С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 41
Текст из файла (страница 41)
д Шаговое восхождение с последовательным отбрасыванием наихудших точек повторяется до области, близкой к экстремуму, На рис, 53 показаны схемы достижения экстремума одной и той же поверхности отклика методами крутого восхождения и симплекс- планирования, Рассмотрим движение к экстремуму на примере задачи оть!скания наибольшего значения целевой функции двух факторов. Для достижения экстремума методом крутого восхождения (рис, 53, а) в окрестности точки М с известным значением целевой функции был поставлен полный факторный эксперимент 2' (точки ! — 4), движение по градиенту осуществлялось в опытах 5 — 9 до тех пор, пока значение Целевой функции не начало ухудшаться С цензрОм в лучШей тОЧ- 529 х! = 1 2! (1 + 1) (Н.
141) (Н.142) б кг (Н. 144) П', О (Хг 'т- о (Н. 146) х! «в ... «! ... «А-! хь — х, хв ... х! .. хь-! 0 — 2хв ... х! ... хь-! хь 0 0 ...— 1«З ... хь-! хь (Н,!40) 0 0 ... 0 ...— (Ь вЂ” !)хь! хь 0 0 ... 0 ... 0 — Ьхь 230 23! Рис. 53 Оимплекснми не!од н крттое восхождение по поверхности отклика ке 7 пришлось вновь реализовать план 2в (точки 1Π— 13), Новое движение по градиенту (точки 14, 15) приводит к экстремальному значению целевой функции, При использовании симплекс-планирования (рис, 53, б) в исходном симплексе (точки 1 — 3) худшей оказалась точка 2. Точка 4 является зеркальным отражением худшей ~очки относительно с! — центра грани ! — 3, В новом симплексе 1, 3, 4 худшей оказалась точка Е В результате применения симплексного метода достигли области оптимума (симплекс 9, 10, 11).
Таким образом, оба метода потребовали примерно одинакового числа опытов. Из рис, 53 видно, что вблизи оптимума при применении симплексного метода может возникнуть зацикливание Достигнув области оптимума, симплекс начинает вращение вокруг вершины с максимальным значением отклика, Если симплекс располагается относительно поверхности отклика таким образом, что значение отклика в новой точке опять получается самым плохим, необходимо вернуться к прелыдущему симплексу и попробовать следующее благоприятное направление.
Наличие ошибок в определении отклика снижав~ скорость движения к экстремуму, Исходный симплекс может быть по-разному ориентирован в факторном пространстве, Если центр симплекса совпадает с началом координат, одна из вершин лежит' на координатной осн, а остальные располагаются симметрично относительно координатных осей, плоскостей н гиперплоскостей (в многомерном случае), то координаты вершин симплекса задаются матрицей Хс При длине стороны снмплекса, равной 1, Высота такого симплекса Ь! (расстояние от вершины до противоположной грани) равна я+1 Ьа= к 2й(1+ 1) где (с — размерность симплекса, Число опытов в симплексной магри е для )с независимых факторов равно Ж = (с+ 1. трнце Симплексные планы относятся к так называемым насыщенным планам, число опытов в которых равно числу коэффициентов в уравнении регрессии, В этой матрице соблюдаются условия и к Х"" = хлхы=О, !Ф1! 1, 1=1,2, ..., Ь н 5 хи=О, (Н.!43) г=! г=! и но не соблюдается условие Ехд = !Н.
Только для столбца хо, все элементы которого равны 1, и ",~„'4! = ~' г=! л' Для любогоу-го столбца Е х', равна и ! ! ' 2!(1+ Ц ' 21(1+1) По этому для симплексного плана ковариацнонная матрица имеет вид и коэффициенты регрессии определяются по формулам. н ~ч", у! 1=1 Ьв- — — ', Ьз= 2 ~' хне!! ! = 1,2...., Ь. (Н.146) г=! С имплексные планы — планы ротатабельные. Основным их недостатком является отсутствие Т)-оптимальности дисперсия коэффициентов в ортогональных планах определяется по формуле ваепр ~ь вг Х Ъ < ! (Ч. 147) Для симплексного плана, согласно (Ч,147), (Ч.
148) 2чзое р Г в то время как для планов типа 2 и 2 к-д аоепр вя 6>— Таким образом, коэффициенты уравнения регрессии, полученного по симплексному плану, определяются с меньшей точностью, Построить насыщенные планы с элементами +1 удается только для числа факто- Р ов, равного 4а — 1, где а — целое положительное число Например, для 3, 7, 11, 15 и т, д факторов, Для практического использования симплексной матрицы (Ч.140) заранее подсчитаны по формуле (Ч,141) числовые значения ее элементов; 0,109...
0,109... 0,109... 0,109... 0 109. 0.109... О, 129 О, 129 О, 129 О, !2а9 О, 129 — 0,645 0,5 0.289 — 0,5 0,289 0 — 0,578 0 0 0 0 0 0 0,204 О,!58 О,Й)4 0,158 О,аз)4 0,158 — 0,612 0,156 0 — 0,682 О 0 (Ч. 149) ΠΠΠΠΠ— 0,655 (Ч. 151) 232 План эксперимента в безразмерном масштабе для )< факторов состоит из )< столбцов н )<+ 1 строки матрицы (Ч,149), После реализации исходного симплекса анализируются результаты для выявления наихудшей точки, Затем проводится отражение наихуд- шей точки относительно центра противоположной грани симплекса, и таким образом находятся услоьчя для проведения нового опыта взамен исключенного. Условия проведения опыта в отраженной точке могут быть найдены следующим образом; к<в+8) = 2Х<е) — Р), 1 = 1,2 ..., 6 1 1 (Ч.150) где хе' — у-я координата наихудшей точки !7 х," ь Н вЂ” у-я координата новой точки, получаемой в результате отражения; х')-у-я координата центра противоположной грани; в+! Х лн' < — 1 «<') =, 1 )61.
/ „«Ч <О) <О) „<О), +, (Ч. 152) где х; -,)зя координата центра исходного симплекса При обычном факторном методе добавление еще одного параметра приводит к необходимости увеличить число опытов в два раза. Отметим еше следующие преимущества симплексного метода, При использовании симплекс-планирования параметр оптимизации у может измеряться приближенно; достаточно иметь возможность проранжировать зти величины. При этом можно одновременно учитывать несколько параметров оптимизации выход продукта, стоимость, чистоту н т,д, Параметр ог<тимизации может не измеряться количественно.
Метод не предъявляет жестких требований к аппроксимации поверхности отклика плоскостью Симплекс-план может быль использован как алгоритм при оптимизации процесса с применением управляющей машины, Пример 9, Сравнить эффективность симплексного метода оптимизации и метода крутого восхоидения на основании результатов восьми опьпов <см.
табл. 38!. Р е тц е н и е. использованный в примере ! <см. с. !75) план — Чм от ПФЭ 2' является О-оптимызьным симплексом в семимерном пространстве. Этот план Оыл ис. пользован в качестве исходного симплекса <опыты 1-8 в таблице) Наива аомта 0,022 0.063 0,022 0,063 0,022 0,063 0,022 0,063 0,069 0,028 0,035 0,028 0,035 0,0094 0,035 0,0094 0,035 0,028 0,10 0,028 О,!О 0,0094 О,!О 0,0094 О,!О 1350 !300 1300 1350 1300 1350 !350 !300 1360 1,5 2,0 2,0 1,5 1,5 2,0 2,0 1,5 1,42 0,333 О,ЗЗЗ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,333 0,333 0,310 0 0,129 0 0,177 0,295 0,404 0,2665 0,4305 0,42 0,152 0,127 0,152 0,127 0,127 0,152 0,127 0,152 0,124 0,031 0,109 233 Исходный )с-мерный симплекс можно достроить до ((с+1)-мерного, вводя только одну новую точку. Такая необходимость возникает, если на первом этапе исследования рассматривалась зависимость изучаемого процесса только от )с факторов, в то время как он зависит от ()с+ 1)-го фактора, Величина ()<+ 1)-го фактора по тем или иным причинам не изменялась в эксперименте.
Тогда все точки lс-мерного симплекса в действительности представляют собой точки (к+ 1)-мерного пространства, которые находятся в гиперплоскости хк„=зг', где г( — фиксированное значение ()<+ 1)-го фактора в безразмерном виде Из геометрических соотношений следует, что для построения снмплекса размерностью ()4+1) из )<-мерного симплекса необходимо найти центр тяжести точек /<-мерного симплекса в <7<+ 1)-мерном пространстве и провести через эту точку перпендикуляр к гиперплоскости, в которой лежат точки 7<-мерного симплекса Если на этом перпендикуляре отложить отрезок длиной )зк„(высота /с+1-мерного симплекса), то полученная точка вместе с исходными образует ()<+ 1)-мерный симплекс, Координаты новой точки Продоынение < О, 022 3+ 0,063 4 7 < 0,028 4+3 0,0094 <е> 3 0,035+ 4 0,1 0 072! '8 О 4 1350+ 3.1300 г = 1330, <> 41,5+32,0 7 3 0,152 + 4.
0.127 7 ( 4 0,333+ 0,5 3 7 г<<Р> = 2.0,0454 — 0,022 = 0,0688, г (Р> = 2 0,02 — 0,0094 = 0,0306, т г<р> — 2 0,0721 — 0,035 = 0,109, га — 0,25 0,05 га — 1,20 0,20 г<Г > 2 1330 1300 1360 гз(в> = 2 1,71 — 2 = 1,42, ге<Я> = 2 0,138 — 0,152 = 0,124, 235 234 Анализ резулыатов (таблица) показывает, что наихудшие результаты получены в опытах 1 и 3 Заменим точку 3 ее зеркальным отражением — точкой 9.
Координаты новой точки вычислим по формулам (17.150) и (9.151) Определим координаты точки с— центра грани, образованной точками 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8: Тогда координаты девятой точки выразятся следуюп(нм образом: гт<р> — — 2 0,405 — 0,5 = 0,310, Аналогично при отражении первой точки были получены координаты десятой точки. В симплексе 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1О худшая точка 2 Ее отрюкенне лает координаты точки 11 отражение точки 4 — координаты точки 12 В симплексс 5, 6, 7, 8, 9, 1О, !1, 12 худшей является точка 7. Ее отражение дает каординатъ~ точки 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
