С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Эго рассеяние связано с влиянием фактора А и случайно!о фак!ора. Так как дисперсия среднего (см. гл. 11, 5) в т раз меньше дисперсии единично! о измерения, имеем В свою очередь, рассеяние в средних по сгрочкам не зависит щ фак !ора А и связано с влиянием фактора В: — (у,— у)я=а + —. (1И,34) !'= ! Равенства (111.33) и (11!.34) позволяют оценить влияние фак,ор и В, если известна оценка дисперсии пт.
Чтобы оценить фак, р случайности при отсутствии параллельных наблюдении, пос,уп„„ следующим, образом. Найдем дисперсию наблюдений по /-му столбцу — (Уц-У!). (И! . 36) !=1 Эта дисперсия обусловлена влиянием фактора В и факгора случаи- ности з! ка за+ аз. Равенство станет более точным, если вместо зт использовать средневзвешенную дисперсию по всем столбцам: 7 ! 7 (Уц У!) . (111.36) /с( — Ц л~/( л~~ аз — ' на ' '~~~ '~~„(уц- у!) — — ' '~~~'„(у --,)'. (~~ ~Зь„-.,! — ~~1„-з! ~ «о (У вЂ” 1)(лз — 1) — /=.! /=! Обозначим полученную оценку (!1!.33) для дисперсии о' чере! .!лог Число степеней свободы лт„, равно (/г — 1) (лз — 1).
Введем ыкже следующие обозначения: л з = (у! — У) гла + с (1!1.39) л г=! т з'„: —. ~~ (У'. — У)р = »аз + аз (И1.4О) ! =.! Величины зла и зал можно считать выборочными диспер 'ними (/г — 1) и (лг — 1) степенями свободы соответственно 11роверяю! лу'!евые гипотезы о незначимости влияния фак!оров А н В по к!Рн!срию Фишера. Если дисперсионное о~ношение к = (Ут-р()! ° )З) )! =" 1' !З= (а 44 (!!1.4!) Р (111.51) (1!1,42) (П1.52) 'в 2 2 1 из~1' 1з)' Зош )1 = в! — 1; )з = (зт — 1) гоз — П (1!1.43) 1О) остаточную сумму квадратов 11) дисперсию Ф4 2 55 Др (111.
55) 12) дисперсию з в (! П.56) 'в = ~~в)(Ш 13) дисперсию Жс ,з ооост ош (в — 1) (ш — 1) (! 11.57) (111.45) (!!1.46) 4 Вяз = — ~и '. Аз: Е= (П1.46) шост 11 1Ь Н !о — 11 Озсст =~~1 — ВХ †.Газ т т ЮЯ, Оста!от (* !) (ш- !) 1 Осп! скобы = %— рш- ! Обшао сумма (ха А;) = — (~ В) (1!1.50) 86 принимается гипотеза Н': и, -О. Если 2 'л ш Рт-р У )з) зош нулевая гипотеза о!вергается и влияние фактора А счигается значимым. Аналогично, если принимается гипотеза Но:Я -О. При справедливости неравенства зв и > Пз и (111.44) ош влияние фактора В считается значимым.
При проверке нулевых гипогез применяется одпос!оронний критерии фишера, гак как альгерна1ивой равенству оз = о„' служит неравенство а~>оо'. При проведении лисперсионного анализа в условиях линейнои молели (Ш.29) удобно использовать следующий алгоритм расчега.
Находя!. !) и!оги по сголбцам А;=- ~" уп, 1'=1, 2,..., й; 1=.1 2) и гоги по с грокам а Вз= ~~~ уц, 1 — — 1,2,, вп 1=1 3) сумму квадра!ов всех наблюдении а ш 55,= ~ ч'„У'и! (П!. 4?) 1=! 1=! 4) сумму квадрагов итогов по с1олбцам, деленную на число наблюдений в столбце, 5) сумму квадратов итогов по строкам, леленную на число наблюдений в строке, о (!11.49) /=-! 5) квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (коррек- тирующий член), 7) сумму квадратов для столбца Ю5 = 551 — 584! 8) сумму квадратов для строки 8~3 ~~4 в 9) общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом, ~3пб1ц = оо1 оо4 (111.53) 55ост=55обш 354 баев еэ! — ьзз — ооа+ оса (!П.54) Результаты расчета удобно представлять в виде табл 9 т а б и и и а К Двух(закториый ннспорснониыа аианнз (боз повторсиин опытов) Установив при помощи дисперсионного анализа значимость влияния данного фактора, выясняют затем при помощи критерия Стьюдента или рангового критерия Дункана, какие именно средние значения у различны.
Линейная модель (Ш.29) справедлива, если между факторами А и В нет взаимодействия В противном случае этому взаимодействию как фактору 4) итоги по строкам й л ву=- ~ч; „"; у!у!А у=.! и=! (И1. 64) (1 И .65) л —, ~~~~( .— у )' и=-! (111.58) уу л| :-=='1Х ' у-! у=! (!И.59) й лу Х 1 У у Х 3 ХУ;т.-'=-' '=-' у--! у=! и=.! л (И1.60) г оош шй (л — 1) (1 и .7о) 11) сумму квадратов для строки (1 И .7!) Ввв =- ВВо — Вьо УП = ~ У!)и ° и=! 1'=- 1, 2, ..., ап у'= 1, 2, ..., й; (1И,61) (1 И .72) ууу = ~~р ~уци (111.62) (и[.7з) взаимо- обш у о' 3) итоги по столбцам л л А;= ~' ~Уци 1=! и=! (! П.74) хч (И!.
63) присуща своя дисперсия а„'уу. Взаимодействие АВ, о',а служит мерой того, насколько влияние фактора А зависит от уровня фактора В, и наобороз, насколько влияние фактора В зависит от уровня А, В приведенном алгоритме при наличии взаимодействия между факторами ога, как сог ставная часть, входит в дисперсию ~ . Вьшелить о„а можно только при наличии параллельных наблюдений. Пусть при каждом сочетании уровней факторов А и В проволится л параллельных опытов, Так, в табл, 7 в ячейке, образованной пересечением у-го столбца и у-й строки, имеется целая серия наблюдений у„, уи,, ..., у,„.
Сохраним обозначение уб за средним результатом в ячейке Выборочная дисперсия результатов в каждой ячейке имеет л — 1 степень свободы, Если выборочные дисперсии по всем ячейкам одноролны, их можно усреднить и использовать полученную средневзвешенную дисперсию в качестве оценки для дисперсии воспроизводимости ог Число степеней свободы з, равно лу[о(л — 1). Более улобная формула для вычисления дисперсии воспроизводимости где у„— сумма наблюдений в у-й ячейке, При проведении дисперсионного анализа для нелинейной модели удобно использовать следуюший алгоритм расчета, По табл. 7 находят; 1) суммы наблюдений в каждой ячейке 2) квадрат сумм наблюдений в каждой ячейке 5) сумму всех наблюдений (обший итог) й т л й лу ~~', у!!и — ~~„А! = ~ Ву', у=! у=! и=! у=-! 1=! б) сумму квадратов всех наблюдений й лу л " = Х Х Х У'у.' (!И.бб) у=! у=! и=! 7) сумму квадратов итогов по столбцам„деленную на число наблюде- ний в столбце, й 8Я =- — ~ля А (И 1.
67) шл у= — ! 5) сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюде- ний в строке, (!И .68) йл у=! 9) квадрат обшего итога, деленный на число всех наблюдений (коррек- т ируюший член), Йо (ф А ) = — (йи В ) ' (1и.о) 1()) сумму квадратов для столбца Ввд — — Вбг — 554; 12) сумму квадратов для дисперсии воспроизводимости й Х 2~У!у у=! у=-! оо = 55!— ош л 13) обшую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом, 14) остаточную сумму квадратов отклонений для эффекта действия АВ Ал обш .4 в ~ош 1 15) дИСПЕрСИЮ хад Р = 'А/ 'Ав.
2 2 (11!.79) А ~~А /(и 1) ° (111.75) 16) дисцерсию ~л (111.80) 'в ~~п/(т (11!.76) 17) дисперсию ~„ (1!1.77) Вбош аош тй (л — 1) (!!1.78) (Ш.В)) Р = ьдв/ хх (1!!.81а) АВ Хош = ха 9! ~~АВ (и — 1) (т — 1) 18) дисперсию воспроизводимости Проверка гипотезы о значимости взаимодействия факторов А и В проводится по Г-критерию одинаково для моделей со случайными и фиксированными уровнями, Однако проверки гипотез о значимости факторов А и В проводят неодинаково для разных моделей. В табл. 10 приведен двухфакторный дисперсионный анализ с повторными опытами для модели со случайными уровнями. Т а б л и ц а 1О двухфакторный днсперсионный анализ для модели со случайнымн уровнями !с повторными альпами) Из табл, 10 видно, что для оценки значимости фактора А необходимо составить дисперсионное отношение вида Влияние фактора А признается значимым, если зд/'Ав» "з-Р (/т.
/а) где р — уровень значимости; 6-/с — 1; 6-(/с-1)(т — 1). Аналогично, влияние фактора В считается значимым, если ~в/ьлв»Рз-Р(/з /И (111.80а) гдефз -т — 1,6-(/с-1)(т — 1), Если неравенства (П1.80) и (1П.80а) не выполняются, влияние факторов А и В следует считать незначимым, Для математической модели с фиксированными уровнями члены, соответствуюшие взаимодействию, исчезают из сумм квадратов отклонений ЯЯ„И ЯЯа. Вследствие этого для оценки значимости фактора А составляют дисперсионное отношение вида 'зА а ош в знаменателе которого стоит оценка дисперсии воспроизводимости.
Полученное дисперсионное отношение сравнивается с табличным ф, /;) для чисел степеней свободы /', =/с — 1, /;т/с (и — 1). Аналогично, для оценки фактора В рассматривают о~ношение которое сравнивают с табличным Г,, ф, 6/ для чисел степеней свободы ф) =т — 1 и 6-т/с (и — 1). Если дисперсионные отношения (111,81) и (1П 81а) больше табличных аА/ шв»Рз-Р(/з /я) и (!1!.815) 4/4» Рз-Р(/з, Ез), влияние факторов А и В следует считать значимым, Если же неравенства (П1.81б) не выполняются влияние факторов А и В незначимо Для проверки значимости эффекта взаимодействия составляют дисперсионное отношение вида и сравнивают его с табличным и, ф, 6) при уровне значимости и и числах степеней свободы/з =(1 — 1)(т — 1) и6 т/с (и-1) Если полученное дисперсионное отношение больше табличного щ/у; >Г „ф, 6), влияние эффекта взаимодействия факторов надо считать значимым В противном случае, если дз)л/ф ( Р~штф, ®, влияние эффекта взаимодействия следует считать незначимым Пример 2, Исследовалось влияние на процесс органического сиигеза ззвух факторов, А — тип рассворителя на уровнях аь аз, из, аз и  — тип галогсналкила на уровнях /ш йь йь ы Результаты (выхол полимера в пРоцентах) нрелставлены в таблице: 4 Подсчитаем итоги по строчкам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
