С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В частности, и Х ,г л (пг — 1) (лг — 4) (лг — 9) 3 ('» и Х-"- ' -г л (лг — !) (пг — 4) (лг — 9) (пг — !6) 4 (» 44 !00 ° (1Н.81) г=! Эти суммы используются и для вычисления сумм Юы нужных для определения остаточной дисперсии: После получения уравнения регрессий (1Н. 73) переменную г опять заменяют первоначальной переменной х и (1)/.85) (1т/.86) откуда положив аа = 67.2/177,6 = 0,0109, г г ав ест ~ Вг ест (1Ч. 87) и окончательно (и — 1) в (а — 1) вг У (111. 88) В=~à — Г, 6 = БЗа/ББа = — 9,6/3665 = 0,00272, ГДО н г Х Су; — у!) с=! В = )г 1 — 0,00272 = 0,986 в г оет а — 1 чР (у — з/г г=! з=! а (14/.83) р'! — Г= в ра у=век (1!/,89) (1)/.84) 14! 140 !! (121 — !) (121 — 4) (121 — 9) ц Р, *( — 6!77,7, 2800 3=- и гравненне рег.рессии третьего порядка нмыт вид /т у =- 25.6+ 5,73 (г — 6) + 0,225 (гв — 12г + 26) + + 0,0109 (ге+ 18га+ 90г — 191,1).
Проверим существенность перехода от уравнения регрессии второго порядка к уравнению третьего порядка, Для этого определим 88в азХ /зоо 88в а=! 9 6 — 0,0109а 6!77 6 8 9 ост а 4 7 7 Оледовагельно, нужно остановитьгя на регрессии взорого порядка /1елая обрапзую ~анену З н г на «и Г, получим !ООО(.— О,!78) =25,6+5,731 ' ~ — 6)+ 20 +0 225 ~~ ) — 12 -1-261 а = 0,1731 — 0,0001391 + 0,0000005Яа.
Полученное уравнение является окончателмзмм в классе полиномов Оценим тес. ноту найденнои связи при помощи корреляционного отношения 11уяр\. Корреляционное отношение 0 близко ч 1, следовательно, иаиденная связь близка к строго функциональной, 7. Трансцендентная регрессия. При малых объемах выборки и увеличение порядка полинома может привести к росту остаточной дисперсии, Чтобы уменьшить число определяемых коэфФициентов, используют трансцендентную регрессию.
Вычисление коэффициентов трансцендентной регрессии может оказаться весьма трудоемким вследствие необходимости решать систему нелинейных уравнений. Вычисление упрощается, если провести замену переменных. Например, зависимости показательно~о типа и дробно-степенного к у =ь,ь,. линеаризуются ло! арифмированием: 18 у = 1яв + к)ВЬ )ВУ=- !8Ь +Ь 18 ° л л )8 у — — г, 18 Ьа = аа н )Вьк = а,, )як . /, получим линейные уравнения относительно новых переменных: г = а + а, к, г = аа + Ь 1.
Коэффициенты а„ац Ь, определяются по методу наименьших квадратов. По полученным а, и а, определяются коэффициенты Ь, и Ьц Однако следует иметь в виду, что полученные таким образом коэффициенгы уравнений регрессии (1Ч.83) и (1У. 84) являются смещенными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов. 8. Оценка тесноты нелинейной связи. Если считать, что уравнение ре~рессии найдено с достаточной точностью, го остаточная дисперсия обусловлена только наличием дисперсии воспроизводимости, т. е. Чем меньше доля зг,, = уг„,„„в общей дисперсии тг, тем сильнее связь между у и Х, так как меньше доля случайности в этои связи. Поэтому силу связи можно характеризовать величиной Связь тем сильнее, чем меньше б. Величина ,х л — 2 В= 1уг ! — — — = ! гв).
л — ! х в р (1Ч. 91) В новом масштабе имеем: -р х1 — — О, ус=О и те=1, лр,=!. х ' ре (1Ч. 94) е 1 %'ч1 Г а= ух в'л л 1,Д( 1 И' / (1Ч. 95) (1Ч.96) в Уг У. е «Д вЂ” «1. «Р «1 1 = 1, 2, ..., л: 1 = 1, 2, . ° ., Ь, (1Ч.ОЗ) 3= ~я~', (у, — у,) = ш1п. 143 142 называется коррклдузтонным оизношеннем, Чем больше О, тем сильнее связь ОСВс1.
(1Ч. 90) Если 0= 1, то существует функциональная зависимость между параметрами. Однако при 0=0 величины У и Х нельзя считать независимыми, так как связь между ними, не сказываясь на дисперсиях, может проявить себя в моментах более высокого порядка. И только при нормальном распределении равенство нулю корреляционного отношения однозначно свидетельствует об отсутствии связи между случайными величинами. Корреляционное отношение, как и коэффициент корреляции в линейной регрессии, характеризует деспоту связи между случайными величинами.
Вообше анализ силы связи по О называют корреляционным аналшом. При линейной регрессии корреляционное отношение равно коэффициенту корреляции; 9. Метед мяежествеяяей корреляции. Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, то пользуются уравнениями множественной регрессии: У =- ба + Ьтхт + Ьвхв + ...
+ Ьдхд (1Ч.92) Уравнение (1Ч 921 представляет собой поверхность регрессии при А. = 2 и гиперповерхность при 32) 2. Эту поверхность называют поверхностью отклика, При построении поверхности отклика на координатных осях факторного пространства откладываются численные значения параметров (факторов). Исходный сгатистическии материал представлен в табл. 26, Т а б л и н а 26 Исхедими статвстическый материал в натуральном масштабе Перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений случайных величин по формулам: где ус «,", — нормированные значения соответствующих факторов; у, х, — средние значения факторов; вм э„— среднеквадратичные откло- "2 пения факторов: и и 1 1 1-1 р 1 Х(~-й* ~~~~ (х11 — «2)в л — ! ' х«1 л — ! В табл. 27 приведен исходный статистический материал в новом масштабе: т а б л и н а 22.
Исхеднмн статнстыческин материал в беарввмеривм масштабе Выборочный коэффициент корреляции при этом равен е ! %"ет е е ге о= Д х х, 1,ш=1,2,...,Ь,1)нс «1«м л — 1,~'( 11 шс Вычисленный по формуле (1Ч95) выборочный коэффициент корреляции равен коэффициенту корреляции между переменными, ныРаженными в натУРальном масштабе Оех, г,"'х . УРавнение РегРессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид е в в ус=а,х + авх + ° ° +ад« . т а д' Коэффициенты уравнения (1Ъ.' 96) находятся из условия а — 1 /!' = ! — (! — /зж)— л — 1 д8 дЗ дЗ да, ' да, да» (1У.97) (1У.102) г=! (1 Ч. 103) Ье — — у — ~Ч~~ Ь/х!.
и 1 ( к/!)З =ззе = 1 ° а — ! / 1= (1Ч.99) /7 — 1 о,г' -!- а г„+ -. ° + а»г у (1У. 100) ОСКС !. (1 Ч. 101) !45 Условия минимума функции Я определяются так же, как для зависимости от одной переменной; н система нормау)ьных уравнений имеет вид е а е а л е а аз ",Я (хй! )я+аз ~~~~ кз!хз!+ ° +а» ~ кз!хы = ~~~~ хз!у), т !-! г=! г=! л л а е " е е а аяз' Хз!Ха!+ аа ~~~~ ( ХОГ) + . ° ° + а» '~~~ ХЗ!ХЫ = ~ ХЗ!у! (1У.98) е а а е л а а а ~~~ х»!к!!+аз ~ хыхыд- . +а» ~ (х»,) = с~) хыу!.
т=! г=! г=! г=! Умножим левую и правую части системы уравнений (1Ч.98) на 1/(л — О. В результате при каждом коэффициенте а, получается согласно (1Ч99 выборочный коэффициент корреляции т*. Принимая во внимание, что получаем систему нормальных уравнений в виде а1+аят,к + аат, + ° ° ° +а»т, =т азг +аз+наг„, + ° + а»г Кее, «зкэ «тх» аке а,т +лег„+лата . + +а»=г В системе уравнений (1Ч.99) г„*,„= ги„,. Для многопараметрических процессов система (1Ъ 99) оказывается высокого порядка и для ее решения необходимо использовать вычислительную машину, Решив систему (1Ч.99), рассчитывают коэффициент множественной корреляции /71 Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи для множественнои регрессии: Для выборок небольшого объема в величину /! необходимо внести коррекцию на систематическую ошибку.
Чем меньше число степеней свободы выборки 3''= и — /, тем больше завышается сила связи, оце- ннваемая коэффициентом множественной корреляции. Формула для коррекции где Я' — скорректированное значение коэффициента множественной корреляции; / — число коэффициентов уравнения регрессии. В уравнении (1Ч92) / =/с+1, От уравнения (1У.96) можно перейти к натуральному масштабу по формулам эт Ь = а/ — , / =- 1. 2, ..., А' ! ЧЬ О. эк / При наличии параллельных опытов можно рассчитать дисперсию воспроизводимости и провести статистический анализ уравнения регрессии. Припер 4.
Необходимо получить зависимость степени извлечения серной кислоты !3) нз гранильных растворов от следуюцзих факторов х~ — кпнцентрации Нзбоз в исходном растворе; хз — концентрации сульфата железа Гебцч хз — объемного соотношения спирт— кислопз, Исходным статистическим материалом служит выборка объемоьз в !05 измерений полученная пассивным экспериментом Р е ш е н и е Известно, что зависимость между степенью извлечения серной кислоты и выбранными факторами в исследуемой области носит линейный харакзер, В связи с этим определим зо зависимость в виде линеиного уравнения регрессии У = Ье + Ь1х1 + бекз + Ьзкв методом множественнои корреляции По формулам ПЧ93) все результаты эксперимента переводим в стандартный масштаб, Затем по Пу 95) вычисляем выборочные коэффицнен гы корреляции.
грк, = 0,212, ткх 0,043, г„'„= 0,903, тк „= — 0,417, гк, = — О,!28, т„=- 0,046. Полученные значения коэффициентов корреляции подставляем в систему уравнении !!Ъ' 99) В результате получим а, — 0,417а, — О, 128аз = 0,212, — 0„4!7а, + а, + 0,046аз = 0 043, — О,!28аз + 0,04баз + аз = 0 903 Решив систему, получим а1 — 0,397, лт -0,)66, аз — 0903 и уравнение регрессии в стандартном масппабе; а е а Уе = 0,397х, + О, ! ббхя + 0,903х . По формулам Пу.!03) переидем к натуральному масштабу; у= — 26,6+ !,987хз+ 1,17ке+ 14,14хз. Система нормальных уравнений для определения Ь, Ь„..., Ь„ имеет вид л л Ьр ~ЧР акр!+ Ь, ~я~~~ хрг«,1+ .
+ Ьа л ЛИ хр1У1 Казказ = Х 1=1 г ! г=! Х(»' — у) л л л Ьр ~я~', х,гхр!+Ь, ат' кап+ . +Ьг, ~я~~ ~кпх„! = и=! а аоспр 2 = 3,62. ~ х,гУ1, г=! г=! (1Ч. 107) !ОЯ ;Е (»1-»1)' л „л + . + Ь» ~~', ка1 = ~ хазу!. г=! г=! нормальных уравнений запишется я 1=1 106 — 4 = 36,03. обри Хт ХВ = Хт У. (1Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
