С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотрим следующие два латинских квадрата, составленных соответственно из латинских и греческих букв; (111. Ю4) а Ь(сноб б)- (111.103) 5Х5 2ХО=О 2Х1=2 2Х2=-4 2ХЗ=! 2Х4=3 (111.106) ЗХО=О ЗХ) =- 3 ЗХ2= ! ЗХЗ= 4 ЗХ4=2 (П! 107) 4ХО=:0 4Х1= 4 4Х2 =- 3 4Х3=2 4Х4= 1 105 !04 латинских квадратов, то оии образуют так называемую полную систему ортогональных латинских квадралаов, Показано, что существуют полные системы латинских квадратов для л-р (р — простое число) и л-р' (степеии простого числа), Полную систему ортогоиальиых латинских квадратов для л-р (р — простое число) можно построить используя поля Галуа Построим, например, поле Галуа вычетов по модулю 5 Два целых числа а и Ь коигруэитиы по модулю 5; если а — Ь- ).5„ где ) — какое-либо целое число, это можно записать в виде Коигруэиция (111.104) определяет поле, В этом поле содержится пять различных элементов О, 1, 2, 3, 4.
Составим таблицу сложения и таблицу умножения в этом поле; Сложенне Умножение 0 1 2 3 4 ! 2 3 4 1 2 3 4 0 2 4 1 3 2 3 4 0 1 3 ! 4 2 3 4 0 1 2 4 3 2 ! 4 0 ! 2 3 Рассмотрим латинский квадрат, образованный таблицей сложения Если в этом квадрате заменить р-ю строку, начинающуюся с элемента р (р-О, 1, 2, 3, 4), строкой, полученной прибавлением (по модулю 5) к элементам первой строки первого квадрата числа р Х 2, получим второй квадрат; А=-2 0 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 ! 4 4 0 1 2 3 1 2 3 4 0 3 3 4 0 1 2 Для получения р-й строки третьего и четвертого латинских квадратов прибавляют (по модулю 5) к элементам первой строки первого квадрата соответственно числа р Х 3 и р Х 4; А=З О 01234 3 34012 1 12340 4 40123 2 2340! к= 4 0 01234 4 40123 3 340!2 2 23401 1 !2340 Таким образом, получили полную систему ортогоиальных латинских квадратов Т а б л и ц а !6 Греко-латинские каадраты зхз 4хс Планирование эксперимента по схеме греко-латинского квадрата приМеняется для четырех факторов, Число уровней для всех факторов должно быть одинаково, В табл, 16 приведены греко-латинские квадраты Размерности 3 ХЗ, 4Х4 и 5 Х5.
С=4 0 4 Е=4 Е=4 С= 3 0=3 Е=З Е=З С= 2 0=2 Е=2 Е=2 С=! 0=1 Е=. 1 Š— 1 С=О 0-0 Е=О Е= О С=О 0=1 Е=2 Е= 3 С=З 0-4 Е=О Е= 1 С-4 0=0 Е=! Е 2 С=2 0=3 Е=4 Е=О С= 1 0= 2 Е=З Е= 4 Номер опыта Номер опыта С-1 0=3 Е=О Е=2 с=о 0=2 Е =- 4 Е 1 С=4 0= 1 Е=З Е= О С=З 0=0 Е=2 Е= 4 С= 2 0.= 4 Е-1 Е= 3 1 2 3 4 б 7 8 9 1О 11 1г 13 о О о о о 1 1 1 г г 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 о г 3 4 О 2 3 4 г 3 4 О 1 4 О 1 !4 15 гб 17 !8 19 го 21 22 23 24 25 4 3 0 4 г о 3 ! 4 2 С=2 0=0 Е=З Е=2 С вЂ” О 0 — 3 Е= 1 Е= 4 С.= 1 0=4 Е= 2 Е= 1 С=4 0=2 Е=О Е= 3 С= 3 0=1 Е 4 Е= 2 4 О о 1 2 2 3 1 3 2 4 3 О О 3 3 2 4 3 О 4 1 О 2 1 С=З 0=2 Е=1 Е=О С= 2 0=1 Е=О Е=4 С 1 л=о Е= 4 к=3 С=О 0=4 Е= 3 Е=2 С= 4 0=3 Е 2 Е= 1 107 Греко-латинский квадрат является частью четырехфакторного плана— по схеме греко-латинского квадрата вводятся в план эксперимента фактары С и Р.
Например, в последнем плане (табл, 16) уровни фактора С соответствуют латинским, а уровни фактора Р— греческим буквам греко- латинского квадрата (П1.103): А — сг,  — ог, С вЂ” са, Р— аь Š— сь и а-агг, Д вЂ” с(а, т — г/а, 8 — 84, е — 4(8.0днакопринято греко-латинскимквадратом называть весь четырехфакторный план (табл. 16). Матрица планирования, соответствующая греко-латинскому квадрату 3 Х 3, приведена в табл 17.
Таблица Гь Плаи тксиеримеита и = 3, 79=9 Т а б л и ц а 18 Гивер-греко-латиискай квалрат четвертого иоралка греко-латинском квадрате имеется па различных комбина ий ур ней факторов вместо п4 комбинаций полного четырехфакторного эк мен П мента оэтому греко-латинскийквадратпредставляетсобой1/пареплику от полного факторного эксперимента (ПФЭ). Так, приведенный в табл, 16 греко-латинский квадрат 3 Х3 представляет собой 1/9 реплик еплику от ПФЭ 3' ()У-81), грека-латинский квадрат 4Х4 — 1/16 реплику от ПФЭ 44 (!у= 256), 5 Х 5 — 1/25 реплику от ПФЭ 54 (237-625), Дисперсионный анализ греко-латинского квадрата проводится так же, как и анализ обычного латинского квадрата, с учетом четвертого фактора Р (греческая буква).
Сумма квадратов для греческой буквы имеет число степеней свободы п — 1. Число степеней свободы остаточной суммы, определяемой, как и ранее, в виде разности между общей суммой квадратов и суммами квадратов всех факторов, равна (и — 1)(п — 3). Если наложить друг на друга три ортогональных латинских квадрата, получим латинский квадрат третьего порядка, п ортогональных квадратов— латинский квадрат и-го порядка Полученные квадраты называют также гипер-греко-латинскими квадратами, При п уровнях в план можно ввести и+1 фактор. Число степеней свободы остаточной суммы при этом будет равно нулю, Такие планы называются насыщенными, Построим насьяценный план для и = 5. Наложим для этога друг на друга четыре полученных ортогональных латинских квадрата 5 Х 5 [см (111,105) — (111.108)], составляющих полный ряд ортогональных латинских квадратов 5 Х 5 (табл, 18), Исходный латинский квадрат (111.105) соответствует уровням фактора С, второй квадрат (111,106) — уровням фактора Р и т.
д. Уровни факторов обозначены цифрами, Соответствующий план эксперимента для шести факторов приведен в табл 19, Полученный план является насыщенным, так как число степеней свободы остаточной суммы, определяемое по формуле /'=(и — 1)(и— /с+ 1), где /с — число изучаемых факторов, равно нулю План представляет собой 1/625 реплику от ПФЭ 5а.
Такие планы обычно применяют на первых стадиях исследования процесса, когда при- Табл ила 19, Плаи аксиеримеита л 5, лг 25 «112) ходится проводить сложный перебор каче- ственных факторов с тем, чтобы выделить г г перспективные комбинации для дальнейшее го исследования и отсеять неприемлемые. г 4 Использование греко-латинских и гипери греко-латинских квадратов в качестве планов эксперимента одновременно дает эконог а 2 г «,>ж мию в числе наблюдений и приводит к 1 2 УПРОЩЕНИЮ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Основным допушением, лежащим в ос- нове применения греко-латинского квадрата Рио 22.
Латинский куб первого ИКВаДРатОВВЫСШИХПОРЯДКОВ,ЯВЛЯЕтСЯПРЕД- порвлка положение об отсутствии взаимодействий между факторами. Проверить адекватность принятой линейной модели, как и при применении латинских квадратов, можно только при наличии параллельных опытов. 5. Латинские кубы. Полному факторнаму эксперименту для трех факторов лз('и) 2) соответствует кубическое расположение нз л элементов, включающее лз позиций. Трем ребрам куба соответствуют факторы А, В н С с уровнями О, 1, 2,, л — 1 (рис 22), Если ввести в план четвертый фактор 1) н уровни этого фактора (О, 1, 2,, л — 1) разместить в соответствующих опытам точках кубического расположения, то получится латинский куб размера л первого порядка Латинским кубом размера и первого порядка называют кубическую таблицу из л элементов, расположенных в лв позициях, в которую каждый элемент входит ггг раз и встречается в каждой из 3л плоскостей, параллельных координатным плоскостям х1охг, х1охз, хгохз, одинаковое для всех элементов и равное л число раз, Действительно, уровни дополнительного фактора 2) (элементы латинского куба) встречаются в плане одинаковое и равное лп число раз и встречаются в каждой из 3л координатных плоскостей (т.
е с уровнями трех факторов А, В, С) одинаковое и равное л число раз (табл 20). Т а 6 лип в 20. ЗХЗХЗ латннекнй куб первого порнлка с- с=! С=о Соответствуюшая матрица планирования для латинского куба с размерами л -3, к= 1 приведена в табл, 21. Планирование эксперимента по латинскому кубу первого порядка позволяет включить в рассмотрение четыре фактора (А, В, С и 2)) Отличие от греко-латинского квадрата, который тоже дает возможность изу- 108 Таблица 21. План вкепернмента л-З, 62-27 Номер опыта Номер опыта чать влияние четырех факторов, состоит в том, что в латинском кубе три фактора (А, В и С) считаются главными и один фактор (23) составляет элиминируюшую группировку, а в греко-латинском квадрате главными считаются два фактора А и В, а С и 23 составляют двойную элиминирующую группировку.
Число опытов в кубе вл раз больше, чем в греко- латинском квадрате, Латинский куб без повторных опьпов применяется в предположении линейной модели процесса; Уыв> = — ы, п«+ 9>+ 79+ 6>, кца>' (111.108) где )2 — общее среднее; а, — эффект фактора А на >-м уровне, >-О, 1, 2, ,, л — 1; В, — эффект фактора В на /-м уровне, 3-0, 1, 2, и — 1; Т— эффект фактора С на у-м уровне, 0-0 1, 2,, л -1; б, — эффект фактора 23 на )-м уровне; во у — случайная ошибка эксперимента, Статистический аналййз латинского куба первого порядка без повторных опытов удобно проводить по следуюшему алгоритму, Определяют: 1) итоги для всех факторов на каждом уровне; А>(>=0, 1, 2, ..., л — 1), В>(>=-0, 1, 2, ..., л — !), С„(9=0, 1, 2, ..., л — !), 23>(1=0, 1, 2, ..., л — 1). Применительно, например, к плану приведенному в табл. 21, имеем 4о = Ут + У2+ Уа+ У10 4 У11 ! У12+ У1в ! У2е '! У21 Ат '= Уе + Уь + Уе + Утв + У«4 2 Уть ! Увв + Увт + Ум А .=-У 4-У +У +У +У 1 У 1-У +Ув +У Во = Уз+ Ув + Ут+ Уго + Уи + Утв '- У«в + Ум .1- Увз.
Вз = Ув+ Уь + Ув+ Уи+ Ум '; Ун 1- Уза + Увв + Уве 132 = Ув ь Ув + Ув + Ун ! Узь + Утв + Ум + Ум + Увг Со = Уг + Ув -1 Ув + Ув + Уь + Уе + Ут + Ув + Ув Ст = Уго + Ум + Узв + Утв + У«4 + У и '1 Уге + Ун 1 Узв 109 ! 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 1! 12 !3 !4 У2 У2 Уз Уа Уь Уа Ут Уе Уо Узо У22 Уы Уз Ум 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 У1з У2з У22 У1в У22 У2о У22 У22 У22 > 2« Ум > 22 У«г 55в = 55з — 55; (П1. Пт) (1П. 118) (1П .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
