С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(Ч, 04), их пересчитывают, принимая во внимание ус о условие орто- ез, +тз -1 1 |пз (Ч. 106) Вычислив коэ ьл и ффиц енты уравнения регрессии в каноническом виде, ип поверхности тем самым определяют тип поверхности отклика Т ем ма. ели поверхность ототклика определяет стратегию поиска экстрем м, Б клика представляет собой эллиптический параболоид и Л!!(О, Лву..О, 201 (Ч.104) Хд = еда (х| — х, )+ еда(хз — «за) + ... + тдд(хд — хдз).
Коэффициенты т,„являются решениями /в систем однородных уравнений, Для Л! система будет иметь вид (܄— ЛВ та, + в/з Ь„т „+ ... + '/, Ь,д тпд = 0 алзс джаз »э (Ч. Г07) тгтш Ггм(л ггглвх гг Рис, 39, Гиперболы равного выхода Рис. 40. Поиск экстремума при наличии ограничений (Ч.! 08) /Л в у — 52,!2 х,= ~ лу '; х,=о. 0,35 Л вЂ” = — 1,5 2хз + 1,61 ха = О, ду дх, Л ду — = 1г61 хз -— — О, дха хзз — — 0' хм=о' У =52!2 (Ч.)09) — 1,5 — Л ' О 805 Ра (Л) —— 0,805 0 — Л Ра (Л) = Лз+ 1,5Л вЂ” 0,64 = О.
203 202 в центре поверхности — максимум, Параметр оптимизации при Лы>0 и Л»»>0 максимальное значение имеет на границе области исследования Если поверхность отклика — гиперболический параболоид Л У Уа Лзз л1 Лвз Хз 2 и определяются условия, обеспечивающие максимальное значение параметра оптимизации, задаются значениями у>у, при Хз =0 и осуществляют движение вдоль канонической оси Хп имеющей положительный канони ческий коэффициент При этом проверяют выполнение ограничения х -+ а, подставляя значения Х,= ~ ~гг —; Х,=О У вЂ” Уа, Лн в формулы (Ч.95). В многомерных задачах поиск оптимальных условий процесса ведут на ЦВМ, используя обычно один из методов нелинейного программирования. Пример 4, Получено уравнение регрессии степени разложения фдотацнонного концентрата фосфарита Каратау от температуры и содержашихся в фосфорной кислоте прнмесеи: у = 35,4 + 4,51 хв — 1,3 хь — 1,5 хя + 2,66 хз — 1,47 з~д + 1,61 хз ха, Л Требуется определить условия, соответствуюшне мыссимальной степени разложения (ума„), при ограничениях, наклапыааемых сферой с радиусам, равным звездному плечу (табл 47) Р е ш е н и е.
Для определения условий максимальной степени разложения переменные, карактер влияния которых ясен из уравнения регрессии, принимаем равными к»-+2; хь — — 2. Влияние концентрации 80» в фосфорной кислоте предо»валено в уравнении положизельным линейным и отрицательным квадразичпым членами Оптимальное значение хз, равное 1,533, определяем из условия экстремального значения г по хз Прн этих значениях факторов х», хз и зз уравнение регрессии примет вид Л у = 52,12 — 1,5х) + 1,61 х, ха. Приведем зто уравнение к каноническому виду, Коордннагы центра поверхности 5 равны. Таким образом, центр поверхности совпалает с пептром плана, Характернстнческии полипом Корни полинома Ь -+0,35, Л» - -1,85.
Уравнение в канонической форме у — 52,12 = 0,35 Хяг — 1,85 Хз . Поверхность отклика — гиперболическии параболоид, В сечениях поверхности отклика плоскостями у - сопзг — гиперболы (рис. 39) В центре поверхности — минимакс Линейное преобразование задается системои. Х, = 0,920 хз+ 0,39 ха, Ха= — 0,39 х, + 0,92 ха. Для определения максимальной степени разложения выходим нз минимакса по оси Х (коэффициент канонической формы положительный), приравняв Х» нулю: Увеличивая у, проверяем при этом выполнение условий х1 = х» < 2, Максимальная величина степени разложения получилась равной 53,5% (х1 = х1,82; х» = х0,795). При увеличении у до 54% значение х~) 2 В полученных оптимальных условиях (х1 +1,82; «» -~-2; хз -!.1,533; хз 40,795; хе -2) и (х~ -1,82; х» +2; хз — -1-1,533, хг — -0,795; хз--2) были поставлены контрольные опыты Степень рюложения получилась соозветстаенно равнои 55,8 и 53,7% Таким образом, расхождения с расчел»ыми лежат в пределах ошибки эксперимента (зг --.
»г4,466 = 2,1). Если процесс описывается несколькими уравнениями регрессии, приходится решать компромиссную задачу — определять экстремальное значение одной функции отклика при ограничениях, накладываемых другими функциями отклика и границами области исследования (рис, 40). Пусть требуется найти экстремум функции у-2' (хп ., х„), которая зависит от /с переменных х,(у 1, „, )с), связанных в свою очередь соотношениями Ри (хз, ха) = О, и = 1, ..., ш, гл ~ й. Экстремум, который достигается функцией Яхп ..., х„) с учетом выполнения соотношений (Ч.109), обычно называется условным или относительным.
Аналитически эта задача поиска условного экстремума решается с применением множителей Лагранжа. Формально задачу отыскания условного экстремума функции 7 можно свести к определению безусловного экстремума функции Лагранжа Ф (х, Л) = 7 (х) + ~ Лц Чц (х), (Н. !10) ы=! рассматриваемой как функция (г+т переменных, где )., †неопределенные множители Лагранжа, Примером применения неопределенных множителей Лагранжа может служить решение такой компромиссной задачи В широком диапазоне изменения параметров исследовали процесс конверсии нитрата кальция и фосфорной кислоты в твердый монокальцийфосфат и азотную кислоту в присутствии л-бутилового спирта Был реализован ротатабельный план второго порядка и получены уравнения регрессии вИда; уь =- 60,9+ 14,5 хь+ 3,83 хь — 4,))9 хь+ 2,14 хьхь+ 2,71 хьхь+ +2,21 х хь+ 1,28 хьхь — 2,48 хьхь+ 0,68 хьг+ 0,68 хьг+ОВхь, (Н.! !!) уь =- 1,682 — 0,85 хь + 0,2722 ха+ 0,062 хь — О, 041 хьхь — О, 034 хьхь + Л + О, 032 хьхь — О, 0235хз — О, 015хзь (Н.112) где у1 — степень конверсии; уь — отношение питательных вешеств в удобрении в пересчете на Р, О, и )ь) (азот); х, — концентрация исходной фосфорной кислоты; хз- продоложительность контакта; х, — норма фосфорной кислоты в расгворе; хь — объемное отношение кислота; спирт; х— температура конверсии, С учетом ограничений на независимые переменные, накладываемых первой стадией процесса — кислотного разложения фосфатов; х, = — 0,5; х,-О.
и необходимостью работать с высокой производительностью х,-О имеем; На соотношения питательных вешеств в удобрении по агробиологическим соображениям накладываются ограничения, Необходимо было получить удобрения с одним из следующих соотношений питательных веществ. Р4044(Ч= 1:1' Р404:!Ч= ! 5:!' Р4041!2= 2: !.
!1ричем предпочтительнее всего гюлучить уравновешенное удобрение с соотношением 1: 1. С применением неопределенных множителей Лагранжа решалась задача определения значений хз"' и х,"", обеспечиваюших максимальную степень конверсии с ограничением по соотношению питательных вешеств в удобрении. Функция Лагранжа имеет вид Л Л Ф =у, + ь (уь — 2, 112 — 0,2722 хь — О, 083хь — О, 032 хахь+ + 0,0235 хзз+ 0,015ххь). (Н. 115) гвл у, =- 53.65+2,76 ха+ 5,45хь — 2,48 ха хь+ 0,68 хзь, (Н. 1!3) Л у = 2,112 + 0,2722 хь+ 0,083 хь+0,032 хь хь — 0,0235хьз — 0,015 х~4. (Н.!14) Л Система уравнений для определения оптимальных режимов; дФ вЂ” = 2, 76 — 2,48 хь + г ( — 0,2722 — 0,032 хь + 2 О, 0235 хь) = О.
дхь дф — = — 5,45 — 2,48 хь+ 2 0,68 хь+ 4( — 0,083 — 0,032 ха+ дхь -1-2 0,015 хь) = О, (Н. 116) дФ Л вЂ” = уь — 2, 112 — 0,2722 хь — О, 083 хь — 0,032 хь хь -1- дь + 0 0235 хзз + О, 01544 2О. Система (Н.116) решалась на ЦВМ при ограничениях на хз и х„, накладываемых областью исследования; х -+ а =2: 2 и х4-+ а -ж 2; 1) у,-!:1; 2) у, 1,5: 1; 3) у,-2;1. Оказалось, что внутри исследованной области можно получить только удобрения с соотношением питательных вешеств 1,5: 1 и 2 1. В результате расчета имеем.
у,'"=72,6374 и у,=2,03 при х;"'-0,7 и х,'ы' — — 2,0; у,'"-54,0574 и у,-1,46 пРи При определении оптимальных условий процесса иногда возможна некоторая экстраполяция за границы области исследования, Во всех случаяхтребуется экспериментальная проверка найденных расчетом оптимальных условий процесса, 9. Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризугошихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств, В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагаегся использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ и др К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует огнесги вычислительные трудности В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителеи Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном в качестве обобгценного критерия оптимизации так называемой обобигеиной функиии желательности 0 Для построения обобщенной функции желательности Д предлаьается преобразовать измеренные значения откликов в безразмерную шкалу желательности ь( Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значением отклика у и соответствующим ему значением 4( (частной функуйей желательиоети), является в своей основе субъективным, отражающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам Для построения шкалы желательности удобно использовать метод .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
