С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Следовательно, полученное уравнение адекватно описывает эксперимент. 2. Дробные реплики. Если при получении уравнения можно ограничиться линейным приближением, то число опытов резко сокращается при использовании дробных реплик (см. гл, Ш, 4) от полного факторного эксперимента или дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать полный факторный эксперимент для меньшего числа факторов. Число опытов при этом должно быть больше (или равно) числа неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии.
Допустим, что нужно получить линейное приближение некоторого небольшого участка поверхности отклика при трех независимых факторах: Л у = Ье + Ьэ хэ + баха + Ьа«з. Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для ПФЭ 2' (табл, ЗВ использовать столбец х, х, в качестве плана для хэ (табл.
32). этом столбцы для линейных членов и парных произведений одинаковы. Если, например, в дополнение к столбцам, приведенным в табл, 32, вычислить еще столбец для произведения х,х, то окажется, что элементы этого столбца в точности равны элементам столбца х,. Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов.
Чтобы определить, какие генеральные коэффициенты смешаны, удобно пользоваться таким приемом: поставив х, на место х,х, (табл. 32), получаем соотношение «э =.т, «а. (У. 16) называемое генерирующим соотношением. Умножнм обе части генерирующего соотношения на ха: "3 = «ахаха» при этом слева получим единичный столбец: 7 =,,хата.
(У. 17) Произведение (У. 17) называется определлющ им контрастом, при помощи его удобно определить, в каких столбцах одинаковые элементы. Умножив по очереди определяющий контраст на хи ха, ха, получим аа = «аэ ха«э = хала ха = «гхэ хз = та«а (Ч'16) Полученным соотношениям (Ч.18) соответствует система смешанных оценок (Ч. 15). При использовании ДФЭ необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробной реплики, т. е. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов.
Тогда в зависимости от поставленной задачи подбирается дробная реплика, при помощи которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента. Например, в задаче с четырьмя факторами )с-4 в качестве генерирующего соотношения можно взять Такой сокращенный план — половина ПФЭ 2' — называется полурепликой от ПФЭ 2а. Пользуясь таким планированием, можно оценить свободный член и три коэффициента уравнения регрессии при линейных членах. На практике обычно не удается априори постулировать равенство нулю эффектов взаимодействия, однако часто имеются основания полагать, что некоторые нз них малы по сравнению с линейными эффектами. Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны нулю, то полученные коэффициенты будут смешанными оиенками для генеральных коэффициентов: Ьт -» Ьт + Ьш Ьа "' Ьа + Ьтэ, Ьэ -о Ьа + Ьаа, (Ч.
1В) где 6 — математические ожидания для соответствующих коэффициентов. Эти генеральные коэффициенты не могут быть раздельно оценены по плану, включающему всего четыре опыта (табл. 32), так как при 166 ха = к,хаха (Ч. 19) Воспользовавшись определяющим контрастом 7-«»ха«эх», получим такую систему совместных оценок для коэффициентов уравнения регрессии: 167 и любое из парных произведений факторов, например «а = «аха. (у.
33) Матрица планирования с генерирующим соотношением (У. 19) приведена в табл. ЗЗ Т а б л и и а ЗЗ. Полуревлвка от ПФЭ 2» с теверирумшим соотиашевием (Ч,1р) «1 = Хв «в «4, Ь1 -г" р1+ реа, «в=к,кака, Ьв -о 234-213$. Ьв ~ рв+ 3134а Ьэ (Зз+ ргае. Ь, Ь,+а,„,, Ь, — за+а„эа, Ье ~ р1$+ рве Ьгз -™ ргз+()ве Ьга~ Ь (ч. 23) Ьз - ))3+ ргаа Ь, Ьа+ Ье„ Ьгв ага+ Ьва, Ьга — Рва+ Раа Ьга Ье+ Ь„, «в = к, ка ка, ка = к, хв кв, «1 КВ = Кэ «4, К,К3 = КВК4, Х, Каоо КаКа (Ч.21) Ь - Ь+2 Ь„р +Ье, Ьза -~ !аз+раза, Ьвв -о !3$+ 213$ Ьва - Ъа+ Р11$ Ьвв ~ рва+ Ьге. Ье -1 раа+ Р133 Ь, — 21+ Ьаа, Ь, Ь,+Ье, Ьз "о Ьа+ Ьгми ь, за+ам, Ьгз Р 3+ Реа.
Ьав ~ Рза т Ргэа Ьва ' рва+ рге к, = каха Ка = Х, «4, «3 «1 «а «3 «4 К4 = К, «В, 1 = к, кв «3 ка, 1 = к, «а «а. (Ч.24) к ха =какака, ха «3 «1 «3 «4 кэ ка = «1 ка «э Ье ' Ьо+ рева+ Ьгав+ Ьае ь, з,+зев+ам+2, Ьв уз + ргва+ 31$ + гее Ь, ав+ аеа+ Ь„е+ Ь„, Ь4 " Ра+ Р133+ ('1$4$+ Рэа Ьа Ье+(11вае+213+рва «Е = Кг КВ Кз «4 = «1 .«В Ха = ка «а «1. кг — кв кэ ка = «в ка — «1 кэ «4 «$ Ка = К Ка Ка = К «$ = «В Ка «4 «$, «а = «1 «3 «4 = $'1 «в $3 «$ = «4 ка ха= кг кака — «вкала«$= ка кв, «$= «1 «1«344«$= «1«В = Ха ха «е = «1 «а «э ка «1. Ьв "о Ьо+ Ьгвае к, = кв «з «4 ка, Ь, -о Цг+ разве 168 16$ В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулю значительно чаще, чем двойные.
Если наибольший интерес представляют оценки для линейных эффектов, следует брать генерирующее соотношение хо- х, х,х,. При регенерирующем сотношении (Ч,20) матрица планирования имеет вид (табл, 34). Т в 6 и и и в 34. Певуреиаина ог ПФЭ М с генерирую«нам сеотаоагеинем (У,та) Определяющий контраст выражается соотношением 1 = х,х,х4. Получается следующая система оценок; Следовательно, дробную реплику с генерирующим соотношением х4 =х,х, имеет смысл использовать, если наибольший интерес пРедставляют коэффициенты )3„, р„и ()34.
В полуреплике от ПФЭ 2' с генерирующим соотношением хо=х,х хэх4 все линейные эффекты и эффекты парного взаимодействия смешаны только с эффектами тройного и более высокого порядков: «в= «,«В К4К$, «3 = «1 ХВ Ка «$, «4=К «ВХВ«$, «$ = к, Х, Хв «4, Х Ка = Кэ Ка Ка, т, кв = «в «4 «$, «1 Ха = ХВ Ха Ка, т «$ = хв хв «$ Ха «3 = «1 «4 «$, «в «а = «гкв ка, Хв «$ = Х, «3 «а, «3 «4 = к, «$ .тв, «3Х$= «1 «$«4, «4 Кв оо Кг КВ Ка, Пренебрегая эффектами взаимодействия выше второго порядка, практически можно считать, что при )г> 5 полуреплики от ПФЭ обеспечивают несмешанные оценки для линейных эффектов и эффектов парного взаимодействия. Используют в экспериментальной практике также и Чо реплики, 1/о реплики и т.д.
Дробную реплику, в которой р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, обозначают 2," Для четвертьреплики, например, в планировании для 14-5 типа 2 могут быль заданы генерирующие соотношения: Х4 = «1 «В «3, Ка — «1 «а Определяющими контрастами для этой реплики будут соотношения Перемножив определяющие контрасты между собой„получим так называемый обобщающий ооределлющий контраст, который с учетом соотношений (Ч. 24) полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дробности: 1 = «1 хв «3 «4 43 11 кз «$ = хв «$ хв.
(Ч,25) При этом получается следующая система совместных оценок: х х = х «в= хахвха — — ха ваха бтв е' рта+ рм+ рава+гты х хв —— «а«в= «ахала= «тле«а бм 'рта+ива+ итал+ гьаа' ( Соответствующий план эксперимента приведен в табл. 35 Т вб пи па ЗК Четаертьреплина ег ПФЭ 2е с генериртюгннмн свотиопюннлми (У.24) Таблица Зб. Линейный насыщенный план ллл й 7 Разрешающая способность этой четвертьреплики невелика — все линейный эффекты смешаны с эффектами парного взаимодействия.
ЛФЭ можно дополнить до, полного факторного эксперимента, реализовав недостающие дробные реплики. В рассматриваемом примере для остальных трех четвертьреплик генерирующие соотношения будут: хв = хт ха хв ха — «т «а (Ч.27) хв= хала«в ха= «а«а «а= — «а«а хв, «а= — х ха. При этом обобщающие определяющие контрасты имеют вид г = «т «а«в «в =- «т «а ха = — «в хв «а 7= — «ахала ха=ха«а«а= «ахала 7 = — х «а «в хв = — хт «а ха = ха хв ха. (Ч.2В) В результате реализации этих дополняющих четвертьреплик получаются несмешанные оценки для всех теоретических коэффициентов. Число опытов в дробной реплике должно удовлетворять не- равенству й+ 1 ~ )У(2а (где (г — число факторов) для получения несмешанных оценок линеиных эффектов.
Если число опытов Ж равно )с+1 — числу определяемых коэффициентов в линейном уравнении регрессии, дробная реплика представляет собой насыщенный линейный ортогональный план. В табл. 36 приведен насыщенный ортогональный план для )с=7, представляющий собой 1!16 ПФЭ 2'. В табл, 36 факторы х,, х, хе и х„приравнены произведениям факторов: хв = хг ха, ха = хг «в ха= ьа ха «т = «т ха хв 170 В связи с этим все линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия, Поскольку число опытов в насыщенных планах равно числу определяемых коэффициентов, число степеней свободы остаточной дисперсии равно нулю. Для проверки адекватности линейного уравнения, полученного по насыщенному плану, необходим дополнительный эксперимент. Таким образом, оптимальные двухуровневые планы 2"и 2" гимеют следующие преимущества: планы ортогональны, и поэтому все вычисления просты, все коэффициенты определяются независимо друг от друга; каждый коэффициент определяется по результатам всех )т' опытов Эти планы обладают также свойством 2)-оитимахьностиг для данного числа опытов )т они имеют минимальный определитель ковариационной матрицы ~Х Х) 1.
Вследствие этого все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой и минимальной дисперсией. Необходимо также отметить, что линейные планы а Егр 2 и 2 обладают свойством ротатабельностп. Вследствие отсутствия корреляции между коэффициентами по закону сложения дисперсий для линейного уравнения при (г факторах имеем: т в 2 а 2 т ае — — вь + х, аь + ... +хв а а Так как з'„= зт „ IМ получим ассар ар аЛ = — (1+ «зв+ ... + х ) = — (1+ ра), ()7.36) и гу ра= ьт х, )йа где р' — квадрат радиуса сферы в /с-мерном пространстве.
Величину, обратную з', можно принять за меру информации, содержащейся в уравнении регрессии. Согласно (Ъ'.30) коли- « г честно информации убывает пропорционально квадрату Радиуса сферы рт и одинаково для всех эквидистантных точек (рис. 29). Планирование, обладающее таким свойством, называют рота- табельным планированием. Приведем в общем виде схему дисперсионного и регрессионного анализов планированного эксперимента, когда каждый опыт в матрице планирования повторялся т раз (табл, 37).
рис. 22 Свойство ротатабепь ности линейного плана 2' 171 Т а б и и и а З7. Матрвва илаыираваыиа и результаты взверевый В каждой строчке матрицы планирования определяется среднее значение измеряемой величины по и параллельным опытам: '~~у!и и у! = — , ! = 1,2, ... , !Ч- (Ч.ЗП и дисперсия «~ (У7а — У!) «=1 ;!'=1,2, ..., !Ч, гп — ! (Ч.
32) Проверяется однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена. Для этого составляется отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий: 2 Зп|аа С= е=! Полученное отношение сравнивается с табличным: 6, 6;.7;), где Р -0,05; ~! = и — )г /2' = Ч. Если 6<6„6,/;), дисперсии однородйы. Тогда в качестве оценки для дисперсии воспроизводимости можно взять среднюю дисперсию 2» 2т= ! (Ч.ЗЗ) с числом степеней свободы 7,'„„е = !Ч(ул — 1). Коэффициенты уравнения регрессии определяются по формуле )ьу) ар! (Ч. 37) ко~орое сравнивается с табличным г„е63 для уровня значимости р-0,05 и числа степеней свободь! 7=)Ч(т — 1). Если г,<г, Щ то принимается гипотеза равенства нулю генерального коэффйциента регрессии (3, = О, а соответствующий выборочный козффициен! Ь, как незначимый отсеиваегся из уравнения регресии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
