Налимов В.В. - Теория эксперимента (1062946), страница 30
Текст из файла (страница 30)
з иллгп1ропАник э!тш1п1'пмкнтл фиксируя первую. Этот цикл попеременного движения повторяется много раз — получается своеобразное блу- ждание по лабиринту, который усложняется с ростом числа независимых переменных. Рпс. 4.3. Двз способз двпжевия и экстремуму — движение по грздиепту и двмжеппе по методу одиофзкторпого вксперпмептз, когда последовательно фиксируется положение то одной, то другой перемевпой.
Кеитуриви кривые характеризуют зрацеит вмхаВз Взя ививога техвззегическоге ирецееез Движение по градиенту уже давно известно в науке. Существенно новым в работе (89) было иснользованио градиента в сочетании с дробным факторным экспериментом для локального описания поверхности отклика. Этим, собственно, и определился успех мотода крутого ВОСХО1КдЕНИЯ.
При изучении почти стационарной области возникает ряд новых слоя!ных проблем. Если мы хотим описать зту часть поверхности отклика полиномом второго порядка, то переменныо нужно варьировать уже на трех уровнях. Возникает сложная задача построения таких планов. Здесь прежде всего нунсио выбрать наной-то достаточно разумный критерий оптимальности. Во всяком случае, с самого начала было ясно, что планы полно- экстркмАльныв энспвримвпты го факторного эксперимента типа 31 здесь неприемлемы, так нак они потребу!от слишком большого числа опытов.
В работе [89) была выдвинута идея построения композиционных планов, ядром которых слуткат линойные ортогональные планы. Про,тполагаотгя, что, попав в почти стационарпузт область, исследователь сначала ставит Рис. 4.4. Бох|позвцивппый плвп второго порядка в задаче с тремя пгзвввсимтзмп переменными. опыты, используя линейные планы.
Затем, убедившись в том, что гипотеза линейности здесь не проходит, он достраивает линейный план до плана второго порядка; отсюда и само название — коязпозпт4ионпмй план. Поясним стратегию построения композиционного плана на примере задачи с тремя переменными (рис, 4,4). Сначала исследователь поставил опыты по линейному плану в точках, задаваемых вершинами правильного симплекса. Эти точки, как уже говорилось, являются подмножеством вер!пин того куба, которым задаются границы варьирования переменных в линейной задаче. На рис. 4.4 они обозначены зачерненными кружками. Далее ставится экспоримент в центро куба для проверки гипотезы адекватности (см., например, стр.
447). Если гипотеза адекватности не проходит, то достраиваются вершины куба (незачерненные точки) и затем добавляется еще часть [гл. |у ил»пи!'Овлние .'|ксив!'имвг|т» 154 155 2! экстгвмлльнык окспегимквты так называемых ||звездных» точек, образующих октаэдр. На рисунке эты точки обозначены звездочками — здесь мы видим, что пры переходе к плану второго порядка границы варьирования переменных расширяются. В результате получается композиционный план нторого порядка, содержащай (прн й =- 3) всего лишь 15 точек (полный факторпый эксперимент типа 3» содеря|ал бы уже 27 точек). Здесь возникает деликатная задача — как выбрать расстояние а до звоздыых точек.
Вначале Бокс и Уялсоы предложили так выбирать плечо а, чтобы план второго порядка оставался ортогональным, т. е. чтобы свалярные произведения всех вокторон-столбцон в матрице пезанисимых переменных были равны пулю. Но скоро выяснялось, ч|о ортогональыость нельзя считать хоро!пня критерием.
Во всяком с:!учао, в планах второго порядка ортогональность имеет х|еньшое значенно, чем в планах первого порядка, поскольку на печальных стадиях исследования принято нкл|очать в программу зыачитоль. ы, ". число переменных, часть которых потом отсоинается (н силу малого влияния на изучаемый процесс). 11а стадп. |тсоынания, конечно, очень нажно иметь ортогональные планы, позволя|ощие получать независимые оценки, которые оста!отея несмещенными и после отбрасывания части исследуемых переменных. Далее ныяспилос|о что ортогональные планы второго порядка оказываются уже не ротатабельными и дисперсии в оценках коэффициентов регрессии у них отнюдь не минимальны.
В послодующей работе Бокс и Хантер (90) предлоя|илы использовать при построении планов второго порядка критерий ротатабел|,ности. Смысл этого критерия, как уже, говорилось вылив, легко понятен с позиций экспериментатора. Подобнь!е планы нашли очень широкое применение ыа практике, хотя с точки зрения математиков, занимающихся развитием математической статистики, выбор такого критерия представлялся малообоснованньп| — он не ньпеьал логически из тех идей, ыа которых базируется математическая статистика. Позднее, по л|оре разэяюля методологических работ по плапировани|о эксперимента стала выясняться недостаточность этого эмпырико-ынтуи|ывного критерия.
Появилось множество ротатабельных планов (при одном и том же й), для сопоставления ш|торых не оказалось критория. Наряду с ротатабольными композиционными планамн были предло|кены инторесные с практической точки зрения неротатабельные композиционные планы, Становилось ясно, что для сопоставления этих планов надо каким-то образом внести критерий, учитывающий дисперсию оценок. Как ортогональныо, так и ротатабельныо композиционные п.ланы второго порядка, построенные по схемо, задаваемой рис. 4.4, оказывались н этом отношоыии совсем неудачными.
Выше мы ужо говорили, что оптимальность линейных симплекс-планов обусловливается тем, что в них оптимальным образом яспольауотся пространство независимых переменных, выделонное для зксперимента — нерп|ыны симплокса, образуюп|ие план, янля|отся подмножестном вершин того куба, которым ограничивается область варьирования пезаннсимь|х переменных. При переходе к планам второго порядка принцип оптимального использования пространства ыезависимых переменных оказался нарушенным. Это легко пояснить, обратив|вись к геометрическому изображени|о плана, представленного на рис.
4.4. Здесь границы варьирования независимых переменных задаются уже кубом, координаты которого образуются яе порестановкой чисел (~4 1-1, хд1), а перестановкой ( !' — а, +а, -~а), где ~ а ~ » 1. Углы такогокубано использу|отся при построении плана, т. е. не все пространство независимых переменных, отведенное для эксперимента, используется в композиционных планах. Одыовремонно с развитием концепции Бокса в США стало разнинаться второе, чисто теоретическое, направление в планироваыии эксперимента. Наиболшпий вклад э это направление внес Кифер (подробнее см.
обзорную работу [91)), Оп рассмотрел яесколько различных крит! риев оптимальности и установил связь можду некоторь|мн из них. Оказалось, что для отдельных видов регрессии одни и те же планы могут отвечать сразу нескольким критериям оптимальности. Мы остановимся адесь подробно на одном из них — на критерии П-о|г»има»!внести, Это ври|орый соамостно эффективных оцепок параметров уравнения регрессии. Естественно выбирать планирование, обеспечива|ощее минимальный объем эллвпсоида [СЛ. 1Ч ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ЭКГТРЕМАЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ 157 рассвяния оценок параметров при постановке опытов в заданной области.
План, отвечающий такому требованию, называотся Р-оптимальным. Чтобы удовлетворить требованию .0-оптимальности, нужно на множестве всох планов Х в заданной области пространства выбрать такой, который максимеПирует опрздолитэль информационной матрицы (Х*Х) //У. Мол1- но сформулировать и ряд других критериев оптимальности, учитывающих такжо повеленио дисперсий оцонок. Перечислим эти критерии. План нааывается А-оптимальным, если он минимизирует сумму квадратов главных Полуосей зллипсоида рассеяния оценок. На языке матричной алгебры это означаот минимизаци1о следа (суммы диагональных элементов) ковариационной матрицы уравнения регрессии (Х"Х) 1/)1.
Е-оптимальный план минимизирует максимальную ось эллипсоида рассеяния, что эквивалентно минимиаации максимального характеристического значэния ковариационной матрицы уравнения рогрессии. Наконоц, план называется 6-оптимальным, если он обеспечивает наименьшую, по всем планам, максимальную воличину дисперсии предсказанных значений функции отклика в области планирования эксперимента. Если обобщить понятие плана и ввести иеирерыеиые планы, эадаваемыо вороятностной мерой (не приводящей после умножения на /1 к цзлочислзнным значениям), то можно доказать следующую очень важную тоорому (Кифер, Вольфковиц): план Р-опгимален тогда и только тогда, когда он бпоптималон и когда максимальная дисперсия предсказанного значения функции отклика равна числу неизвестных параметров. Концепция Кифера слу1кит естествонным продолжением одного из основных направлений современной матс матической статистики — теории эффоктивных оценок Фишера.
В этой теории эффективность оценок задается только оптимальным способом обработки розультатов наблюдений. В концепции Кифера эффоктивность обусловливается еще и оптимальным расположонием точек в пространстве независимых переменных. Если в эмпирико-интуитивном подходе Бокса использовались сравнительно простые математические средства — линейная алгебра, то Кифер применяет уже достаточно сложную современную мате- Катину, включая такие ее разделы, как функциональный анализ и теория множеств. Строгая теория Кифора, в отличие от интуитивного подхода Бокса, долго но находила практического применения. Планы, пострознныо в соответствии с концепцией.0-оптимальности, требовали слишком много наблюдоний; например, при числе независимых переменных /с = — 5 требовалось более 1000 наблюдений.
Лишь сравнительно подавно в Лаборатории статистических методов МГУ с помощью ЭВМ были построоны квази-.0-оптимальные планы с достаточно малым числом эксперимонгальных точек. При этом эффективность эксперимента резко 11овысилась за счет использования всого пространства возависимых переменных, отведенного для эксперимента [92). Далее, с позиций Р-оптимальности удалось провести сравнение ранез предложэнных композиционных аланов второго порядка (93).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
