Налимов В.В. - Теория эксперимента (1062946), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Здесь приходится вводить две новые функции — коспектр с (а)) и квадратурный спектр (! (ы) — вида с (м) = —., — ~ р:те -' 2 ~~~~ (рхт- (т) + р! з- (т)) сон (ит~, »=1 е» 1 Гч» (1 (и)) = — — ( ит! (Рху (т) — рух (г)) сон (от 1, — 1 Взаимная спектральная плотность задается уже комплексной функцией (х). (О)) .= с (и)) + 10 (и)), причем опять будет справедливо соотношение уху(а)) = = 1ух( — ю). Пр!г вычислениях взаимной спектральной плотности также используются сглаживаю!цие фильтры — спектральньи; окна. К оценке результатов взаимного спектрального анализа следует прибегать во всех случаях, когда динамика сис)емы столь сложна, что сама система не поддается детерминистическому описанию.
Частотный анализ может покавать, например, что высокочастотные и низкочастотные флуктуации связаны различным образом. )[злее с помощью такого анализа удав(ся оценить ранее неизвестный фазовый сдвиг между процессами, который может изменяться с изменением частоты. В простойшем случае мо кно просто ограничиться визуальным сравнением кривых, задающих спектральные плотности. Рассмотрим один пример, относящийся к изучению динамики теплового обмена между атмосферой и Землей (80!. !)а рис. 3.18) приведены спектральная плотность дия вертикальной скорости потока гс и коспектр между и: и Т (томпературой).
Кривые построены по измерениям, гделапиьи( пн двух разны: высотах, в дневное (а) и ночное (б) время. Из рассмотрения зтих кривых видно, что при пизких частотах днсперснопная н коваризциопная составляющие на высоте 40 з( значительно больше, чем на высоте 16 з!. Далео вз сопоставления графиков авторы работы (80) сделали следующие вь(воды; 1) на вьиюких часто- т 400! у)гн(нт 410 ПП05 40001 40Я ц) -40105 )р П))дмр(р — 400й5 40Я, 00001 4ИIУ .
4 01 41 (1) Рнс. 3.1». (:иектрпдыып и.)ит!и»)»! !. ипп иертииил),ипи скорости потока и» и копиек! р между ы и '1' (те)шернтуроп), измеренные вн двух уропиих инд гориипитии (16 и ()О.и) и,*(пенное (и) н вечное (с) премя з 10и(иом ([пртмути ((ед1Л) (гн)!. Пе ееи есенине етипжепы ! (ыг ), гд. г — гперее и пг»),). Ие ееи ординат е»е)ыиены епешры и и епеиеры, т)ш,»,иеппьи пп ыегееу.
тах дисиерсионная составляющая больше иовариационной; другими словами, милые вихри даи)т болыиий вклад в знерги!о вертикальной составляющей, чоч з тепловой -ее»ее — ПППУ5 - 4ПЫ l / 400 4М 01 4) язм (еиик (!Роцкссов, (гготвкз(ощих во вгкз(вни [23 мвтолы, осповлгп(ые яа изгт!внии Рлс((кэпи(т [Гл. и! ноток; 2) низкочастотные составля[ощие (болыеяо вихря) значительно существеннее в дневное время, чем в ночное. Эти вихри в (вникают в рсзультато петрова Земли, тогда как налью вихри образу(отся ветром, движущимся вдоль неровностей Земли. Чтобы облогчить интерпретацию результатов взаимного спектрального анализа, можно ввести ряд вспомогательных функций.
Прожде всего, рассмотрим функцию когерентности [811, опредсляему(о соотпошонием с'((з) + у! Оз) С(ю) — — — -. — — . )х [ы))г[('О Значения этой функции лежат в интервалс О-.:.С((о) ( '1, поскольку всегда выполняе.соя неравенство когерептвостк с" (ю) -,'— ()~ (со) ( )х (ю) ! г (ы), Мы видиь(, что поведение С (ы) аналогично поведению квадрата обычного коэффициента корреляции. Эта функция интерпретируется так же, как и коэффициенты корреляция. Интересно строить графики зависимости С' (ю) от ю. В одной области частот функция С (о() можот принимать очень большие значения, близкие к единице, в других областях она может резко падать и иногда приближается даже к нулю.
Мы получаем, таким образом, вполне наглядное продставлоние об одном вз свойств динамической сиота(и((, характеризующем степень связи двух процессов на разных частотах. Далее можно составить фазову(о диаграмму, строя график функции (р (ы) ==- а(с[8 ((() (ю)[с (е()). Такая диаграмма позволяег прослодить аа фазовым сдвигом между двумя процессами. ')тот сдвиг может оказаться постоянным для всех частот, и тогда функция (1! (о() будет осциллировать около некоторого среднего значения. Но фааовый сдвиг может зависеть от о(, причем его изменение можот происходить даже, скажем, с разрывом по производной, Можно перейти от частотного представления к временному и интерпретировать фазовый сдвиг как времоннои сдвиг между двумя процессами.
Следуя [811, рассмотрим два процесса с фиксированшпи временньы! сдвигом У (!) —.- Х (! — й). Составляющая процесса Х ([) на частоте е! равна а! соз ((ог + О); для процесса У ([) ока б(у,((т равна аз з соз [ю (г — — )() 8 О,': я,, соз [юг й (О ассы)!. Здесь фазовый сдвиг на частоте о! равен Усю. На фазовой частотной диаграмме мы получим прямую с тангепсом угла наклона, равным сс. Наконец, снова следуя [811, расслютрим диаграмму для коэффициента усиления. Коэффнцяег(т усиления Схг (о>) определяется как (г(ю) Стг(о() =. [х(о() с (е!). Этой функцией вадается, по существу, коэффициент регрессии для процесса Х ([) по процессу У ([) на частоте нь Вели Х, (о() и ), (ю) суть компоненты процессов Х (!) и У (г) на частоте ю, то линейное уравнопие регрессии имеет вид Х,(ю) =бхг(ю) У,(ю) -1-е,((о).
Таким образом, спектральное представление позволяет наглядным обрааом описывать динамику системы с помощью построения диаграмм когереятности, фазового сдвига и усилений. Подобный способ описания оказывается достаточным только в том случае, если мы заранее предполагаем, что один из процессов, скажем, Х (!), генерируется (в статистическом смысле) другим процессом У (г). Но спектральное представление оказывается уже недостаточным для анализа системы с обратной связью, когда процесс Х(!) действует также на процесс У([).
Здесь нужно было бы в дополнение к рассмотренным выше характеристикам еще оцепить силу обратной связи, ее изменение с изменением частоты и определить временной сдвиг обратной связи — при наличии обратной связи фазовую диаграмму уже нельзя четко интерпретировать. Всю эту информацию нельзя извлечь из спектрального представления, посколы(у там оценивается всего четыре функции /х (со) Й (ю)( с (ы) и ([(оз). Здесь приходится переходить уже к ввристическим методам, используя, скажем, понятие оптимального линейного прогноза одного из процессов по другому процессу (подробнее см.
[8г 1). Задача изучения динамических систем усложнится еще больше, если перейти к изучению нестацвонарных случайных процессов. В простейшем случае нестационарность задается только трендом — смещением во времени математического ожидания. Такое смещение в частном случае может задаваться, скажем, полиномом.
Здесь появляется необходимость в разработке в каком-то смысле оптимальных алгоритмов для оценки и снятия тренда. В пазамаь 133 методы, ОснОВАнныг нА изучении РАссаяпия [Гл. 1н несет пользы, так как в этой модели коэффициенты регрессии не равны постоянным величинам. Попытка прибегнуть к прогнозу с помощью скользящего среднего ) или 1 с помощью экспоненциального среднего о) здесь также не дает успеха, поскольку ие ясно, как в такой сложной ситуации выбирать параметры прогноза. Нужно предложить такую модель процесса, которая позволяла бы следить за тем, как меняется нестационарность процесса во времени. Естественно здесь перейти к изучению последовательности процессов, созданных первыми, вторыми, третьими и т.
д. разностями, и исследовать степень их коррелированности. Это открывает возможность использования метода корреляционного анализа при изучении нестационарных процессов некоторого типа. В работе [84)Бокс и Дхсенкинс предложили рассматривать модель нестациопарного процесса вида хры=(1 [Л' '-[- .+Т оЛ-с-Тт+То8+... ...
-с-у Я +') а + аром Буквы Л и О имеют следующий смысл: Лх сс 11 . Лст Л (Лс-са ), Лоа Бар = ~ а;, Я ар = Я(8 ар), Я'а .—. сх; [=о р = О,-1-1,...; т~1,1=э1; а . а а, ... — одинаковьсм обравом распределенные ар1.11 Р| р-1 некоррелированные случайные величины, имеющие математическое ожидание, равное нулю. ') Скользящее среднее — зто представление процесса прл помон[к текущего суммирования. На каждом шаге суммирования добовляется один новый член и опускаотся один старый.
Веса суммирования как-то выбираются заранее. 1) Здесь имеется в виду суммирование с весами, уменьвсающимися по экспоненте по мере продвижония в прошлое. Параметр вксполенты как-то выбирается заранее. Иногда в производственном контроле используют контрольньсе карты, в которых контроль за смещением шсдгтся по вксвооепцвальпому взвешенному среднему. 5 1[ изучение пРОцессов, п!'ОТЕНАющих по времени 133 Поясним смысл введения такой модели: легко показать, что в этом случае Л х+1=(7 Л ы с ° ° ° +7 -1Лч р )а +Л ар+1= с+ = ~Ч3~ 111ар;+ ар+,. с=-о Отсюда следует, что все сериальные коэффициенты корреляции ') порядка вылив 1 + т + 1 для разностей процесса Л"" х порядка сл + 1 должны равняться нулю. Если, скажем, в последовательности, образованной вторыми рааностями, все сериальпые коэффициенты корреляции, начиная с четвертого, равны пулю, то это значит, что котино принять модель с тремя параметрами: у ., у „у,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
