Bessonov1 (1063915), страница 50
Текст из файла (страница 50)
и. 4 $8.49), поэтому умножим внутреннюю ЭДС Ег(0) на !'. После небольших преобразований найдем Е +17-'(0)(р — 1 ) М(р) 7(р)— (Р— 1е )(й~+РЕ) М(р) 281 Ток в схеме рис. 8.18 87 150 ( — 50)е что совпадает с результатом примера 80. Пример 95.
Найти 1(1) в схеме рис. 8.19 путем применения формулы разложения сравнить рузультат с результатом решения той же задачи классическим методом См. пример 81)- Р е ш е н н е. Изображение синусоидальной ЭДС 127 з1п (3141 — 50 ) Е(Р)=Е ., где Е =127е 1 В. 1 Р— !~в н,, В схеме ненулевые начальные условия: 7(р)(Кд+р!.)=Е(р)+И(0) 1(0 )= — 25,35 А. Следовательно, МЙ=Е +1И(0)(р — М; М(р)=(р — 1о4К~+рЦ. Уравнение М (р)=0 имеет корни р,=уьс ~ и р~ — — — й~/Е= — 210с ~, поэтому М'(р)=К +рЕ(р — 7ш)' М'(р,)=2+31'=3,61е) М'(р )= — 36!е1~ ®=3,6!е П~ ~; И(р!)=!27е И(р2)=127е ) +у( — 210 — 1314) — ( — 25,35)=5,4 — у46,4=47,1е Ток 127 !!Он — ВО') 47 1е — !83'24' е 3,61е~"в ~о 3,61е ! эз 4о 1(!)=1тп =35,2з!п(ь| — 106'20')+13,1з!п40'16'е ~®' А; 13,1в!п40'16'=8,45 Результат совпадает с результатом примера 81, Функция Е(р) аналитична в области Ке р > ч и стремится к нулю при ~ р ~-+ оо.
При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции Цр): (6) 1(!)= —. $ Е (Р)ер'дР Полюсами называют значения р, при которых Е(р) обращается в бесконечность. В том случае, когда Е(р)=й(р)/М(р), полюсами являются корни уравнения М(р)=0. В теории функций комплеин ного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) равэ на сумме вычетов (Кез) подынтегральной функции во всех ее полюсах, т.
е. ~Л вЂ”,ф Р(р)ер др=~~~ Кеэл(р)ер. 1 р1 зи 2л/ Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, 4 которую уменьшается разделенный на 2щ контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот по А!(р) Йрь) р, люс. Но вычет функции — ел' в простом полюсе р, равен —, е". М(р) М'(рь) ф 8.50. Дополнения к операторному методу. 1. Для перехода от изображения Е(р) к функции времени Д1) может быть использовано обратное преобразование Лапласа: ~+М (а) П1) = —.
~ Р(р)еР')р 2л) Поэтому Ф(М д1)= 1 — ерш!. Е М(р) )а — ! Р=рр Ж(р)(р — р,)'ер' М(р) й(р) .,', й(Р,) М(р) ° ~ М~(р (г 1)! 1 г — ! й=! Л!(Р)(р — р,)'ер' М(р) й(р) ! Пример 96. Найти оригинал М(р) Р (р+а)' !1'(Р) р! ! — а! Р е ш е н и е. Корню р= — а соответствует оригинал, е = — е М (Р)р= — а а корню р=о второй кратности — оригинал Рйр! ] 1 еР! г!Р Р+ а р=о р=о Р'(Р+ а) р о а а 2 1-еа1 1 следовательно, —.' ° + р2» + а) а~ а а2 5 8.51. Переходная проводимость. В $2.15 указывалось, что ток ьвлюбой ветви схемы может быть представлен в виде произведения напряжения У на входе схемы на собственную или взаимную проводимостью. 1= уд.
При переходных процессах это соотношение также имеет силу. ~сли на вход какой-либо цепи в момент 1 = 0 включается постоянное напряжение У (ЗДС Е), то ток!(1) в любой ветви этой схемы Равен произведению постоянного напряжения У на проводимость Ф): Ц) = Уд(1).
(8.62) При переходном процессе проводимость является функцией ~ремени, поэтому в скобках указывается время 1; д(() называют Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, вывели формулу разложения (8.61). 2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р) =0 имеет д простых корней (р„р„..., )у ), корень р, кратности г и корень р, кратности з.
Тогда 4 Рис. 8.33 переходной проводимостью. Она измеряется в тех же единицах (См), что и обычная проводимость. Если в формуле (8.62) принять У = 1 В, то ~® = д(~), т. е. переходная проводимость какой-либо ветви схемы численно равна току ф) в этой ветви при подключении цепи к источнику постоянного напряжения в 1 В. Индексы у д(1) указывают на то, какую именно переходную проводимость имеют в виду.
Если индексы одинаковы, то имеют в виду собственную переходную проводимость ветви, номер которой соответствует цифре, указанной в индексе; если индексы разные, то — проводимость между теми ветвями, номера которых указаны в индексе. Например, если источник постоянного напряжения У при нулевых начальных условиях включают в первую ветвь, то ток первой ветви ~, (1) = (/дп (1), а ток третьей ветви Кз ( К) = (/аз! (К). Г1ереходную проводимость можно определить расчетным либо опытным путем.
При расчете д„(1) классическим или операторным методом ток А-ветви находят при включении источника постоянного напряжения в й-ветвь; дд(1) ток Й-ветви вычисляют при включении источника постоянного напряжения !/в т-ветвь. Далее, в полученных формулах полагают У = 1 В. При опытном определении переходной проводимости ток ~(1) соответствующей ветви находят путем осциллографирования.
В э 2.!б было доказано, что йда —— д~л. Это свойство вытекает из симметрии определителя относительно главной диагонали. Аналогично можно доказать, что операторное изображение проводимости д~ (р) равно операторному изображению д ~(р). Но если равны изображения двух переходных проводимостей, то равны и сами переходные проводимости, т. еа~ Р)=а ~(~) Данное равенство свидетельствует о том, что на переходные процессы распро страняется теорема взаимности. Для переходных процессов теорема взаимности формулируется следующим образом (см.
«скелетные» схемы рис. 8.33): в любои линейной электрической цепи ток переходного процесса я-ветви г (1), вызываемый включением источника ЭДС е (~) в т-ветвь (рис. 8.33, а), равен току переходного процесса ~ (1) в т-ветви, вызываемому включением источника ЭДС е~ (1) в й-ве™ (рис. 8.33, б), при условии, что е, (1) = е,„(1). ф 8.52. Понятие о переходной функции. При подключении линейной электрической цепи с нулевыми начальными условиями к источнику постоянного напряжения У между какими-то двумя точками а и в схемы возникает напряжение и., (1), являющееся функцией времени и пропорциональное воздействующему напряжению У: и„(1) = УЙ(1), (8.62а) где ИЯ вЂ” переходная функция.
Это безразмерная величина, чис- ленно равная напряжению между точками а и в схемы, если на ее вход подать постоянное напряжение в 1 В; Ь(1), так же как и дЩ можно определить расчетным либо опытным путем. Пример 97. Определить переходную проводимость схемы рнс. 8.2. Е Р е ш е н н е.
При замыкании ключа 1(!) = — (1 — е 7 ). й По определению, переходная проводимость равна току в цепи при Е = 1 В. й Следовательно, д(1) = — (1 — е ь ). Я Пример 98. Найти собственную переходную проводимость первой ветви д11(!), взаимную и переходную проводимость между третьей и первой ветвями дз1(!) и переходную функцию напряжения на конденсаторе й„с (~) для схемы рис. 8.34.
Па- раметры схемы: й1 —— 1000 Ом; Р2 — — 2000 Ом; С = 50 м кФ. Р е ш е н и е . По определению, 11 = ЕИ1 1(!)' 'з = ЕЮз1(!); нс = Е11иа Я. С помощью классического метода определим: 1~2, %1 + !~2 +й Я!гС Полагая в этих формулах Е = 1 В, найдем: ! Я1 + Я2 ~11() р +р + о (о +о) 911!2 аз1 (!) = р '., й„с(!) =, „, (1 — е'). 1 2 Подстановка числовых значений дает: я д11(!) = О,ОООЗЗ + 0,00067е ~~См; 2 дз1(1) = 0,001 е ' См; Ь„с —— — (1 — е ). Пример 99. Определить взаимную переходную проводимость между первой и ретьей ветвями схемы рис.
8А, а при включении источника ЭДС в первую ветвь и следующих значениях параметров: К! — — К2 — — ! 00 Ом; Е1 — — 1 Гн; С = 100 мкФ. Р е ш е н и е . Изображение тока третьей ветви И~2С й (р) 1з (Р) р' ц Е1 с+ р р! г2С+ Е1) + к1 + л2 М (р) 285 Рис. 8.34 Рис. 8.35 Корни~равнения М(р)=0(см.прнмер76):р! — — 100+!'1ООс ',р2= — 100— — 7 100 с Полагая Е = 1 В, в соответствии с формулой разложения найдем Й2 Сер~ й СеР2' !3 (г)— + 2р, Л2 1.1С+ (г! Л2С+ 7.1) 2р, К2 г.1С+ Рр20+ ~1)' ° После подстановки значений параметров, корней р! и р2 н использования формулы (е!' — е 1~)/27' = 3!пх получим дз1(1) = 0,01 е ~00!8!п1001 См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
