С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(й+2)~)Я я~)Я Г( — + 1)~ )ХУХ) где Г ~ — + 1) — гамма. функция ( 2 В концепции Кифера эффективносгь обусловливается еще и оптимальным расположением точек в фа«торном пространстве, План эксперимента, при «отораьг объем эллипсоида рассеяния минимизируется иа множестве планов в заданной области, называется 0-оптимальным. Согласно (Ъу.87) 0«зптимальному плану должен соответствовать максимальный опрелели гель информациоинои матрицы Кифером предложен ряд критериев оптимальности планов, Все эти критерии, как и критерии 0чзптимыгьности, фактически сводятся к некоторым требованиям, прельяв.
ляемым к виду «овариационнои, а следовательно и информационной матрицы, Так, план называется А.оэтииахьным, если его ковэриационная матрица имеет наименьший след (сумму диагональных элементов), А-Оптимальный план позволяег минимизировать среднюю лисперсию оценок параметрое. План называется Е-охмииигьным если максимальное характеристическое значение соогветстеующеи ему ковариационной матрицы оценок параметров минимально. Это значит что Е-оптимшгьныи план минимизирует максимальную ось эллипсоида рассеяния оценок параметров. План называется С-овтииальнии, если ои обеспечивает наименьшую по веем планам максимальную дисперсию предсказанных значений у в области планирования и, следовагельно, обеспечивает отсутсгвие в области планирования точек в когорых точность оценки поверхности отклика слишком низкая.
Боксом и Дрейзпером преллагается еще один критерии оптимальности планов, позволяющий минимизировать систематическое и общее смещение, возникающее при аппроксимации поверхности отклика полиномом более низкого порялка, чем это требуется для адекватного описания В настоящее время наиболее развита теория построении 0-оптимальных и С.оптимальнык планов. В общем виде задача построения 0-оптимальных планов не решена.
Наиболее разработанными можно считать методы получения 0.оптимальньщ планов для оценки одного параметра В рабопц Кифера, Вольфовица, Хоулаи Кено ввелено понятие непрерывного плана и построены непрерывные 0-оптимальные планы для полиноминальной регрессии первого и второго порядков при ограничениях на гиперкубе и )ьмерном шара. для григ оиомегрической регрессии с различными ввсовыми функциями на огрезке. Границы эксперимента чаще всего задаются гиперкубом. 0-Оптимальные планы первого порядка при ограничениях на кубе можно задать в виде ПФЭ 2«. 0-Оптимальными планами являются также некоторые пробные реплики полного факториого эксперимента, и птжиы Плакеггэ — Бермана для числа факторов К уловлетворяющих условию Э.Ь 1, «ратны четырем.
Эти пггаиьг в го же время ортогонэльны и ротатабельны. 0-0 т ь и имал иые непрерывные планы шорого порядка на кубах размерности 2-5 для полиномов второго порядка, предложенные Кифером и Вольфовицем, как правило, содержат очень большое число наблюдений так, например, при Э-5 в таком точном плане должно быть более 1500 измерений. В связи с этим при помощи 'ЦВМ были найдены несимметричные планы второго порядка с достаточна малым числом экспериментальных точек, которые близки к 0-оптимаяьным по таким характерисгикам, как определитель информационной матрицы, средняя и максимальная дисперсия пред- 197 (М.
89) х, (У. 9!) хг хг Я. 92) х,=х, +хг 198 сказанного значения параметра оптимизации. Выла про д ве сна также сравнительная оценка с пози ин О.оптимальности характеристик некоторых композиционн ых планов второго с позиции .о им Выбо того или иного плана ис. порядка при ограничениях на кубе для х-4 5, 6 ы ор следования определяется постановкои задачи н возмож ностями зксперимента 8. Исследование поверхности отклика.
Решение задачи оптимвзапни. Уравнение регрессии второго порядка, адекватно описывающее почти ационарную область, исследуют для определения координат оптимума, К т о, п едставляет интерес изучение свойств поверхности отот полинома окрестности оптимума. При этом полезно перейти стан а тном второго порядка, полученного по результатам опыта, к ст д р у, каноническому уравнению: У вЂ” Уг = ЛцХ) + Лав Хг + ...
+ Ьа т Я ), Х2 (Лг. ВВ) где у, — значение выхода' в центре поверхности; Хз, Хн ..., , ..., Х вЂ” канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов хн хи ..., х„; Л1з, Лая, ..., Лхх — коэффициенты канонической формы, Первый этап канонйческого преобразования — перенос начала координат в особую точку поверхности отклика — центр поверхности, Координаты центра Я определяются решением системы уравнений — =О,— =О, ...,— =О.
дх, ' дхя ''' ' дха Рис. 38. Канонические поверхности и их сечения для Х-2 При аппроксимации поверхности отклика полиномом второго порядка приходится решать систему )г линейных уравнений, Если определитель этой системы равен нулю, то поверхность не имеет центра.
В этом случае можно или перенести начало координат в точку с наилучшим значением выхода, или совсем не переносить центр, При этом для нецентральной поверхности оптимум будет лежать на границе области определения факторов, Если поверхность имеет центр, то в него переносят начало координат, При этом в уравнении поверхности исчезают члены, содержащие линейные эффекты, и изменяется свободный член. Коэффициенты при вторых степенях и взаимодействиях инвариантны относительно переноса. Второй этап — поворот координатных осей в новом центре таким образом, чтобы исчезли члены с эффектами взаимодействия; свободный член инвариантен относительно поворота, В результате получим уравнение вида (У.88).
Поверхности второго порядка классифицируются по их каноническим формам (рис, 38). 1. Все коэффициенты канонической формы имеют одинаковые знаки. Поверхность — эллиптический параболоид (рис. 38,а). В центре поверхности максимум при ).л <О и минимум — при Лл >О. 2. Коэффициенты имеют разные знаки, Поверхность — гиперболический параболонд, «седло» (рис. 38, б).
В центре поверхности — «мини- макс», 3. Один нли несколько (но не все) коэффициентов близки к нулю. При этом центр лежит далеко за областью экспериментирования, Поверхность такого типа называется «возрастающим возвышением» («гребнем»). 4, Возможен еще вырожденный случай параллельных плоскостей, который не представляет практического интереса (рис, 38, в). При Л ш -О (рис, 38, г), перенеся начало координат в точку Я (обычно вблизи центра плана), получаем уравнение параболы; (7.90) Перейдем от уравнения регрессии второго порядка для У=2 ченного по экспериментальным данным )з У =Ьо+ Ьзх, + Ьзхз + Ьмк ха + Ьггх) + Ьазх к каноническому уравнению (У.88), Определим координаты точки Я— центра поверхности. Для этого необходимо решить систему уравнений; ду — =О ВЬ х Г Ь,хч Ь =-О) дхг ду — =О, Ьз,х,+ 2Ьззх,+Ь,=-О.
дхз Решение системы (У.92) дает координаты центра хц и х,. Подставив их в уравнение регрессии (У.91), получим значение выходной величины в точке Я-у, Перенесем начало координат в.точку Я (у„х„, х,). Старые координаты хр хе у связаны с новыми х,', х,', у' соотношениями; (чдз) квадратную матрицу ха= х„+ х 2 у = у|+у В новой системе координат уравнение (Ч.91) примет вид л у=ь.+Ь~+...+Ьд д+Ь„,„,+„,+Ь„, „хд „д+ +Ьвв в+" +Ьддад у — у,=Ь„х, +Ьвв х +Ь„х, х На втором этапе преобразования при помощи поворота осей координат освободимся от эффекта взаимодействия, Для этого необходимо повернуть оси координат на такой угол а, чтобы (Ч.
94) с1к 2в = (Ьв, — Ьва)/Ь|а. Тогда получим в новой системе координат Х„Х,, у уравнение регрессии в каноническом виде; /1 2 у — у,=Л„Х, + Л„Х,. (Ч. 96) Старые координаты хо х, связаны с новыми соотношениями х| — — (Х| + х| ) сова — (Хв+ ха ) а!па, ха = (Х|+ х|в) з(па+ (Хз+ хвз) сова. (Ч.96) Для определения коэфф|шиентов канонического уравнения Л!! и Ле воспользуемся следующими двумя инвариантами уравнения (функциями коэффициентов, которые не изменяют своего значения при любом преобразовании координат): /, = Ь„+ Ьвв = сопз1, (Ч.97) Ь а/вь|в — = сон|1.
( /,Ь„уе Из (Ч,95) имеем ь„+ь„= л„+ л, (Ч.96) Ьн Ьвв — |/|Ьз|з —— . Лв! Лзв в/аЛ! Так как в данном преобразовании Ле-О, получим соотношения для определения Л!! и Лав: Ь|| + Ьза = Лм + Лав (Ч.99) Ь1| Ьаа |/ад!а Л|| Лаз" 2 Используя теорему Виста, Л!! и Лт можно определить как корни квадратного уравнения: (Ч.! 00) Ла (Ь,в+ Ь,а) Л+ (Ь|! Ьва — '/В Ьва) = 0 В многомерных задачах каноническое преобразование осуществляется методами линейной алгебры Составим из коэффициентов уравнения регрессии второго порядка, полученною по эксперименту, 200 ь„Ч, ь„...
в/а ь,д в/вдз! Ьвз ... в/адад В= (чдоН /выл |/аЬда . ° . Ь||, в которой Ьл Ь, Для определения коэффициентов Л! ! Лв уравнения в каноническом ви е "', ц, уравнения регрессии де (Ч.88) необходимо найти корни характеристиче- ского полинова Рв ( Л) матрицы В; в'д (") = ( — ЛЕ), где Š— единичная матрица, или (Ч. 102) Ь вЂ” Л а/а Ьвз . а/, Ьвд в/,Ьм Ьт Л ...
в/,*Ь,'д Вд(Ц = (ч.)оз) |/а Ьд! |/з Ьда ... Ьдд Л ртогональное линейное преобразование для Х координат задается системой уравнений; О Х =т | = ла (х| — х| ) + лава (хв — хз ) + ... + т|а (хд — хд ), Хв тз| (х| х|з) + таа (хз хза) + ... + еад (хд хдв) (Ч. 106) /в Ьд|тн+ |/з Ьда л|!а+ ° .. + (Ьдд — Лв) т|д = О. Так как решения ав е ур н ний лишь пропорциональны тем величинам ио, которые необходимы для ортогонализации линейного преоб разовагональности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
