С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии (1062947), страница 28
Текст из файла (страница 28)
148) т=! где а, — коэффициент регрессии по переменной х„! — 1, 2, ..., )с; Ьз— коэффициент регрессии по компоненте о,; и„— координаты 2'-го собственного вектора; 1, — масштабный множитель. Главные компоненты не инвариантны к изменению масштаба тех шкал, по которым отсчитываются переменные Обычно работают с 60 60 60 60 60 70 70 70 г 4 б 8 !О г 4 6 30 55 74 75 75 40 68 83 920 290 Г90 100 100 740 Х37 98 190 105 74 68 68 107 гг 59 9 10 11 12 13 14 15 70 70 80 80 80 80 80 8 10 г 4 6 8 ю 85 85 55 80 92 92 92 часть 2 частной корреляции между параметрамн Ре, и !у), в кристаллах медного купороса в маточном растворе Каждый опьм повто х у х у Определить коэффициенты ларион н процесса.
2 Определить зависимость солержания Сцзое. 5пто от солержания Резон г)тз !х), ряется лва раза 50 0,65 0.84 85 1,33 1,47 60 0,96 0,84 100 1,75 1,86 70 0,93 1,2 !05 2,32 2.48 а) Оценить олнородность дисперсий б) определить дисперсию воспроизаотимости; в) выбрать вид функциональной зависимости у=Ах); г) определить уравнение регрессии; д) провести регрессионныи и корреляционный анализ результатов 3. Опрслелить зависимость гидравлического сопротивления слоя насадки др !й -4 м, насадка кольца Рашига 15Х!5Х0,5 мм) от фиктивной скорости потока еср используя артогональныс полиномы Чебышева: сер,см с....
1 2 3 4 5 6 7 8 9 !О Ггр !О, Мла .. 0,0! 0,025 0,04 0,055 0,07 0,09 0,113 0.13 О,!6 0,019 Методы планирования эксперимента ГЛАВА У МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ 4 При получении фосфора возгонкой из фосфатов кальция исследовалась зависимость степени восстановления фосфата !у) от температуры !х) для фосфорита Каратау Опьпы повторялись 2-3 раза. а) проверить однорадносгь выборочных дисперсии; б) посчитагь коэффициезп корреляции между темперазурои и степенью восстановления; в) определить коэффициенты уравнения регрессии г) оценить значимость казффициен зов и адекватность уравнения регрессии эксперименту 5) Исследовалась зависимость степени окисления !г) хромита Сгтоз в хромат СгОе от продолжительности пракалиаания !х) шикты при 830'С.
Кажлын опьп повторялся два раза. Считая зависимость степени окислыгия ог времени нелинейнои !полипом второго порядка), методами линеинан алгебры определить уравнение регрессии и провести резрессионныи и корреляционный анализ результатов. Большое количество экспериментальных задач в химии и химической технологии формулируется как задачи экстремальные: определение отп имальных условий процесса, оптимального состава композиции и т, д Благодаря оптимальному расположению точек в факторном пространстве и линейному преобразованию координат, удается преодолеть недостатки классического регрессионного анализа, в частности корреляцию между коэффициентами уравнения регрессии, Выбор плана эксперимента определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта, Процесс исследования обычно разбивается на отдельные этапы.
Информация, полученная после каждого этапа, определяет дальнейшую стратегию эксперимента Таким образом возникает возможность оптимального управления экспериментом, Планирование эксперимента позволяет варьировать одновременно все факторы и получать количественные оценки основных эффектов и эффектов взаимодействия, Интересующие исследователя эффекты определяются с меньшей ошибкой, чем при традиционных методах исследования В конечном счете применение методов планирования значительно повышает эффективность эксперимента, 1.
Полный факторный эксперимент. При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях, Необходимое количество опытов Ж при ПФЭ определяется по формуле л) = л", где и†количество уровней; )с в число факторов, Если эксперименты проводятся только на двух уровнях, при двух значениях факторов и при этом в процессе эксперимента осуществляются все возможные комбинации из (г факторов, то постановка опытов по такому плану назыяается полным факторным экспериментом типа 2", Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру Например, изучается влияние на выход продукта (у, еде) трех факторов температуры (гз) в диапазоне 100 — 200'С, давления (к,) 2-6 ° 1О Па и времени пребывания (гз) 1О- !59 Таблипа 28 Полный ф акторимй эисвервмент 2а Вообще для любого фактора г, гм)п о г) +г) г) = 2 )'=1,2,..., й; (У.
1) мах е~п ог) = г) г) 2 (У. 2) т а б л и ц а 29 Матрена планирования 6).),» с финтнвиеи переменной рб ),1» Р) )-» ))-)-» Рис. 28. Полный факториыи эксперимент 2* хд=О;)=1 2 .... йя гтйО; Х ! ! Х ), =ж 1 = О, 1, ..., й, в в «,1,"~', .1,~ ~.!«в ~~ 3РО! 2, хе! 1-! 1-! (Ч. 4) с=! в в ~~' «!!хе! х мг ха!«тг ч)' хм хо! г ! с=! (Х "Х) =- в в в в ~)' ха!хе! йв)'„хт! хк! ~~ аф ~ «е!хи! ! ! ! ! 1=! г ! в в в в «в! «! ~~~ хв! хк! ~~ ~хв! «и! )=! с=! ! ! г=! 6-529 161 20 мин, Верхний уровень по температуре г, "" равен 200'С, нижнии :, '" равен 100оС, Тогда для г, имеем мах ~ т!п «мах гм!п Точка с координатами (ги „,, г'„) называется центром плана, иногда ее называют основным уровнем; Лг, — интервал варьирования по оси г,.
От переменных г,, „, г„перейдем к новым — хп ..., х„путем следующего линейного преобразования. ) о х)= —, )=1, 2,..., й. (Ч, 3) Лг) Для переменных хп ..., х„верхний уровень равен + 1, нижний уровень — 1, координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат, В рассматриваемом примере )с-З, Число возможных комбинаций Ж из трех факторов на двух уровнях равно Л)-2 -2'-8, План проведения экспериментов (матрица планирования) записывается в виде табл, 28 Представленный в табл. 28 план в безразмерном масштабе ! еометрически может быть интерпретирован в виде восьми вершин куба (рис, 28).
Введем в ПФЭ 2' столбец так называемой фиктивной переменной хо-1 (табл, 29), Приведенная в табл, 29 матрица планирования обладает следующими свойствами «и!«В=О нейВ и 1 О 1 )Ц с-! где )г — число независимых факторов; У вЂ” число опытов в матрице планирования, Первое свойство (У,ч) — равенство нулю скалярных произведений всех вектор-столбцов — называется свойством ортогональиости матрицы планирования, Это свойство резко уменьшает трудности, связанные с расчетом ксэффициентов уравнения регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений (Х Х) становится диагональной и ее 160 диагональные элементы равны числу опытов в матрице планирования Ж Коэффициенты уравнения регрессии па методу наименьших квадратов определяются следующим образом; ье ь! г к В= = (Х Х)-'Х У.
ь ьв Матрица моментов (Х Х), соответствующая табл, 29, имеет вид 0 8 0 0 ( //г// ) (Ч.В) Матрица, обратная матрице (х'х) '= — 1О 10 18 +18 — 8 хе! У! 1=! +!2 хз! у! Х (Х 1') = (ч.т) ейе ха! У! хм у! з=! Таким образом, ~ .!у! з=! !/8 0 0 0 0 1/8 0 0 0 О 1/8 0 0 0 0 !/8 ки у! 1=1 Ьо ь, Ь, . (Ч.В) Х . у! з=! хв; у! Х з=! (Ч.О) Учитывая свойства (Ч,4), получим В 0 0 0 0 0 В 0 0 0 0 8 моментов (Х Х), получается равной 1/8 0 0 0 О 1/8 0 0 (Ч.О) 0 О!/8 О 0 0 0 1/8 Следовательно, любой коэффициент уравнения регрессии Ь, определяется скалярным произведением столбца у на соответствующий столбец х„деленным на число опытов в матрице планирования Ф; ! '%~ Ь/= — '~ к/; у,. )У,~'~ ' 1=1 Пользуясь планом, представленным в табл, 28, сначала вычислим коэффициенты линейного уравнения регрессии 162 л У=У +Ьгх +Ь +6 (Чло) Например, для определения коэффициента Ь, при х, необходимо получить сумму произведений; х! у Я 2.' х„у, = 20 2, хои = — = +2,5.
20 8 а Аналогично получим Ьо-8,5; Ьг= — 0,5; Ьз=+3,5. Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с коэффициентами взаимо- действия У = Ьо+ Ь!х1+ Ьгхг+ Ьзхз+ Ьих!хг+ Ь|зх!хз+ Ьихгхз+ Ь1мх!хгхз (Ч.11) то для определения коэффициентов Ьш, Ь!з, Ьгз (эффектов парного взаимодействия) и Ьзм(эффекта тройного взаимодействия) необходимо расширить матрицу (табл. 29) следующим образом (табл. 30). Т а 6 л и ц а 30.
Раеширеииав мазрина планирования полного факзориого зкеперимевза 2з Эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам. Так, для определения коэффициента Ь„необходимо: 6* 163 х,х +1 + 2 — 6 — 4 +в +10 — 1В 10 !в — в +12 э (х,хз)! у! = — 4 1=! и " ~ (х,хз)!у! 1=! 4 Ь У 8 = — — = — 0,5. Остальные коэффициенты определяются подобным образом: Ь,э=+0,5, Ьзз = — 1,5, Ь,зз — — 0,11.
Если поставить дополнительно параллельные опыты, можно определить У„„~ проверить значимость коэффициентов регрессии и при наличии степеней свободы †адекватнос уравнения. В связи с тем, что ковариационная матрица (Х Х)-~ для спланированного эксперимента — матрица диагональная 1/М 0 0 ... 0 г т з-г 0 1/ЬГ 0 ... 0 (Х Х) (Ч.
12) 0 0 0 ...!/У коэффициенты уравнения регрессии некоррелированы между собой. Значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверять для каждого коэффициента в отдельности по критерию Стьюдента. Исключение из уравнения регрессии (Ч.!В незначимого коэффициента не скажется на остальных коэффициентах. При этом выборочные коэффициенты Ь, оказываются так называемыми несмешанными оценками для соответствующих теоретических коэффициентов ~,.: Ьз -о 31, (Ч.
13) т. е. значения коэффициентов уравнения регрессии характеризуют вклад соответствующего фактора в величину у. Диагональные элементы ковариационной матрицы равны между собой, поэтому все коэффициенты уравнений (Ъ'.10) и (Ч П) определяются с одинаковой точностью: зз| = эоооор / ~ ЬГ. (Ч.14) Например, в центре плана поставлено дополнительно три параллельных опыта и получены следующие значения у; 1бз уо — 8; уз=9; ! 3 у' = в,в; з з у уо и=! уо= ==86 3 з ~(„о „-, зэ зооор 2 = 0 28' зэооор = 0~55' зь = 0,55/ 1' 8= 0,2.
Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента: !51 вв = — = — = 42,5; о зь 0,2 !Ь~! 2,6 = — = — =. 12,5! зь, (э= — = 2,5; !Ь,! зь !э —— — — — 17,5; !Ьз! зьэ ( = — =2,5; ! Ь„! эз— зьзэ = — = 2,5; !ь, ! зов зьзэ !бз = — =7,5; ! Ьэз! зьзэ 1Ь„! = — = 1,25. зь Табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости р-0,05 и числа степеней свободы /-2 г,Щ-4,З Таким образом, коэффициенты Ь,, Ьсн Ь,э и Ь„незначимы и их следует исключить из уравнения. После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии имеет вид А у = 8,5+ 2,5хз+ 3,5хэ — 1,5хзхз.
Проверим адекватность полученного уравнения по критерию фишера: Змг/ зоосор ' э Л ~~э (у! — у!)* з=! 8 зз = = — =2' Ь! — 1 4 Таблица 31 Полваэй факторимй эксиеримевт 2а Т а б л и ц а 32. Полуреилика от ПФЭ 2а а~~,квр — — 0,98; 1 — число значимых коэффициентов в уравнении регрессии, равное 4, Тогда Г-2/028=7,1 Табулированное значение критерия Фишера для р-005,7) -4, Уа-2, Р; р(У»,уа)-19,3, Г<Р» (2»,Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
