Налимов В.В. - Теория эксперимента (1062946), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Прои:!вести фурьепреобразование автокорреляционвой функции, используя споктральное окно нокоторо- 47 .е '" а ' е;т е ° 22б щ гег го заранее выбранного " ..теРЕ ла' '" аа ' аа Я гила ') с различными значениями т, и получить семейство кривых спектральной п,зотности. При анализе кривых видно, как с ростом т увеличивается чисхарактеризующих структуру , в дискретном случае, спокт- периодичность и! тель мог выбрать !'ие. г1.12. Цпеитр, хзрзптерпзугещпп иеиронееднерелнпеть еепрптииления четырех обраьцен Рермпппп (76 3 здесь Реди тдьае еле ппедеззелепил отде ль. пие епекеиил ординат ееедииеиы илееиез кривой.
ло различимых деталеи, спектральной плотности (или '! Неврозу и зыбере тппз спектрального окна поспящевд большзп литерзтурз, п здесь пеиз еще трудяо дать какие-либо однознзчнме рекомендации. ра), но тогда растет и флуктуационная составляющая. На основании визуального анализа кривых выбрать то значокие т,, которое наилучшим образом представляет споктральную плотность процесса.
Н некоторых случаях результаты спектрального анализа разумно выдавать в виде серии кривых с разными значениями т. Такан систома вычислений во всяком случае экономичнее многократного прямого разложения реалиааций в ряд Фурье в условиях, когда аарапее нельзя выбрать длину того участка, на которьгм нужно вести разложение. Здесь исследователь один раз обрабатывает громоздкий исходный материал— регистрограммы, далее, подбирая т, он имеетдело (используя, скагкем, окно Ьартлота) только с частью автокорреляционной функции, задаваемой сравнительно пебоиьшиз1 числом ьцгдинат. 3.
Если процесс, подлежащий исследованиго, содержгп очень сильную низкочастотную состав.пяющую, то ее нужно предварительно отфильтровать («выбелитьз) с помощью числового фильтра и лишь после этого примо- нить процедуры 1 и 2. Затем в спектральпунь плотность вводят поправку на ранее отфильтрованнуго низкочастотную гармонику. Если не производить операции предварительного выбеливапия спектра, то спектральвая плотность, оцененная по процедурам 1 и 2, может оказаться сильно искаженной.
Лроиллгострируем зто примером, заимствованным из литературы (75). На рис. 3.13 приведены две реализации одного и того же процосса — исходного с сильной низкочастотной состанлягощей и отфильтрованного (фильтрация производилась с помощью числового фильтра). Па рис. 3.14 приведены три кривые спектральной плотности: !г (ег) — для исходного процесса, гз (еь) — для реализации после того, как низкочастотная составляющая ытфилг,!рована, и !з (ее) — скоРРектиРованнаЯ спектРальпаЯ плотность. Здесь ясно видно, сколь сильное искажение зюжет внести низкочастотная составляющая, если ее предварительно ке отфильтровать. До сих пор мы ограничивались рассмотрением спектрального анализа для задачи с линойной моделью. Можно рассмотреть и нелинейные механизмы, генерируюшио случайный процесс.
Представим с!!бе, например, слодуюпгие !Ой МКТВДЫ, О!'ПОВАННЫВ ПЛ ЯЗУЧКПИЙ !'ЛССКП1!ЙЦ !!Ч!. Н( 7,00 ) г!'!'С) 000~ 1 4! Изу'1кник пгоцвссоВ, пготкплк1В1нъ во В1'вмвнп !23 нелинейные ъ!одели; Х(!) =- ЗХН() Х,(!), Х (1) Ха1Х1 (!) ! 8!чх (!) Х1 (!) Х (! ) -.= Х; (1) !- !ВХВ (!), Здось, как и ранее, Х!(1), Х; (1) — — гауссовские процессы, задаваемые вторыми моментами. Нелинейные модели зада!от ужг пегауссовскнй процесс, и нам придется рас,- сматривать старшие моменты. Бведеь! по аналогии с авто- корреляционной фупкциой фупкци!о 0 00 а 00 00 аП аП 7З0 700 700тУУ0000гат000аи ! Рис. 3.
!3. Дзо роализацзш одного и того жо случаивого процесса. ислолизн ОВзниззннн !Воизт! и 01виньтзозмн1зн с НОВТОГнью числОВОГО Еильтда !Оазорну). 0 !г* -520? 1 т,:011) -О0 -,70 1~~, (он) -11 0 1л 0дг 71 гт 0 Й~ 0%00ът 0лг 00гг 00гг )0гг Рнс. 3.!4, Три крню1г С!к ктральил! Влотвости (73) По 1.н ! ОООН !В!Оньг! н .! Г,Н Вень!. Рыз(г! тз тз) =- л7 2з х(1 т!) х(! тг) х(! тз). ! Фурье-преобразование от пес, задаваемое тройным нтегралом, даст так называемый биспектр 7 3 (о) о! Из) ля частот, связанных соотношением ю, + !оз+ оь1! —— — О.
Бипектр (здесь только две частоты могут задаваться неза1 д с висимо) графи!вски пуде! 3.1.с имегь вид контурных кривых на плоскости, аналогичных рельефу, показываемому на географических картах. При научении нелинейных задач и продстазлениирезультатов биспектрами возкякаюг очень болшпие трудности с их интерпретацией. Исследователи, даже физики, не уме!от мыслить в системо таких представлений. Примеров практического применония биспектров извостпо очень ъ1ало. И работе (77) биспектры применялись в зкономичоской задаче; данные, представленныо множеством чисел, упорядоченных на двумерном симплексе, трудно поддаются интерпретации.
П другой работе [78) бвспектры использовались при изучении океанских волн. Данные представлены удобными для обозрения контурными кривыми. Сами авторы пишут, *г!о им удалось подтвердить ли!пт те теоретические положения, в которых ранее никто и пе !юмпевзлся. Остаются открытыми вопрогы о том, удастся лп воспользовапся бкспектрами для описания реальных !!влепий, научатся ли интернретировать их содержатечьным образом с позиции рьспериментатораз 17й м!!телы, основлппык НА из!''С!ими РАсс!О!мин !!' !. и! 51 И55УЧКНПЬ ШОЦК5ХОВ, ПРО!ИКАЮ!пил ВО ВЕ55МКПИ !К5 До снх пор мы рассматривали внутреннлою коррелнционную структуру одного процесса.
Тенер!, можно и!5йтв дальше н оценить степень взаимной связи двух центрировапных ауссовских стационарных процессов Х (1) н У (!). 1155 анило! ии с автокорреляционной функцией взаимнаи корр яционная функция имеет вид рту (т) . Лт (Х (!) У (1, т)). Она характеризует степопь коррелированности ординат функции Х (1) в момонт времени 1 с ординатой функции) (1 т) в момепг ! + т. Очевидно, что автокорреляцнонпая функция моькет рассматриватьсн как частный случай взаимной коорелициопной функции. В автокорреляциопной функции нас ипторесует взаимнан корреляция ординат одной и той жо функции -- отсюда и ее название. 1ло)51!о,пп1ноиньле функции широко используютсл в задачах выдоления гармонического сиплала.
Допустил!. что анализу подвергаетси колебание У (1) -- Л' (!) 1- Х (1), являющееся суммои случайного болого ') гауссовского шума 57' (1) с нулевым средним и сигнала Х (7) =- =а сов (о51О О) с неизвестной априори частотой ы. Найдем автокоррелиционпук5 функцшо для этого процосса ру(г) == .)Х5)Х (О -1- Л(1)) (Х (' 1-'г) 5- Л(! -'- т))) =- =- Рл (т) ,'. РА (т) 1- Рхл(т) 1- 55кт (т), 1".С7ли сигнал и шум некоррелированы, то последние два члена равны пулю, но при вычислипии выборочной оценки оу (т) опн будут, естествонно, создаватьфлуктуационную составляющую.
Лвтокорреляционнал функция и!ума рм (т) являегси непориодичоской функцией, убывающей до нуля, когда т стремится к бесконочности. Автокорреляционнаи фуккцив сигнала Х (1) — а сок (ы1 —,'— О) будет периодическои с периодом, равным периоду сигнала т Г и" рт (т) =-= 1пп —, ) Х(О Х(!+ т)ь(т =- —.--созе!5!. 7 !Нул! Киэыииетси белым, осли ого спектр остается иостоиипым вплоть до июлоторой высокой чигтолы среза, ври которой ои сразу падает ДЭ ПУЛЯ.
Иногда оельй! !дум иазывилот абсолютно случийвым и!умом !Нум. спектр которого ие остается поатояииылл, лл!5ииито идиыиьть окраии иным и!умом. Следовательно, использук в качестве приемного устройства корроломотр, можно прннлть гипотезу о наличии сигнала, если с увеличением т отчотливо прокалив!си периодическая составллгощаи.
Допустллы теперь, что нам априори извостна частота периодического сигнала го. Тогда представляется вполне естественным построит! приомник, состоящий из гонератора колебаний Х (1) с частотой о5 и устройства, вычислягощего взаимную корреляционную функцию р!.л. (т) —.— Лл (У (!) Х (1 !с т)) = 5)У5(Х(!)+ Лг(!)! (Х(! ! 7))) — !55 (т) 1- 15кх(т).
Здесь число слагаемых умьньшнлось с четырех до двух по сравнению со случаем авгокоррелиционного приема ряссмотронпого вьппе сигнала, и поэтому прп взаимной корреляции па выходе шум будет значительно меньше. Можно показать, что такой способ выделепин сигнала дает песмещенные, асимптотичоски эффективные оценки. Его можно рассматривать, осли угодно, как липойпую фильтрацило, осуществлнемую во временной иплале. Здесь ис. пользуется фильтр Х (1), согласованный с пориодическпм сигналом в процессо У (1). Почему ько временной фильтр лучп5е обычного частотного" .11раволлернллсть такого вопроса легко обосновать, нслодл из теоремы Винера— Хинчина, однозначно связыва5ощей временное и частотное представление процессов. О!вот здесь прост, он носит теперь уже чисто инжепоркый ларактер — легче построить устойчивьлй генератор гармонических колебаний на выходе, чем устойчивый узкополосный фильтр.
Задача выделонил сигнала на фоне шума зчачительно усложняется, если рассматривать ситуациго с окрашопным в!умом или, скажем, ситуацию, в которой компоненты принимаемого сигнала нменлт случайные фазовь5о сдвиги. Последи!!я ситуация, по-видимому, типична почти для всех физических измерений, когда, в силу нестабильности аппаратуры, случайной величиной окаэываотсн и фазовый сдвиг. Алгоритллы аффективных оценок в задачах такого типа обстоятольпо рассмотроны е книге Хольстрома 155)] Легко показатьо что автокорреляционная функция чопла, 7.
о. р (т) -- р ( — 7), Взаимная корреляционная 100 мнгоды, Ос!!Оилниь1н нл изут(вин!1 рлссвяния (гл. _#_1 ! !! П(чм ькнив 1и'о!игсиои, )!!'От!!1(лз)!дик во ш'е(мктн1 1лу функция уже нечетна, т. е. р ух (т) .= рху ( — т); здесь переставляются аргументы. 1)ечетность взаимной корреляционной функции приводит к некоторым трудностям при переходе и спектральным представлениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
