2и(Т. Ряд Фурье можно записать двояко. Первая форма записи: Т/2 А~ —— — ~ Т(1) а1пйьойМ; й у. — Т!2 Т12 ,у 2 Аа — ~ ~(Т) соЫвоИ1. — Т/2 (9.3) (9.4) Из курса математики известно, что з1пх = (е1" — е 1")/(2у). Следовательно, в1п(йв 1 + $ ) = — [еУ(~"О~ + М вЂ” е 11~"'о~ + М1. (9.5) мо Подставив правую часть формулы (9.5) в выражение (9.1), полу- чим ~(~) = Ао.+ — ~' Ад(Ф' о~+'и~д — е 11~' о~+~а1].
О 21' й й.=! (9.5а) Обозначим А„= А е1ь~. (9.6) (9.7) А = — А е "ь~. Тогда ряд (9.5а) можно записать так: Д(1) = АО + . ъ А4е"~О~. 2у к й= — ао (9.8) Формула (9.8) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс й может принимать все целые числовые значения от — оо до+ оо, но не может равняться нулю, так как постоянная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.
Составим выражение для комплексной амплитуды А,. По определению (см. формулу (9.6)1, А, = А„е'~~ = А созф, + уА,з1птр„= А,' + уА,", (9.9) где А„' определяется формулой (9.3), А„" — формулой (9.4). 311 пример 109. Представить функцию Д1)=2+Зяп(юоТ+ЗО') + 2в1п(2ьо1 — 45 ) в ком пле к спой фор м е за и и си. Решение. Ао — — 2;А1 — — Зе1~~; А ~ — — — Зе '~; А2 — — 2е ~~; А 2 — — — 2е~~~; 1(1) 2 + (Зе/(еоф + 3О'1 Зе-!(вой + 30'1 + 2ед2ез(ф — 45'1 2 — У(2юоф + 45'1) 2/ Подставим правые части формул (9.3) и (9.4) в формулу (9.9): тр Т/2 Ад = — ~ 1Я(21пйшо1 + 1соъйыо1)И = — ~ 1Я~соМво1 — ~Мпйььо1)И, 2 ..
2у т о о — т — Т/2 — Т12 или т(г А„= — ~ ЯТ)Е т~ ОаМ. 2/ г т — туг (9.10) Подставим правую часть формулы (9.10) в формулу (9.8): м=по Т12 Иг) =Ао+ ~~" е' "о' — 5 тЯе ' Мб1. т т (9.11) — Т/2 Среди функций т(1), для которых интеграл у(1)Ж расходится, наиболее важной для практики является функция т(1) = А, где А — постоянное число.
Для того чтобы эту функцию представить интегралом Фурье пользуются следующим приемом. На ходят интеграл Фурье для функции ф) = Ае Р~, где р ~ О и т(1) = О при 1 ( О. Ллн этой функции ~ф)Ж сходится, поэтому она может быть представлена интегралом Фурье. Далее в полученном выражении устремляют р к нулю. 312 ф 9.2. Спектр функции и интеграл Фурье. Ряд Фурье — это тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте оз . Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения. Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье(из формулы (9.11)1 предельным переходом при стремлении периода Т к бесконечности.
На функцию Д1) при представлении ее интегралом Фурье накладывают ограничение, а именно, полагают, что ~ ХГ) ЙГ есть величина — оо конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд функций этому условию не удовлетворяет'. Т/2 Так как по определению [см. формулу (9.2)], л = — ~ 1(/)а, а при 1 О т — Т/2 т~оо ! йс)й~ есть величина конечнаи, то Ао = О. Обозначим (9.12) Формула (9.12) дает возможность преобразовать функцию времени ф) в функцию частоты 5(уь); преобразование (9.12) называют прямым преобразованием Фурье, а 5(1о) — спектром функции 1Я. Это комплексная величина, зависящая от вида функции 1(1). В соответствии с (9.!2) в (9.11) заменим — Ч(1)е/ 'с!1 на — 5(1в)с1ьэ и Т~ 2л — Т/2 учтем, что при изменении Й от — оо до+ оо ь = Ав, также изменяется от — оо до + оо.
Следовательно, ф) = — ~~ 5(1о))е/ 'дв. 2д Заменив сумму интегралом, найдем + оо 1И = —, ~ ь(1~)е/"'~ . (9.13) Формула (9.13) представляет собой запись интеграла Фурье (формулу обратного преобразования Фурье). Она выражает непеРиодическую функцию 1(1) в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами 5(уь)йа [5Ць) конечно, но произведение 5(/ь)йь бесконечно мало, так как бесконечно мало значение дв]. 313 Т/2 1 Преобразуем выражение — ~ ф)е " Аи, стоящее под знаком — Т/2 суммы в формуле (9.11).
С этой целью произведение йо, заменим на ь [под ь будем понимать изменяющуюся (текущую) частоту]. В ряде Фурье разность двух смежных частот Ла = а = 2п/Т. Следовательно, 1/Т = Ьа/(2п). При Т-+.оо заменив Ьа дифференциалом с1а, получим Т/2 + оо 1 — ( ф)е ' "Ом= — ~ 1(Ф)е /н'Йх.
— Т/2 — оо В соответствии с формулой (9.13) для нахождения реакции сис темы на любое воздействие следует его представить в виде беско нечно большого числа гармонических воздействий, символическим методом найти реакцию системы на каждое из воздействий и затем просуммировать реакцию на все воздействия.
Преобразования (9.12) и (9.13) являются взаимно обратными. Отметим, что представление функции Я~) в комплексной форме в виде интеграла Фурье [формулы (9.13)] привело к необходимости формально ввести отрицательную угловую частоту. При этом сум ма слагаемых подынтегральной функции (9.13) при ~ь дает сину соидальные колебания частоты ю. Сопоставим формулу (9.12) с формулой преобразования по Лапласу: г(р) = ~ Дг)е е'й, о (9.И) Рис.
9.1 314 еслибы) = О при ~ (О. Если учесть, что Д1) = О при 1 = О, и заменить р на ~о)„то (9.14) переходит в (9.12). Следовательно, формулы для спектра функции 5(уь) могут быть получены из соответствующих выражений для изображений по Лапласу, если в последних р заменить на ув. Пользуясь соотношениями ф 8.39, найдем спектр функции Д~) =е ', полагая, что Я1) = О при 1 ~О. Изображение по Лапласу 1/(а + р).
Заменим р на уа и получим спектр 5(уь) =1~(о, +уь);5(уа) есть комплексная величина, равнан 5(и)еге . Модуль ее ранен 1/~1ее + и~, а)угумент ч), = агс1Д вЂ” оу/а1. Графики для экспоненциального импульса изображены на рис. 9.1, а, б. !!ример 119. Найти Я(ь) и Ч~(ы) для прямоугольного импульса (рис. 9.1, а) амплитудой А и длительностью 1„. Р е ш е н и е. По формуле(9.12!определим спектр и 1 — е !"'и А 5(1е) = А)е ~~~ д1= А .
= —.11 — созЫ„+ 1з1пи1„]; /И /0) О ®~и ~~и = ~2(! — совМ ) = 4з1п — = 2 ~ з1п — 1. и Модуль 2А!и га1и $ з1пы(и $ ы1и 5( ) = — ~1~ — =А1„ /— Ыи 2 " 2 2 График этой функции приведен на рис. 9.1, г. Пунктиром показана огибающая. Аргумент ~а, для прямоугольного импульса вычислим по формуле созе!„— 1 и !д~ь= .
= — !д —. График ~р, показан на рис. 9.1, д. При значениях з1пь|„2 ' Ы„= и, Зп,...Ч~ возрастает скачком на и. Обратим внимание на то, что при определении 5(уа) путем замены р на уа в формуле для г(р) следует соблюдать некоторую осторожность, если функция ~(1) имеет импульсный характер, иначе можно потерять импульсную компоненту в 5(у!о) в виде дельта-функции. Например, изображение функции 1(1) по Лапласу равно 1/р, 1 тогда как спектр 5Цо) функции 1(1) равен не 1/уа, а пб(в) + —.. Чтобы (й) показать это, определим спектр функции 1(1)е !'®~0), а затем устремим р-+.О: е е — .
' — 1 ф) — 1и — 1~1 ~! 1 о . ы Р ( !~а Р2+ 2 р2+ 2' Первое слагаемое правой части при ~-+О и при в-+О стремится к бесконечности, т. е. имеет вид дельта-функции аб(со), второе слагаемое правой части при р — ~-0 равно 1Дь. Чтобы вычислить коэффициент а, проинтегрируем р/(рх + оР) = аб(го) по со от — оо до +со: 60 СО д~ = ~ б(~)д~. Р ОО ОО да 1 гв л л Но р ~ = р — агс!д — 1 1= — — — — = п,а ~ б(~о)до = 1.
рз+ в' р !! 2 2 1 Поэтому а = л и спектр 5(ув) функции 1(~) равен лб(со) + —.. В /О) примере 110 при определении 5(~ь) функции ~(1) (см. рис. 9.1, в) слагаемое в виде дельта-функции в спектре отсутствует, так как у Функции имеются два равных по значению, но противоположных по ! ! знаку скачка [ль(ь)+ —.1 — [ль(ь)+ —.1е ! ', при а = 0 слагаемые /ОЭ /(О лб(ь) выпадают. ф 9.3. Спектр функции, смещенной во времени. Спектр суммы функций времени. Если функции времени ~(1) соответствует спектр 5(уо), то функции ~(1 — т) соответствует спектр е !"'5(ую), что следует из теоремы смещения в области оригиналов (см. ф 8.40), если заменить р на уоз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
