С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2 3 4 5 6 9 27 Х1 243 729 6 10 15 21 2Х Рис 31. Композиционный план второго порядка для Д - 2 Ье Ье+ ~', 612 (Ч. 49) !7Х 179 применяют полиномы второго порядка. Это связано с тем, что, во-первых, имеются хорошо разработанные планы второго порядка, во-вторых, с тем, что поверхности второго порядка легко поддаются систематизации и исследованию на экстремум. И наконец, увеличение порядка аппроксимирующего полинома приводит к значительному увеличению числа опытов. Обычно эксперимент, реализованный для определения оптимальных условий процесса, можно адекватно описать полиномом второго порядка.
При этом число опытов Ж в плане должно быть не меньше числа определяемых коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка для (г факторов; Л у = Ье+ Ьгх! + Ьаха + ° ., + Ьд хд + Ьга х ха + ... + +Ь„, д хд а ха + Ьа! хд!+ ... +Ьдд хе . Коэффициенты уравнения регрессии (У.43! служат оценками для соответствующих коэффициентов уравнения теоретической регрессии: 'пу = Уе+ Узх! + ° ° + ягдхд + У!ах!ха + ° ° + Уф ! д хд-! хь + +Ьз! а!+ "+Ьдд дд.
Число коэффициентов 1 в полиноме второго порядка (Ч. 43! можно определить по формуле 1=Ь+!+У+се =2Д+!+ Ь! У+ 1) (4+2) 2! (Ь вЂ” 2)! 2 где Сд — количество сочетаний из к факторов по два, равное числу эффектов парного взаимодействия в уравнении (Ч. 49. Если почти стационарную область адекватно можно описать теоретическим уравнением регрессии второго порядка (У 46), тогда становятся значимыми определенные по эксперименту эффекты взаимодействия факторов и квадратичные эффекты, Это позволяет установить факт нахождения в почти стационарной области.
Близость почти стационарной области можно установить, если поставить дополнительно к факторному плану 2" или 2" "опыты в центре плана (х! =О; аз=О;...; х„=О) и вычислить среднее зп. Среднее уб является оценкой для свободного члена уравнения теоретической регрессии Уе "Ре (Ч. 48) в то время как коэффициент Ь, подсчитываемый в факторном эксперименте по Формуле и л'из ае! У! ! ! Ье = Лг является совместнои оценкой для свободного члена и суммы квадратичных; может до некоторой степени служить мерой кривизны поверхности.
Для описания поверхности отклика полиномами второго порядка независимые факторы в планах должны принимать не менее трех разных значений. Трехуровневый план, в котором реализованы все возможные комбинации из (г факторов на трех уровнях, представляет собой полный Факторный эксперимент 3", В табл. 39 приведена матрица планирования полного факторного эксперимента 3я, Полный факторный эксперимент 3 требует слишком большого числа опытов, намного превышающего число определяемых коэффициентов !уже для lг>2. Число опытов в ПФЭ 3 и число коэффициентов ! в уравнении регрессии второго порядка приведены ниже: Сократить число опытов можно, если воспользоваться так называемыми композиционными или последовательными планами, предложенными Боксом и Уилсоном, Ядро таких планов составляет ПФЭ 2 при (г(5 или полуреплика от него при и >5.
Возможность использования в качестве ядра плана полуреплики при (г> 5 обусловлена тем, что уже полуреплика обеспечивает получение несмешанных оценок для линейных эффектов и эффектов парного взаимодействия (см. гл. У, 2). Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо: !) добавить 2!2 звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства. Координаты звездных точек: лг' х х .= 22, ! ! (.~. а, О, ..., 0), (О, ~а, О...
0) ... (О, О... О, ~а) где а — расстояние от центра плана до звездной точки — звездное плечо; 2) увеличить число экспериментов в центре плана по Рассмотрим построение композиционных планов на примере «2 (рис. 31). Точки 1, 2, 3, 4 образуют ПФЭ 2', точки 5, 6, 7, 8 — звездные точки с координатами (+ а, О) и (О, + а ), координаты ло опытов в центре плана нулевые — (О, О) (табл. 40). дг лг ~ЧР~ х ~~', х =х" +2по. ! ! Табл и па 40 Комвозвцвоииый впав второго порядка для двух факторов композиционного пла- «ы М Ьо ~~~', х г=! 0 'Р хо!х„~ч", хо!хан г=! ь! (х'х) = ь 4 и «ы 0 лг'х х 1=! где лг ~я~', х, = )т', ! ! и х ~~'~ х ~ч" х = 22+ 2аз, г-! 1=! гг !т 2 2 хо!х =~ хо!х =22+2аз, 1-! * Полуоеоляха, г, - к,г,лгс 18! 180 Информационная матрица (матрица моментов) на второго порядка имеет для «-2 вид «о Ь! Ь, Ьзз ,г' хх 2 2 хз! "з! ! ! о ! ! д! ~~',х х 1=1 гг х 1=! Общее число опытов в матрице композиционного плана второго порядка при /с факторах (табл, 41) составляет б(=22+2«+ло пРи «~б.
«(=2" '+2«+, ПРи «>б. ()!.62) Т а б л в ц а 41 Комвозвпвоввый плаи второго порядка для А факторов Соответствующая плану (табл, 41) информационная матрица Х Х имеет т вид (У,53) Т а б л и ц а 42 Звачеввя аз для различного числа факторов в количества опытов в певтре плова где и ~я~', х = )у, ! ! ю)д И О , :'О : :)х , :'И с. ч И ! н„ю : 'в'4 (7.54) е) ч И О ~р ')Р ')Г " )Р а)Н О ) и „я х~а Р Ф (7.55) ! 4' Г ''' ь ар,ст чм и !н И а)аа ~(ч .
а)н И:И '$Р Н .'И и а 2«+2аа для Д(5, ядро2л Х х! ~Й «! ''' ~и ~И~2» г+2аа для 5~5, ядро 2" з; ;=1 ' г=! г=! и и Х .х + «азх ! — ~'~ «мхм ' ' ' = л ! «азха! аа22«-з.(- 2аа для с-! з=! и и и Х,,з=Х,; ° =" =;г. я а ~ я а .чз а а 2" для Д(5 «з!«а =,~~ ««! = = лл хф !! ! хы С-2« ! для д ~ 5. ! г=! з=! и а, а „а 2Л+2а! для Д(5 и и Х «и = лл ! = ' ' ' = Й «ык'2л з+ 2а! для л ъ 5.
г=! !=! Таким образом, композиционные планы второго порядка неортогональны: 2 Х и!х)г+О, )=! 2,..., Ы ! ! хх +О, л,)=),2 ...,Ы иф). г=! Выбор величины звездного плеча а и числа опытов в центре плана л, связан с критерием оптимальности плана 5. Ортогоиальные планы второго порядка Композиционные планы легко приводятся к ортогонгцзьным выбором соответствующего звещного плеча а, Для этого было проведено обращение матрицы (Ъг,53) в общем виде, При этом достаточно было обратить ту ее часть, которая связана со столбцами ха и х,' (табл.
41), т. е с коэффициентами Ье и Ь„, и определить а из условия равенства нулю недиагонального элемента обратной матрицы. а~+ 2"а — 2«-! (д+ 0,5л ) = О, ядро 2"; а'+ 2~-'аа — 2« а(д+ О,за„) = О, ядро 2л-!. Значения аа, определенные по (Н.54), приведены в табл. 42 (см стр. 181) Выбрав а из табл, 42 и проведя следующее линейное преобразование квадратичных столбцов х! получим ортогональную матрицу Так, ортогональный план второго порядка для (с-2 и л,-1 имеет вид (табл. 43): !83 та б л и на 43. Ортегоиальиый иван второго порялиа для Ь-2 (У. 57) + Ьь ! ь ха,ка+ ь„кт!+ +ьз,ькд, Адекватность уравнения проверяют по критерию Фишера, составляя отношение дисперсий зад! звосар Уравнение адекватно, если составленное таким образом г"-отношение меньше табличного для выбранного уровня значимости р (обычно равного 0,05) и чисел степеней свободы дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости; 1В4 Благодаря ортогональности матрицы планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формуле ~чз', куту! ь,=" „' (7.56) ~я~~ к, ! и дисперсии коэффициентов равны зр а воспр аь.
= т л Х"' г=! В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получим уравнение вида Л у = Ь' + Ьзхз + Ьяхх + + Ьаха + Ьзах,х, + . ° + +Ь!а !)а ха з ха + Ь,з ( кт! — «д!)+ . +Ььа (ха — кья). (У.58) Чтобы перейти к обычной записи, определяют Ьо по формуле Ь,=Ь,'— Ь„',— .. — Ьа,хд (зг. 59) и оценивают с дисперсией, равной з~. = а~ -~ ( 2!)"ь + "+( а)"~ (У. 60) в аа Зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность уравнения Л у = Ье+ Ь,к! + Ь,к, + + Ьаха+ Ьз,х,х, + ° ° -1- р(рз р(/„ /е), где /! Л!-! — число степеней свободы дисперсии адекватности; /;— число степеней свободы дисперсии воспроизводимости; Л!' — число опы- тов в матрице планирования; ( — число коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка, Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стьюдента.
1у = Ьу/зь Коэффициент значим, если с ) г, (уа), где 6 — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости, Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые при помощи орто- гональных планов второго порядка, определяются с риной точностью. Согласно (У,57) имеем; '!ч = звоспр/Ф )У, зь = а в ос яр / У2~ + 2вя, ) = 1, 2, ..., Ь при Ь ( 5, ядро 2 аь = звеспр / )' 2а ! -т- 2ва пРи Ь ~ 5, ЯДРО 2" з, з(, = звоспр / )г 2' при й ( 5, ядро 2а, ву и, 1 = 1, 2, ..., Ь, ц~/, зь =звоепр /)т2*-з пьи Ь~б, ЯдРо 2" ', ву (У. 61) при Ь ( 5, ядро 2ь, 2" (1 — ха)к+2(ва — хь)З+(ля+25 — 2) (гад!) / — 1 2, ..., Ь, аь ц при а~5, ядро 2" з. 2ь-з (1 — «В)з + 2(ва — хз!)Р + (ле + 2й — 2) Я)д 1В5 Ортогональные планы второго порядка не обладают свойством ротатабельности Пример 2, Исследовался процесс разложения полигалита азотной кислотой Ка50а М650а ' 2Са$0е ° 2НаО+ 4НЫОа -ь 2КЫОв + Мб (ХОв)а + 2На50а+20аЯОа Ставилась задача выяснения принципиальной возможности максимально полного перевода полезны» компонезпов полигалита калия и магния в азотнокислотную вытяжку н анализ параметрической чувствительности процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
