С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 16
Текст из файла (страница 16)
!) где р — суммарный эффек~ во всех опы!ах; а,— эффект фактора А на 1-м уровне (! = 1,2 ...,к); еь — ошибка измерения на рм уровне. Предположим также, что наблюдения на Фиксированном уровне фактора нормально распределены о~носительно среднего значения р+сг', с общей дисперсией о'. Общее число опытов равно Х.
Проверяется нулевая гипотеза равенства средних значений на раз- личных уровнях фактора А: гп! = !па = ... = гпв = и! . Наиболее простые расчеты получаются при равном числе опытов на каждом уровне фактора А: и, = ла =... = л„= л (табл. 5). При этом общее число наблюдений !т' равно йп. Обозначим через у среднее значение наблюдений на 7-м уровне ! Г а б и и П а 5 Исходные даппые длв одвофапторпого длсперсвоппого апвапаа с равным послом повтореппй опытов а общее среднее значение для всей выборки из )тг наблюдений л и * Для проведения дисперсионного анализа необходимо общую выбороч- ную дисперсию 22 ь и а (хх 1 А'й' !7 — (111. 5) гт7 1 7 ! разложить на составляющие, ко~орые характеризовгцги бы вклад Фак- тора А и Фактора случайности.
Фактор случайности при этом легко оценить б гагодаря наличию повторных опытов на каждом уровне. Определим выборочную дисперсию на каждом уровне: Если нет уверенности в равноточности экспериментов, однородность дисперсий в,, в,,...,вс можно проверить по критерию Кохрена (см. 2 2 2 гл. П,13). Если между дисперсиями нет значимых различий, для оценки генеральной дисперсии а', характеризующей фактор случайности, используют выборочную дисперсию в,'; Число степеней свободы дисперсии л', равно (с(л — 1) =)т' — (с Приближенную оценку для дисперсии фактора А можно получить следующим образом: 'А =Ш вЂ” 4ш (1П.а) Более точную оценку для гтг можно получить, рассматривая отклонения средних у,.
на отдельйых уровнях от обшего среднего всей выборки у. Действительно, а г 1а~ — — з г е' г лош — '~„(у! — у) = е + — он е + — . л л с=! (П1.9) Отсюда г 1 %~ — — в ош е„— (У! — У ) '! й — 1 Д~ л (П1. 1О) с-! Дисперсия фактора А для модели с фиксированными уровнями (плг) не связана ни с какой случайной величиной, это условное название для математического ожидания среднего квадрата отклонений, обусловленного влиянием фактора А.
Такое обозначение удобно, так как определяет рассеяние, вызванное влиянием фактора А аналогично показателю влияния случайного фактора, что позволяет непосредственно сравнить фактор А с эффектом случайности. Введем также следующее обозначение: а з" = — д„(у! — У) шло +е — .2~! с=! (П1. П) 2) сумму квадратов всех наблюдений а л Эта дисперсия имеет )г — 1 степеней свободы. Вели дисперсия л„' значимо отличается от гг „нулевая гипотеза лз! = и!а =...= и!с=из отвергается и влияние фактора А считается существенным Проверяется нулевая пзпотеза по критерию Фишера, Так как альтернативой пдг— о,8, является неравенство ОАг >ого, для проверки гипотезы применяется односторонний критерий Фишера Влияние фактора А считается значимым, если ал — > Рз, ()з, (з), 7! = й — 1, )з = й (л — 1) = 7т' — й.
(П1. 12) Зош Диспераеюнный анализ можно провести по следующему алгоритму: подсчизывают 1) итоги по столбцам л Ас=~~узч (1П. !3) /=! 3) сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце, а %~ г ЗЗз = А. л (П1. 16) 4) квадрат обшего итога, деленный на число всех наблюдений (корректирующий член),. зе,— — '(А'А ): (П!,! 0) 5) сумму квадратов для столбца (П1. !7) 6) ЯЯ„ш — общую сумму квадратов, равную разнице между суммои квадратов всех наблюдений и корректирующим членом, ллойд = л8! лез (П1.20) 9) дисперсию ла г илост й (л — 1) (П1.21) виде таблицы Т а б л и л а б Однофавторвый днсперсиониый аыалвз (с ровным числом повтореылй опытов) 7) ЯЯ,— остаточную сумму квадратов для оценки римента поест = оо! ллз 8) дисперсию зг 88А А й — 1 Результаты расчета обычно представляются в дисперсионного анализа (табл.
6). (ш. !8) ошибки экспе- (П! . 19) (П!. И) 78 79 88,=~ ~у ! с=! зз (11!.26) (!11.27) Л(з — ~ и! Уровни фмтерз А Номер наблюдения 79,80 86,30 86,50 92,30 76,50 87,05 82,50 87,30 69,60 8!.75 77,95 83,65 64,80 67 30 75„45 70,70 64,65 38,50 77,00 9(,50 68,00 38,05 42,45 64.3 78„9 б!,00 3 1,30 72,85 58,65 52,50 76,0 83,5 72,80 89,00 76,50 87,45 74,50 93,! 5 Итоги Аз =607,8 А» =652,9 А~ -680,95 Аз 528,35 Аз — 461,95 Определим: 1) итоги по столбцам (ПЕ28) и общее среднее для всех результатов »=! чгч Ах ЯЯя = ! л! (!1!.25) з=! 80 8! Если отношение 82/лзш<.г! в, то влияние фактора А следует считать незначимым. При этом общая дисперсия за связана только с фактором случайности и может служить оценкой для дисперсии воспроизводимости.
Такая оценка лучше, чем (П17), так как имеет большее число степеней свободы, равное (сл-1. При интерпретации результатов дисперсионного анализа необходимо иметь в виду, что очень низкое значение дисперсионного отношения может быть связано с тем, что влияние какого-то важного неконтролируемого в ходе эксперимента фактора не было рандомизировано. Это может увеличить дисперсию внутри уровней, а дисперсию между уровнями оставить неизменной, что уменьшает дисперсионное отношение. Результаты экспериментов при этом не подчиняются модели (111.1).
Если же справедливо неравенство (Ш.12), различие между дисперсиями ~А и У, значимо и, следовательно, значимо влияние фактора А. Определим оценку влияния фактора А из (111,11): 8 а'А — 4ш 'А Яв (11!.22) л При этом нулевая гипотеза лг! =пгз =...>па ю гп отвергается и различие между средними ти пгз,...,гна следует считать значимым. Для выяснения вопроса, какие именно средние различны, применяются критерии Стьюдента, фишера или ранговый критерии Дункана (см.
гл. П.14). При интерпретации результатов дисперсионного анализа для модели со случайными уровнями обычно интересуются не проверкой гипотез относительно средних, а оценкой компонент дисперсий. В отличие от модели с фиксированными уровнями выводы по случайной модели распространяются на всю генеральную совокупность уровней. Рассмотрим схему вычислений для разного числа параллельных наблюдений.
Пусть на уровне а, проведено л, параллельных наблюдений Общее число всех наблюдений равно 57 = ~~ л!. ! 1 л! А! = ~~у>!, ! = 1,2, ..., й; 7=! 2) суммы квадратов всех наблюдений а л! 88,=,'7', ~ у'„; (1!1.24) ! ! /=! 3) сумму квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце, 4) квадра~ общего итога, деленный на число всех наблюдений, Дальнейшие расчеты проводятся по формулам (11117) — (11).21). Если дисперсии л2 и лз значимо отличаются друг от друга, дисперсию фактора А вычисляют по формуле (й — 1) й( ( ад аош) ' Пример !. Рассмотрим применение однофакторного диспср ионного анализа для выяснения влияния вида галоилного алкила (фактор А! на процесс радикальной полимеризации Изучалось влияние на выход полимера (у, И> пяти различных галогеналкилов: СНз!(а1), СзНт!(аз>, С»Нз!(аз), СзНзВг (а»), СзН»Вг(аз), Результаты эксперимента с различными галоидными алкилами (фиксированные уровни фактора А) приведены в таблице.
Определим средние значения выхода для каждого галоидного алкила 680,95 — 607, 8 — 461,95 у = — = 85.1; уа — — — ---- 75,97; ув = — = 57,74: 8 В 8 652,9 — 528, 35 у = — = 81,61; у =- — = 66,04 8 ' 8 Для облегчения вычислении будем вместо значений > рассматривать отклонения»' »тих значений от величины, близкой к обшсму среднему всех результатов, озвнси 7> (см, таблицу). Е = ~д/ зз = 1021/150,9= 6,9. э = 150,9/8 = 4,35. 2 3 4 5 2,825 3,025 3,11 3,185 12,5 13,2 13,52 ! 3,9 Ранги, г г т!, УЫ = и+ а)+ Р/+агу/+ сп (11!.28) 82 По данным таблицы проведем вычисления по формулам !Ш 14) — !!П.21) в соответствии с вышеприведенной схемои Результаты расчета представлены в таблице, Полученные в результате расчета дисперсии сравним по критерию Фишера.
По табл 5 приложения находим уе,м!4,35) -2,65. Так как Р> 2,65, рюличис гелогенвлкилов следует признать значимым Установив при помоши дисперсионного м!клите тот факт что средние значения выходов полимера в цеяом суШественно различаются межд> собой, перейдем к сравнению влияния отдельных гклогенюгкилов Проведем зто сравнение по критерию Дункана !см гл П, 14) с доверительной вероятностью 8-095 Нормированная ошибка среднего равна Расположим средине значения в порядке возрастания их величин и выпишем иэ табл приложения значимые ранги для /-35 и р -005: уз (С4Нв1) уь (СзНтВг) ув (СзНг1) уе (СяНьВг) ут (СНз1) зу.те аа.ое 75.92 а),а! зз.! у, — уз = 27,3 > !3,9 — различие значимо у! — уь = !9,05 > 13,52 — различие значимо у, — уз †††9,13 < 13,2 — различие незначимо у — уе = 3,49 < 12,5 — различие незначимо уе — уз = 23,81 > 13,52 — различие значимо ув — уь — 15,56 > 13,2 — различие значимо уе — ут = 5,64 < 12,5 — различие незначимо уя — уз = 18,17 > 13,2 — различие значимо ув — уе = 9,92 < 12.5 — различие незначимо ув — уэ = 8,25 < 12,5 — различие незначимо 3.
Двухфакторный дисиерсвониый анализ. Изучается влияние на процесс одновременно двух факторов А и В. Фактор А исследуется на уровнях а,, ая,...,а„, фактор  — на уровнях Ьп /х,,...,/г„. Допустим, что при каждом сочетании уровней факторов А и В проводится л параллельных наблюдений (табл. 7). т е б л и ц а 7 Данные лля двухфвктернаго лнсперсиеннего вивлнзв с повторениями Обшее число наблюдении равно У = л/гт. Результат наблюдения мож- но представить в виде следуюшен модели: где р — обшее среднее; и, — эффект фактора А на /-м уровне, !=1,2,...,х/ В) — эффект фак~ора В на /ьм уровне, /= 1,2,,лг; и,.В,— уффект взаимодействия факторов. эффект взаимодействия представляет собой отклонение среднего по наблюдениям в ()//-й серии от суммы первых трех членов в модели (Ш.28), ас), (г)=1,2,...,л) учитывает вариацию внутри серии 83 Вычитая (! П.З5) из (Ш.З4), получим Через у, и у,' с грочкам: (1И .37) г=! !=.1 ! =-! (И1.
30) (И1.31) Отсюда через у — среднее всех результа!ов: (1И.32) аз — (у! — У) на а" +— а 1,Да( Д лз !=! (И1.33) наблюдений (ошибка воспроизводимости). Будем полагать, как и преж- де, что еа„распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией и„' . Если предположи~ь, что между факторами нет взаимодействия, то можно принять линейную модельс у!/= р+ «! + р/+ си.
(И1. 29) Эта модель обычно применяется при отсутствии параллельных наблюдений (табл. 8): т з 6 л и и з 8. Донные длл днтхфекторного днснерснонного лнелнзо аез полторанин Рассмотрим вначале линейную модель (П!,29). обозначим средние, соответственно, по столбцам и по — А! У! = В/ у Рассеяние в средних по столбцам у!, у!...„Уз относительно общего среднего у не зависит от фактора В, !ак как все уровни фактора В усреднены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
