Налимов В.В. - Теория эксперимента (1062946), страница 24
Текст из файла (страница 24)
11)отометр измерит энергию результирующего пучка, и его показания будут пропорциональны квадрату суммы Х (!) + Х (! -,'- с) и, следовательно, будут содержать член, пропорциональный автокорреляционной функции. Резкость интерференционных полос будет задаваться (с точностшо до линейного преобразования) автокорреляционной функцией. Выполнив теперь фурьо-преобразование функции, описывающей иптерферепционные полосы, находим спектр мшцности, т.
е. получим спектрограф нового типа, позволяющий производить измерения с наиболыпей точностью. 1!редставим себе, скажем, что изморения производятся в далекой инфракрасной области, где нельзя воспользоваться фотопластинкой. лйы выну)клены будем посладовательпо производить регнстрацию отдельных спектральных линий с помощью фогооле- ') О представлении иелабе)альных ирецссаое еа иреливиой н частотной шкалах ам., яеирииер, и книге Горел)!)се (бб й хотя тен, правда, теаре)!е Хн)гшиа — Винере е иенам 3)кде ве Ресаматрнезетаи. Я!ебаиытие, чта физики, следуя уатенеенешеиая среднцки, абызие ирн изложении колебательных процессов ие рзсалсатриаают теорему Х низина — Винера, хотя ате теорема создаст ааиаем новую кевцеиц)иа, а позиции катерин азаиь лагко аииаыеаь)таи многие фнзизеаине явления.
мктоды, ОСНОНАннык пА нзучвнии РАссеяния ~гл, тп В изу гяняк пгопкссоз, п1'отэкспошп.. Ро зл'кмвпн '1~в мента, пергмшцан ого вдоль шкалы длнп волн, !"слн задано облцее время нзмгргпин '/' и имоется т линий, подлежагцих нзморешпо, то время измерения каждой липин составит только Т/яг. В спектрометре нового типа все линии, егпане11л Йаэснае непа наааннай Испаннан уппагааннае апа егеьаегазенае ееггнапа Рнг. 3.8.
(1ггмз иомзйа ромгтро Мэзш льсова (Вв). так же как и в случае регистрации на фотопластинке, будуг измеряться за обвцео время Т. В результате дисперсия, хорактеризуюецан гочпость измерения, уменшкитсн в т раз. Верномся теперь к нашей основной задаче. Итак, мы видим, что прн обработке результатов наблюдений, представленных конечной реализацией случайного процесса, можно получать выбороппге оценки значений дисперсий о ', п„г ..., о,, для последовательности частот огл, гог,... г г г г ..., 1о,„прпчолг с', зг-- „-„, где и, — дисперсия, характери- 1=1 чуговхая рассеяние случайного процесса Х (1) относительно его матомзгпьеского ожидания Следует обратить внимание на глубокуго аналогило между дисперсионпым и спектральным анализами (66).
В обоих случаях речь идет о разложении суммарной дисперсии на составные части. Вту анзлогкго можно провести дальше и сравнить спектральный анализ с методом главных компонент, где производится разложенио по ортогокальнглм линейным полиномам, эадагогцее также пекоторуго последовательность дисперсий. Все этн мотоды, обычно излагаемые в совсем разных руководствах, эксплуатирую г од. ну и ту;ко идсв~ - посгрооязо покоторыл характеристик, оснооагпозх на ла|шктере рассеяния дшшых каб:подепий.
С позиций эксперимеггтатора близость этих лютодов представляется более очевидной, чол~ с позиций математика, который во всех трех случая; исходит формально из разных математических моделей. Кстественио в ка шстве оцонкн для о, взя.гь С,' = ',1г(а', ) Ьг). Фурье-козффициептгз п,, б; Ц =- 1, 2,..., и) в этой формуле являются независимыми, центрированными, гауссовскими случайными величинами с диспорсиой пчгоральной совокупности, равной о). Поз'гому величины 2п,~о, представлялот собой случайныо величины, подчинял ющиеся 2г-распределению с двумя степонялш свободы. Пользуясь таблицами кг-распределения, мон по Найти доверительные границы для о'„вычис;1яя отношения 2о',,'Х,', и 2о,':/)(~~ „при выбранном уровне значимости р.
Особенностью или, если угодно, недостатком спектрального анализа служит его непараметричностгл метод не дает возможности оценить параметры кривой спектральной плотности, ее приходится оценнвагь по калгдой ординате отдельно. Для любой сколь угодно длинной реализаг ции каждая ордината крлгв~ил, т. е. каждое значение о„ имеет только две степени свободы. При увеличении длины реализации увеличивается лшпь число частот юп для котог рых оцениваются п„но пе число стгпепой свободы для каждойиз оценок. Здесь мы имеем дело с весьма любопытной ситуацией: приходится рокомондовать пользоваться несостоятельной оценкой.
хотя вышо (см. стр. 5!)), 11с мвтоды, основапньп" пл пзучлпгы! влссвяпкя !Гл. !!! 1 «! пЗУ!Им!ив п»оцгссов, пгот!»клкпцпх в!! вгвм!;пп рассматривая критерии для стапдаргизации процесса свертыванглл информации, мы указывали ла то, что состоятельность оценок лвляетса одним из таких криториев. Мошно, конечно, предложить искусственный прион, сглаживающий спектр и обеспечивагощнй состоятельность оценки спектра (ллп спектральной плотности). !(о за применение:!того искусственного приема приходится расплачиваться — оцопкн становягся смещенными, так как нарушается второй критерий шзбора стандартных оценок. Математики л так!лх случаях в шу гку говерл г: «Вдось имеет место з,пеон сохранении подлости». Исследовагш!!о осгаетсл только стремиться к веко!ори»»у разумному компромиссу, пьшаясь как.
то сбалансировать состоятельность оценки со смещелпостью. Идего сглаживания споктра можно прои:»лв!стрироватто следуя опять-таки Гудмэну (Я), таким образом. Допустим, что некоторые па о., равны между собой, т. о. 2 с»,а — — ... — 3, ! =-. с,м == .
— з+». Тогда оценкой для о! можно считать 7в Ш» + 1 ! — Р! При этом естоствелно полагать, что величина ( в! ! 1) с»лыс! о р ' » имеет у'-распределенно с числом стопеней гво!юды, равным 2 (2гп ! 1). Таким образом, прн сглаживании спектра получал!тон оц!'пкп г шелом сзт испей свободы, большим двух. Б настоящее время имеется хорошо разработ,!и!шл и досгаточно ело'!«ная теория сглаживания кривых спектральной плогпости.
Впервые э!от вопрос, но-видимому, был поднят Вартлетом в !01!3 г. Первое подробноо илло!кение было дано в хоро!по известной книге Плекмана н Тычки (67!. Обстоятельпан дискуссия по кой была прове- дона в журнале»Технометрпкс» (Тес)пзов!ег,г»сз) (1061,:1, Лй 2). Кролы уже упомин!!вн!иы з ран! г гта !ей (6), 66! пз атон дискуссии, мы укажем още работе! !68--71!. В дискуссии, в частности, ооршцалось внимание па трудность рецептурного изложения рассмотренных в!зпп! методов. Почти репептурноо пх изложение дастся в болоо поздней статье Д«кенкинса !72!. В методологическом отношении большой инторес продставля!от также работы (73,74!.
Обычно сглансивание производят на том этапа вычислений, когда выполняют фурье-прообраш»ванне автокоррсляционпой функции. Сгла»кива!вшие функции (фильтры) получили назвакио свсктрзльимл окон. Хорошо известно, например, усеченное сглаживание с помощшо окка Вартлета: т 1 -!-„- ~Р (0) -'- 2 ~~'„) - р (т) гоз оз»т~, -:. ! 1 тгш', 1»,'т (гн Дисперсия этой опенки пропорциональна »/зш/'!'; эквивалентное число степеней свободы равно 27«/в», С ростом длины роалиаации (числа наблюдений «!!) днспорсия оценки падает, т. е. окопна становится состолтол!.ной.
Здесь возникает деликатный вопрос; как выбрать величину т, которой задаетсн усеченно автокорреляционной функции? Прн умепылонии т, с одной стороны, улучшается !очность сцепки, с другон — ухудшается разрсшакнцзя способность (увеличивается ширина полосы пропускания фильттра).,')десь надо уметь найти разумшай ко»шромисс. г)авто его приходится искать пузом последовательного подбора значений т. Важно отчетливо предо!залазь себе, что при использовании спекзральных окон оцонкп стаполягсн состолтгльпьв»п, но смещенными. Иа рнс. 3.0 в качестве примера приведена автокорроляцнонная функция, полученная для регистрограммы, характеризу!ощсй микронеоднород»п>сть электрического сопротивлении образца германия (76!.
На рис. 3.10 даны споктральнью плотности, вычисленные по эт!»й алтокорргллционлой функции для трех разных значений т. И, паконоц, па рис. 3.11 приведены спектральные плотное!и, характеризующие микронеоднородность сопротивления образца высокологированпого кремнил прн пяти различных значениях ш. (7 (в =17(7 113 мн'('Оды, Оспе(ыппЕП( пл изу 1япии !'лсскяпяя 11'л. Рпс. 3.0. Лвтокоррсляцпоппап функция, полученная для регнстрограымы, характернсую(цгй ивкропооднородпость злектрнчоского сопро(ппягш(я образца германия ~ 7б[. Рис.
3.10. Спсктралыпю плотности, вы шсяспные длв автокоррепяпиониой функции, представленпоп на рпс. 331, при трех разных значениях т [76]. 41 изучвник процнсСОВ, ПРОТЕКА10ЩИХ ВО ВРКМПНИ 113 Ндесь хорошо ппдпо, как с ростом ги увеличивается число разрешаемых пиков, по ОЕ(нопреагепно раг,гет и флуктуационная составляющая. В последнем нз рассмотренных вы(во случаов, видимо, следуот ограничиться выбором т =. 48. На рис. 3.12 приведены спектрограммы, характеризугощие макропеодпородность сопротивления чотырех д Ял 3гг~ — э-(о уЮ ~ ояу Рис. 3.11.
Спектральные ппотностк иокроноодпородвостп сопротив кения длв обре ща пысокояепгровапного кремния прп различных :п(ачсппв: и (7В[ монокристаллов гермаппя -- вычислония производились с использованием окна Партлета при гл=. 96. Представленные здесь спектрограммы л(шко поддьпотся физической интерпретации [подробности ее см. в [76[). Нетрудно покивать, что применепи(о окна Бартлота приблияительпо вкниналоптно прямому ратлощен(по отрезка случайной функцни, заданному реализацией, в ряд Фурье на отрезке длиной т с последующим усредненном козффициептов Фурье по асом дг/т отрезкам. Со времен Фурье так, собственно, и поступали все физики.
По поступать гак они могли только в задачах с хорошей априорной информацией, т. е. когда заранее была точно известна 12О мзтоды, Осяоздияык ИА изучвнни Рдссеяпия !Гл пг $4! изучение процессов, протРЕА1ощих ВО В!'емкпи !21 юцоссз. Только в этом случао исследовадлину того интервала, па котором нужно было делать фурье-разложопие рептстрограммы. Теорома же Хипчина — Напора гщзволяет выявлять скрытую перипди !ность в ситупци— — ях, когда исследователь заранее не знает о периоде гармонических составляюп!их изучаомого процесса. Итак, для спектрального анализа случайного процесса можно — предложить следующую систему алгоритмов: 1. По результатам наблюдений вычислить автокорреляционпую функцииь. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
