Налимов В.В. - Теория эксперимента (1062946), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Перейдом теперь к рассмотрению полного факторного эксперимента типа 2'. Соответствующая ему матрица независимых переменных записана в табл. 4,6. Здесь мы можом оценить с>ьободный члон, трн линейных члена, три члена с парными взаимодействиями типа рл>х>х. > н одно тройноо взаимодействие (»зэхгхсхэ. Посмотрим теперь внимательно, как построена табл. 4.6. Здесь ядром является полный факторный эксперимент 2', взятый для двух иерсменных х> и хэ Он повторен дяажды: один раз для значений хх = — 1, другой раз для значений хе = чс 1. Далее, олемепты всех остальных столбцов получены путем соответствующого поремножения первых грех столбцов матрицы планирования.
Коли мы захотим построить план 2', то поступим так гке: повторим дважды план 2з — один рач для значений х, .— — 1, другой раз лшп'Пп <я модяль !г<!. !и пллпш озлнш<;иизгьгпмьп<л Таблица 4б Матрица везавкекмых перемеккых Х для полного факторпого экеяеримепта типа 2' План +1 — 1 +1 +1 — +1 --1 — 1 +1 +1 — 1 — 1 :1 +1 +1 +1 — 1 — 1 +1 +1 +1 — — 1 — 1 +1 -1 +1 — 1 — +1 — +1 +1 +1 +1 +1 +1 — 1 +1 +1 +1 — 1 +1 +1 +1 — 1 +1 +1 )1 — 1 +1 +1 — 1 +1 +1 +1 +1 для значений х, =- +1. Теперь обратим внимание на то, что план для семи независимых переменных, заданный табл.
4,4, получен из матрицы независимых переменных плана 2в (см. табл. 4.6), в которой три парных произведения типа х<х; и одно тройное произведение замены, соответственно, на х<, хю хн и хю И еще одно наб<поденио: план для трех независимых переменных, записанный табл. 4.3, состоит из четь<рот строчек, входящих в матрицу планирования полного факторного эксперимента 2'(см.
табл. 4.6). Если теперь в л<атрице планирования, заданной табл. 4.3, заменить все знаки на обратныо, то мы получим вторую половину матрицы планирования полного факторного эксперимента тина 2'. Поэтому план для трех независимых переменных, заданный табл. 4.3, называется полуропликой полного факторного эксперимента и обозначается так: 2в '. Легко видеть, что план для семи нозависимых поременных, ааданный табл. 4.4, есть 1Н6-реплика полного факторного экспоримента 2"; он обозначается так: 2'-', Читателю уже, вероятно, ясно, что при большом числе независимых переменных моя<но по-разному выбирать дробные реплики: в одном случае это будут насыщенныо линейные п.ланы, в другом — планы, в которых сохраняются носмещепными некоторыо интересующие исследователя парпыг взаимодействия.
Основной идеей дроб- ных реплик является построенио ортогональных планов, в которых эффекты выс<пнх порядков (появление которых маловероятно в задаче данного типа) смешиваются с какими-то новыми эффектами. Таким способом можно производить и разбиение планов на ортогональные блоки. Допустим, что нам надо поставить восемь опытов в условиях, когда имеются лишь совсем нобольп<ие партии однородного материала — такие, что каждой партии хватает только на четыре опыта, Тогда естественно планирование, заданное, скажем, табл. 4.6, разбить на два блока — один из них будет включать строки, в которых тройное взаимодействие х,х.хв находится на уровне — 1, другой на уровне +1.,")то эквивалентно тому, <го межблоковый эффект Рз смешан с тройным взаимодействием: б<вл-.
Зп + 3<вв. В силу ортогональности планирования, все остальные коэффиционты регрессии но будут искажены эффектом неоднородности материала. Насыщенные ортогональные планы, обладающие минимальными (и равными) дисперсиями коэффициентов регрессии, можно построить для пространства размерности )с, которое удовлетворяет условию: й + 1 кратно четырем.
В пространствах других Размерностей ') можно пользоваться почти столь ~ о оптимальными пасы!ценными сил<- клоке-планами, построенными с помощшо ЭВМ (88). Иногда в линейных задачах разум~о пользоваться и ненасыщенными планами, используя оставшиеся степени свободы для проверки гипотезы адекватности. Например, при работе с двумя поременнь<ми представляется остественным использовать полный факторный эксперимент типа 2', где одна степень свободы остается для проверки гипотезы адекватности (пРовеРЯетсЯ гипотеза Р<в = 0).
Легко видеть, что план типа 2'-, задаваомый геометрически квадратом на плоскости. можно рассматривать как проекцию правильного трехмерного симплекса (прави<<ьного тотраздра) на плоскость; аналогичным образом моя<но ') Если рввыоркооть ироотраиствя независимых переменных таковв, что « --- 1 ло кратно четырем, то с помощью ВВМ вращают с~милокс-илап (цевтр которого совпадает с центром огрвкязиввющего куба) до тех яор, пока ие будет найдена ориентация, при которой дисперсия оценок коэффициентов регрессии окажется мвви.
пялю!ой. Матрицы цллвироввияя твкот яликов катялогизяровяяы- 1Гл, лч лллхыигл>ВА>лллв> зксллллгллмп>лтл > > 21 ,>кот>'кмхльньлп зкспкяимвллты >бл 1 дать гш>иетрическую интерпретацию и для ненасыщенных планов более высокой размерности — во всех случаях мы будем иметь дело с проекциями правильных симплексов на пространство меиыпей размерности.
В заключоние обратим выиманио ыа то, что в данном параграфе полный факторный аксперииент и его дробные реплики мь> рассматривали в терминах регрессионного анализа. Естеэтвеныо, что те яле задачи можно было бы рассматривать и в терминах дисперснонного анализа. В частности, порвую из рассмотренных в данном параграфе задач — задачу взвешивания трех объектов Л, В и О— естественно излагать в терминах дисперсиоыно> о анализа для модели с тремя факторами. Статллстическув> значимость найденных величин можно оцоыитзо учитывая ошибку опьпа и т. д. Здесь хочется обратить внимание на глубокую связь мшкду моделями регрессионного анализа и теми моделями дясперснонного анализа, где ш>ременяым приписываются фиксированные уровня. Прн такой постановке задачи двсперсионный анализ можно рассматривать как частный регрессионный, когда область независимых переменных — конечное множество точек.
Несколько слов о литературе. Подробноо излоялеыие методов построен>ля дробных реплик, разбиения па ортогональньле блоки и пр. можно найти в книге (111. Теория ортогоыальпых линейных насыщенных планов впервые систематизирована в работе Горского и Бродского Ь8); ояи доказали несколько новых важных теорем и упрос>или докаэате.п,ства ряда ранее уже известных. й 2, 11ланяроваппе акетремальных экспериментов. Представление ре>ультатов эксперимента поверхностью отклика Бокс и г>нлсолл 1891 предложили новое решение старой задачи — отыскания олп има.>ьных условий протекания химических, фиаичеоких и металлургических процоссов.
В ней рассматриваются процессь>, зависящие от многих факторов, в условиях, когда мехаыллзм этих процессов неизвестен В таком случае естественно прибегать к представлению результатов наблюдений полино»шальной мо делью, о которой мы уже говорили выше (см. гл. 1). Что- бы избежать необходимости использования полиномов высокого порядка, был предло>кен шаговый мелод изучения поверхности отклика, напоминающий итерационный метод решения задач вычислительной мате>латыни. Исследователь вначале ставит ыебольшуло серик> опытов для локального описания малого участка поверхности отклика полиномом порвой степони. Далее он движется по поверхыости отклика в саном «крутом >>вправлен>ли»вЂ” в направлеяии градиента линейного приближения, Если одного линейного приближения оказываотся недостаточно, то ставит новую неболыпуло серию опытов н находят новое направлоние для движония по поверхности отклика.
Такой шаговый процесс продолжается до тех пор, пока исследователь не попадет в «почты стационарную область», где линейное приближение оказывается ужо пеаоз»мокпым; здесь став>ггся большая серия опытов и поверхность отклика описывается пол>лвомо»л второго, а иногда (хотя и редко) третьего порядка. При таком подходо к задаче достигаезся весьма высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая преимущественно интересует пгслодователя. Графически движение по градиенту представлено ыа рис.
4.3, з задаче с двумя независимыми переменными. На графике нанесены кривые равного выхода для одного из технологических процессов. Эти кривые аналогичны кривым равной высоты на географических картах. Построив пор»лали к кривым равного выхода, получим векторные линии градиента скалярного поли, заданного функцией отклика. Движение ие точки О в направлении ОР (направление нормали к контурной кривой) соотвпгствует наиболее крутому пути подъема по поверхности отклика (ото>ода и название метода — гягг>>од грубого госхол.дания), В направлении ОР исследователь будет двигаться до тех пор, пока яе попадет в точку О. В окрестности точки (1 нужно поставить вторую сорню овь>гов и заново найти локальное лиыойпое приблнжопио поворхности отклика.
Для гравнония на том >ко рисунке показано пунктиром движение по поверхности отклика при однофакторпом эксперименте. В этом случае двигжотся попеременно, сначала изменяя одну поременнуло и фиксируя другую, а затеи, иемопяя втору>о переменнук> и ! 21 !гл. 1т 452 I 7з '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
