Налимов В.В. - Теория эксперимента (1062946), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Далев уже возникают совсем технические задачи, а именно, оценить эти параметры, скорректировать их (поскольку сама кестационарность также может оказаться нестационарной — может появиться нестационарность второго рода) и, наконец, по результатам наблксдений оценить переходные процессы, определяющие инерционность системы. Итак, в модели с тремя параметрами прогноаа можно воспользоваться формулой (при нулевом среднем) Оп+1 = Т 1Лар + 1'-са» + уоЛ '11. Здесь нужно только заменить ар значениями реально иамеряемой величины е„которая служит оценкой стандартизированного наклона функцсги отклика в точке — ( — „" )~~:.— ΄— х„. Если измерения выполняются в двух точках х и хр — Ьх, то оценка ер определяется очевидным образом, а именно, 2 ('[( Р+ ') — т[[" — бх)) е,-- бх 3ц 1) Сериальными коеффициентвми корреляции называются ординаты овтокорреляционпой функции, вычисленные для случайного процессе, представленного дискретной последовательностью.
134 методы, ООИОВАниыи НА ику'пении РАОО1тяиия [гл. И1 1 41 ИКУЧКНИК П101бРССОВ, ПРОГКИЕ1ОИ1ИХ ЕО ВРКМ!,ни 135 На рис. 3.16 приведено несколько примеров прогноэированвя нестационарных химико-технологических процессов. у Киуденйрл у '.~ ззайгь/ч г 1 я Е' уямпгрбтууа лл . ЯУ 01 А1' 10 = 101 .... -10 Ш 0язяарша и ч мл ./К„АХ 10 0 4 1'х д.д -Мх Рч -тут л А 7 10~ — 10' — ! 0 00 40 00 00 100 100 й0 100 Л0000220040360200ЯР Рпс Зяб. Примеры прогновнрованни нестацноварпых хл- инка-технологических процессов 134]. Резулматы измерений прелставллыт собой дискретные величины. Через точки, састветствуыюие втим величинам, праведены непрерывные кривые.
Длп бальшсн наглядности кривые, пслучепвые прн прагнсвиравании, смещены так, как наказана сгрелксй. Пад кривыми приведены тачки, разброс которых характеризует тОчность прсгиазарс- ваиия. Хочется адесь обратить внимание на то обстоятельство, что эаписанной вьппе модели нольая дать какого- либо рааумного фиаического истолковании. Запись такой модели — это чисто эвристический прием, поаволндз- щий построить и как-то обьяснить алгоритм, в Основе которого ааложены интуитивно совершенно очевидные представления о необходимости учитывать вромеупиое иаменение пестационарности.
Заканчивая настоящий параграф, следует обратить внимание на то, что изложенные адесь приемы и методы не входят в курсы теории случайных процессов, традиционно читаеауые в университетах; их нельзя найти и в тех многочислопных монографиях и руководствах, где теория случайных процессов излагается в совершенно абстрактном плане как чисто математнчоская дисциплина. развитие прикладной ветви теории случайных процессов идет своим путем. Здесь делается попытка получить ответы на те вопросы, которь1е воаникшот при аналиэе реальных экспериментальных ситуаций, причем подчас очень мало используется глубокое математическое содержание абстрактно построенной теории. Насколько слов о книгах.
Здесь надо обратить внимание на книгу Свешникова аПрикладные методы теории случайных функций» ~85! и упоминавшуюся утке ранее книгу Грэнжера и Хатанаки В11. В первой делается попытка приблизиться к решени1о прикладных задач, исходя пэ строгой математической теории. Вторая книга, написанная под сильным влиянием крупнейшего американского статвстпка Тыоки, исходит в большой степени иэ воамояхности эвристического подхода к решоиню прикладных задач.
Нравда, в пей рассматриваются только задачи экономики. Но кет сомнения в том, что решения, найденные для аналиаа временных рядов в экономике, можно легко перенести и в совсем другио ооласти — в физику, химию, технологию. Заканчивая эту главу, нужно сделать одно предостережение.
Нам не хотелось бы, чтобы у читателя сложилось превратное мнение о всемогуществе наложенных здесь приемов и методов, Всть, по-видимому, много задач, связанных с рассеянием случайпои величины, которые нельзя решить в рамках раанитого выше формалиама. В одной иа нашпх работ 1861 прн научении распределения дислокаций на образцах германия мы столкнулись со смешанными функциями распределения (эта аадача нами уже обсугкдалась на стр.
30), которые очень Гстультат ! ~ швсшивакик Позер олька Уе Ус Уз Уз 13б мВтоды, осноВАнныв нА нзучвнин РАссвйния 1гл. 1п плохо описываются, даже при использовании третьих моментов. Вместе с тем, опытные металловеды ранжируют обраацы германия по характеру распределения дислокаций так, что их результаты в высокой степени коррелированы.
Поэтому в данной задаче окааалось вполне естественным отказаться от традиционного статистического анализа и перейти к системе классификаций по зрительному образу !86). До сих пор остается неясным, удастся ли использовать развитые выше представления при анализе и описании энцефаллограмм и кардиограмм, или там также придется ограничиться топологическими методами, основанными на анализе зрительного образа.
ГЛАВА РУ МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ОПТИМАЛЬНОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Линейная модель Вьппе в гл. П мы уже говорили о том, что оптимальное использование пространства независимых переменных — зто одна из тех принцушиально новых идей, которые внесла математическая статистика в теорию эксперимента. Проиллюстрируем сейчас эту идею совсем простым примером — задачей о взвсшиваннп трех объектов я, В и С. Традиционно исследователь, скажем, химиканалитнк, стал бы взвешивать эти объекты по схеме, приведенной в табл.
4.1. Вначале он делает холостое Таблица 41 Традициониан охема нвно1нивания трех объектов *) ') +1 указывает, ото объект взвеши. ванин положен навесы, — 1 указывает иа отсутствие объекта на весах. взвешивание, определяя нулевую точку весов, затем по очереди взвел)икает каждый из объектов. Это пример пллниРОВАние экспвримпнтх !гл. !ч '!ИНЕЙНАЯ МОДГПЬ !!!р традпционно используемого однофакторного акспервмента. Здесь исследователь изучает поведение каждого фактора в отдел! ностп.
Вес каждого объекта оценивается только по результатам двух опытов1 того опыта, где на весы был положен изучаемый объект, и холостого опыта. Например, вес объокта А равен А '— ' у! — Уа. Днгпергня результатов взвешивания запишется в виде о1,1А) =- лл!У1 — у,) =-- 2лл(у), Габлвпл 4з Матрица пезавпевмых переменных нри взве1пвваннп трех объектов А,Внс ГЕ11'Лает Навар ап .11е — 1 — 1 1-1 - -1 — .!-1 — ! ' , 'р! 1-1 +1' Ч1 Ре Л1 У1 Здесь в порвых трех опытах последовательно взвешиваются объекты А, В, С, в последнем опыте взвешиватотся все три объекта вместе — !холостоеа взвешивание пе производится. Легко видеть, что вес каждого объекта будот задаваться формулами А,: у + л: ле+ я' — ч1 — л + ле + !» С= — ' ")- Я1 Че Чз -!- Ч1 где о ',у) — ошибка взвешивания.
Г!роведол! теперь тот же экспоримепт по несколько иной схеме, задаваемой тепорь уже матрицей планированич, т. е. матрицей независимых переменных, приведенной а табл. 4.2. Здесь чвслилели получоцы путем умножения элементов последнего столоца на элементы столбцов л)1 В и С.
ГчГы видим, что при вычислении, скажем, веса объекза А оп входят в числитель два раза. н поэтому в знамекателе стоит число 2. Вес обьекта А, вычислонный по приведенной выше формуле, оказываотся не искаженным весами объектов В и С, так как вес ка;кдого из них входит в формулу для веса А дважды и с разными знаками. Найдем теперь дисперсию, связанную с огпибкой взвел!яванвя, при новой схеме постановки эксперимоптов; она равна ! 4 1 ' — 1л р ч — 11 + 1» ', 411 )ч) Аналогичным образом находам о' (Б) .— — о'"-,'у) к о" (С) = ое (у). й!ы видим, что при новой схеме взвешивания дисперсия получается вдвое моньше, чем при традиционном методе взвешивания, хотя в обоих случаях выполнялось по четыре опыта. При традиционном взвешнванип мы до.юкны будем зсе четыре опыта повторить двшкды, для того чтобы получить результать! с той же точностью, как в первом опь>те.
За счет чего происходит увеличоние точности эксперимента в два раза? В первом случае экспоромент был поставлен так, что каждый пос мы получали лишь из результатов двух опытов. При новой схелп эксперимента каждый пес вычисляотся уже пз результатов всех четырех опытов. Ото!ода и удвоение то!Ности. Вторую схему эксперпмепта можно назвать мнозоу!актлрпой.
Здесь оперируют всеми факторалш [объоктамя взве!пиванип) так, чтобы каждый вес вычислять по результатал! всех опытов, проведонных в данной сории экспериментов. рассмотренная задача взвешиванил решается слишком простой операцией, и вряд ли здесь ауакно применять сложные схемы планироваипя экспоримента ').
Но ведь по такой же схеме можно проводить и значительно более трудоемкие эксперименты. Сходными приемами удаатся рошать и болое сложные задачи. Пусть, например, нам априори известно, что '! 1'у1патпгег мпа пеетла н>блпьаппп, насвпщенпих планам влпеп1паап11п Ллн более слажпи1 а1япч, па а1ж;1а апл 1ир а1 апета- мата:п1раплпи.
ЛПНКПИЛЯ »1О!!КЛЬ !4! ко на двух уровнях. Тогда для планирования эксперимента мы можем использовать матрицу, приведенную в табл. 4,4. Здесь, как и в предыдущом случае, число Таблица 44 Планирование вксперимеита для линейной модели с семью независимыми переменными Результаты енеьервметтть План хт х х х хз х х х 4 1 +1 — 1 +1 +1-1 -1-1 — 1 — 1 +1 — 1 --1 Л1 Ут знз уз и, 111 Че Гезультьты лх,пернмен ~ь у Плен хт х, хт х опытов только на единицу превосходит число независимых переменных. Такие планы мы будем называть нарын!снныльи, поскольку адесь все степени свободы ~ —.— 11! = 1« + 1 испольаууотся длн оценив А- + 1 котффициентов регрессии: Номер еньоь !.! ..—.1 -! .)1 +1 +1 --1 --1 +1 — 1 +! — 1 +1 +1 +1 +1 !и к„ кт р« бе-~ 3« бт-- Р~~ ° Ьь — ' !!ь.
Планы, приведенные в табл. 4.3 и 4.4, обладают следующими свойствами: н ,Е Хь уьт, Ь=1 и .х! хеь.";„—. О. Первое из этих условий — условие симметричности планов, второо .-- условие нормировки, 'гретьо — - условие пллниговлпик опилину'имкнтл выход некоторого продукта у! линейно зависит от трех переменных !факторов) х„хт и хь. В частном случае это может быть, скажем, температура, давление и содержание некоторого компонента.
Пам нужно оценить значения коэффициентов регрессии линейного уравнения т! = Гяо + янлХ1 + ))ЬХ« + яГЬХ»ы Каждую из переменных будем варьировать только на двух уровнях и будем кодировать эти уровни знаками « — 1» и «+1». Если, скажем, температура в пап!их опытах принимает два значения 100' и 120', то нижний уровень для температуры обозначим через « — 1», а верхний— через «+1». Воспользуемся для постановки опытов матрицей планирования, приведенной в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
